1、,現(xiàn)代統(tǒng)計與SAS,統(tǒng)計推斷的過程,總體均值、比例、方差等,抽樣分布,樣本 對應的不含未知參數的實值函數 稱作統(tǒng)計量，記作：,它本身也是一隨機變量。它的分布稱作抽樣分布。,數理統(tǒng)計需要用統(tǒng)計量來推斷被抽樣的總體，因此討論 抽樣分布就成為數理統(tǒng)計的一個十分重要和基本的理論課題。,這里主要介紹某些常用的統(tǒng)計量的分布，要求能正確 掌握各種分布成立的條件和結論，為將來的應用打下基礎。,對總體 X 和給定的 ，若存在 ，使,，則稱 為 X 分布的上側 分位數或,分位數,上側臨介值，使,的 稱為 X 分布的雙側 分位數。,特別地，若 X 的分布密度是關于 軸對稱的，則它 的雙側分位數是使 的,例1 設,求

2、上側 分位數及雙側 分位數。,解：,分位數,例2 設,求上側 分位數及雙側 分位數。,解：,分位數,正態(tài)總體的樣本均值的抽樣分布,的一個樣本。則,證明：,因,更進一步，有,的一個樣本。則,因為 所以， 也服從正態(tài)分布。,證法2：由獨立同分布的中心極限定理，,又,所以,例3 設 是它的一個樣本，,求,解：,正態(tài)總體的樣本均值的抽樣分布,自由度記作,正態(tài)總體的樣本方差的抽樣分布,則統(tǒng)計量,稱 服從自由度為 的 分布，有時也將 記作,分布,即：服從標準正態(tài)分布的相互獨立的 個隨機變量 的平方和服從 分布。,正態(tài)總體的樣本方差的抽樣分布,服從 分布的隨機變量 的概率密度函數為,其中,服從 分布的隨機變

3、量的分布密度圖形：,分布的性質,設 且它們相互獨立，則,求 的分布。,解：,例4 設 是它的一個樣本，,樣本均值的抽樣分布與中心極限定理,當總體服從正態(tài)分布N(,2)時，來自該總體的所有容量為n的樣本的均值X也服從正態(tài)分布，X 的數學期望為，方差為2/n。即XN(,2/n),中心極限定理(central limit theorem),中心極限定理：設從均值為，方差為 2的一個任意總體中抽取容量為n的樣本，當n充分大時，樣本均值的抽樣分布近似服從均值為、方差為2/n的正態(tài)分布,正態(tài)總體的樣本方差的抽樣分布,定理 5.1,則（1）樣本均值 與樣本方差 相互獨立。,（2）,（3）,例5 設 是它的一

4、個樣本，,解：,使,例5 設 是它的一個樣本，,使,解：,例5 設 是它的一個樣本，,使,解：,查表得：,即：,（上側臨介值： ）,正態(tài)總體的樣本均值與標準差之比的抽樣分布,在后面講到的參數估計和假設檢驗中，對于正態(tài)總體 的樣本 ，經常要用到統(tǒng)計量：,欲考察它的分布要先介紹一個抽樣分布 分布,它描述的是樣本均值與標準差之比。,記作：,正態(tài)總體的樣本均值與標準差之比的抽樣分布,例6 設,求上側 分位數及雙側 分位數。,解：,正態(tài)總體的樣本均值與標準差之比的抽樣分布,正態(tài)總體的樣本均值與標準差之比的抽樣分布,則統(tǒng)計量：,則統(tǒng)計量：,其中：,前面提到：兩個 隨機變量的和的分布仍是 分布。,它是描述兩

5、個 隨機變量的商的分布的。,兩個正態(tài)總體的樣本方差之比的抽樣分布,但兩個 隨機變量的商的分布卻是,相互獨立，則隨機變量,稱 F 服從第一自由度為 ，第二自由度為 的 F 分布。,兩個正態(tài)總體的樣本方差之比的抽樣分布,例7 若 求 的分布。,解：因為,兩個正態(tài)總體的樣本方差之比的抽樣分布,還可利用下列公式求出當 較大時的近似臨介值：,如,兩個正態(tài)總體的樣本方差之比的抽樣分布,則統(tǒng)計量：,定理5.4,解：,如果隨機變量的概率密度函數為,其中 且,則稱 X 服從 分布，記作,分布與 函數（附錄）,稱為 函數。有如下性質：,當 時收斂，且,當 時有,例2,由此也可說 函數是階乘的推廣。,分布的一個特殊

6、情形 是一指數分布。,如果隨機變量的概率密度函數為,其中 且,則稱 X 服從 分布，記作,很多重要分布是 分布的特殊情形。,分布的另一特殊情形 是 分布。,抽樣分布(sampling distribution),抽樣分布與總體分布的關系,樣本均值的數學期望 樣本均值的方差 重復抽樣 不重復抽樣,樣本均值的抽樣分布(數學期望與方差),樣本均值的抽樣分布(數學期望與方差),比較及結論：1. 樣本均值的均值(數學期望) 等于總體均值 2. 樣本均值的方差等于總體方差的1/n,樣本比例的抽樣分布,總體(或樣本)中具有某種屬性的單位與全部單位總數之比 不同性別的人與全部人數之比 合格品(或不合格品) 與

7、全部產品總數之比 總體比例可表示為 樣本比例可表示為,比例(proportion),容量相同的所有可能樣本的樣本比例的概率分布 當樣本容量很大時，樣本比例的抽樣分布可用正態(tài)分布近似 一種理論概率分布 推斷總體總體比例的理論基礎,樣本比例的抽樣分布,樣本比例的數學期望 樣本比例的方差 重復抽樣 不重復抽樣,樣本比例的抽樣分布(數學期望與方差),區(qū)間估計的圖示,將構造置信區(qū)間的步驟重復很多次，置信區(qū)間包含總體參數真值的次數所占的比例稱為置信水平 表示為 (1 - 為是總體參數未在區(qū)間內的比例 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90% 相應的 為0.01，0.05，0.10,置信水平,由樣本統(tǒng)

8、計量所構造的總體參數的估計區(qū)間稱為置信區(qū)間 統(tǒng)計學家在某種程度上確信這個區(qū)間會包含真正的總體參數，所以給它取名為置信區(qū)間 用一個具體的樣本所構造的區(qū)間是一個特定的區(qū)間，我們無法知道這個樣本所產生的區(qū)間是否包含總體參數的真值 我們只能是希望這個區(qū)間是大量包含總體參數真值的區(qū)間中的一個，但它也可能是少數幾個不包含參數真值的區(qū)間中的一個,置信區(qū)間 (confidence interval),置信區(qū)間與置信水平,均值的抽樣分布,(1 - ) % 區(qū)間包含了 % 的區(qū)間未包含,影響區(qū)間寬度的因素,1.總體數據的離散程度，用 來測度 2.樣本容量， 3.置信水平 (1 - )，影響 z 的大小,5.3 總

9、體均值的區(qū)間估計,正態(tài)總體且方差已知，或 正態(tài)總體，方差未知、大樣本 正態(tài)總體，方差未知、小樣本,一個總體參數的區(qū)間估計,總體均值的區(qū)間估計 (正態(tài)總體、已知，或非正態(tài)總體、大樣本),總體均值的區(qū)間估計(大樣本),1.假定條件 總體服從正態(tài)分布,且方差() 未知 如果不是正態(tài)分布，可由正態(tài)分布來近似 (n 30) 總體均值 在1-置信水平下的置信區(qū)間為,重復抽樣,不重復抽樣,總體均值的區(qū)間估計(例題分析),【例】某種零件的長度服從正態(tài)分布，從某天生產一批零件中按重復抽樣方法隨機抽取9個，測得其平均長度為21.4cm。已知總體標準差為=0.15cm。試估計該批零件平均長度的置信區(qū)間，置信水平為9

10、5%,解：已知：= 0.15cm，n=9，x=21.4，1-=95%,即：21.40.098=（21.302，21.498），該批零件平均長度的置信區(qū)間為21.302cm21.498cm之間,總體均值的區(qū)間估計(例題分析),解：已知N(，102)，n=25, 1- = 95%，z/2=1.96。根據樣本數據計算得： 總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為,該食品平均重量的置信區(qū)間為101.44克109.28克之,總體均值的區(qū)間估計(例題分析),【例】一家保險公司收集到由36個投保個人組成的隨機樣本，得到每個投保人的年齡(周歲)數據如下表。試建立投保人年齡90%的置信區(qū)間,總體均值的區(qū)間估計(例題

11、分析),解：已知n=36, 1- = 90%，z/2=1.645。根據樣本數據計算得： ， 總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為,投保人平均年齡的置信區(qū)間為37.37歲41.63歲,總體均值的區(qū)間估計 (正態(tài)總體、未知、小樣本),總體均值的區(qū)間估計(小樣本),1.假定條件 總體服從正態(tài)分布,且方差() 未知 小樣本 (n 30) 使用 t 分布統(tǒng)計量,總體均值 在1-置信水平下的置信區(qū)間為,t 分布,t分布是類似正態(tài)分布的一種對稱分布，它通常要比正態(tài)分布平坦和分散。一個特定的t分布依賴于稱之為自由度的參數。隨著自由度的增大，t分布也逐漸趨于正態(tài)分布,總體均值的區(qū)間估計(例題分析),【例】已知某

12、種燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批燈泡中隨機抽取16只，測得其使用壽命(小時)如下。建立該批燈泡平均使用壽命95%的置信區(qū)間,總體均值的區(qū)間估計(例題分析),解：已知N(，2)，n=16, 1- = 95%，t/2=2.131。根據樣本數據計算得： ， 總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為,該種燈泡平均使用壽命的置信區(qū)間為1476.8小時1503.2小時,5.4 總體比例的區(qū)間估計,大樣本重復抽樣時的估計方法 大樣本不重復抽樣時的估計方法,總體比例的區(qū)間估計,總體比例的區(qū)間估計,1.假定條件 總體服從二項分布 可以由正態(tài)分布來近似 使用正態(tài)分布統(tǒng)計量,3. 總體比例在1-置信水平下的置信區(qū)間為

13、,總體比例的區(qū)間估計(例題分析),【例】某城市想要估計下崗職工中女性所占的比例，隨機抽取了100個下崗職工，其中65人為女性職工。試以95%的置信水平估計該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間,解：已知 n=100，p65% , 1-= 95%，z/2=1.96,該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間為55.65%74.35%,估計總體均值時樣本容量的確定,估計總體均值時樣本容量n為 樣本容量n與總體方差2、邊際誤差E、可靠性系數Z或t之間的關系為 與總體方差成正比 與邊際誤差成反比 與可靠性系數成正比,估計總體均值時樣本容量的確定,其中：,估計總體均值時樣本容量的確定 (例題分析),【例】擁有工商管理學士學位的大學畢業(yè)生年薪的標準差大約為2000元，假定想要估計年薪95%的置信區(qū)間，希望邊際誤差為400元，應抽取多大的樣本容量？,估計總體均值時樣本容量的確定 (例題分析),解: 已知 =500，E=200, 1-=95%， z/2=1.96 12 /22置信度為90%的置信區(qū)間為,即應抽取97人作為樣本,估計總體比例時樣本