1、第八節(jié) 復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解,一、復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式,二、實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式,1. 代數(shù)基本定理,一、復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式,若 則 在復(fù)數(shù)域,上必有一根,推論1（代數(shù)基本定理的等價(jià)敘述）,使,推論2,復(fù)數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式只有一次多項(xiàng)式，即,則 可約,2. 復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式因式分解定理,若 則 在復(fù)數(shù)域,上可唯一分解成一次因式的乘積,推論1,推論2,若 則 在,其中 是不同的復(fù)數(shù)，,上具有標(biāo)準(zhǔn)分解式,復(fù)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）,若 ，則 有n個,二、實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式,命題：若 是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式 的復(fù)根，則 的共軛復(fù)數(shù) 也是 的復(fù)根,若 為根，則,兩邊取共軛有, 也是為 復(fù)根,證：,設(shè),實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式因式分解定理,，若

2、， 則 可唯一 地分解成一次因式與二次不可約因式的乘積,證：對 的次數(shù)作數(shù)學(xué)歸納, 時(shí)，結(jié)論顯然成立., 假設(shè)對次數(shù)n的多項(xiàng)式結(jié)論成立,設(shè) ，由代數(shù)基本定理, 有一復(fù)根 ,若 為實(shí)數(shù), 則 ，其中,若 不為實(shí)數(shù)，則 也是 的復(fù)根，于是,設(shè) ，則,即在r上 是 一個二次不可約多項(xiàng)式,從而,由歸納假設(shè) 、 可分解成一次因式與二次,不可約多項(xiàng)式的乘積,由歸納原理，定理得證,在r上具有標(biāo)準(zhǔn)分解式,推論1,其中,且 ，即 為,r上的不可約多項(xiàng)式.,推論2,分別在實(shí)數(shù)域與復(fù)數(shù)域上分解因式,例1,(1),(2),在復(fù)數(shù)域上的分解式為:,(2),例2,分別求以1，1，-2，3+i,，1-i為根的次數(shù)最低的復(fù),

3、系數(shù)和實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式.,解,(1) 所求的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式為,(2) 因?qū)嵪禂?shù)多項(xiàng)式以3+i,，1-i為根,故3-i,，1+i也是,所求多項(xiàng)式的根,所以所求多項(xiàng)式至少有7個根.分別為:,1，1，-2，3+i，3-i，1+i，1-i.,從而,所求多項(xiàng)式為,附：單位根、單位原根,事實(shí)上,在復(fù)數(shù)范圍內(nèi) 的n個復(fù)根為,這里,則稱 為n 次單位原根（簡稱原根）.也就是說,的任一根，都可經(jīng) 表示.,易知如下性質(zhì):,解,在實(shí)數(shù)域范圍內(nèi),在復(fù)數(shù)范圍內(nèi) 有n個復(fù)根，,其中,（3）,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),附:(根與系數(shù)的關(guān)系),設(shè)n次多項(xiàng)式,這個定理稱為韋達(dá)定理.,則有,例4,已知多項(xiàng)式,試求 的所有根.,解,因?qū)嵪禂?shù)多項(xiàng)式有一虛根-2+i,根據(jù)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式,的虛根成對定理,還