1、第四章 線性方程組的理論,第三節(jié) 向量組的線性相關(guān)性,本節(jié)要點(diǎn)： 掌握n維向量組的線性組合 掌握向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的定義 及判別定理,一、向量組的線性組合（線性表示） P90 1、概念,若,稱 可由 線性表示,引例：對同維數(shù)向量,定義 : 由同維數(shù)的向量所構(gòu)成的集合 稱為向量組,再如,即,稱 可由 線性表示,定義1 對于給定的向量組 P90 若存在一組數(shù) ，使得 則稱向量 可由向量組 線性表示。 或向量 是向量組 的線性組合。,【例1】零向量是任意向量組的線性組合 因?yàn)椋簩θ我庀蛄拷M,都有,即取k1= k2= km=0,則有,成立,故零向量是任意向量組 的線性組合,P91,【例2】證明任

2、一個n維向量 都可由n維向量組 線性表示。,要證：存在一組數(shù)k1, k2, ,kn,使,證明：,所以，取k1=a1, k2=a2, , kn=an,則有,成立,即向量 可由向量組 線性表示,P91,【例3】線性方程組 有解的充要條件是 可由 線性表示,取,證明：,存在一組數(shù),可由 線性表示,線性方程組 有解,使方程組,成立,若該方程組有解，,可得一個線性方程組。,則 可由向量組 線性表示,若該方程組無解，,則 不能由向量組 線性表示,2、已知分量的向量組的線性組合判別法：,向量 可由向量組 線性表示,定理1 向量b能由向量組A線性表示的,充分必要條件是,矩陣 的秩等于矩陣,的秩,P91,問 能

3、否由 線性表示。,【例5】設(shè),解：,設(shè),即,由,解得k1=1 k2=1 k3= -1,即有,所以 能由 線性表示,問 取何值時， (1) 可由 線性表示，且表達(dá)式唯一 (2) 可由 線性表示，但表達(dá)式不唯一 (3) 不能由 線性表示,解：設(shè),【例5】設(shè)有三維向量,P116:4,即,且,（1）當(dāng) 且 時，,，方程組有唯一解,即唯一存在一組數(shù) ，使,成立,此時 可由 線性表示，且表達(dá)式唯一,（2）當(dāng) 時，原方程組為：,即存在無窮多組 ，使,成立,此時 可由 線性表示，但表達(dá)式不唯一,原方程組有無窮多解。,原方程組無解。,（3）當(dāng) 時，原方程組為：,且,即不存在一組數(shù) ，使,成立,此時 不可由 線性

4、表示,即僅當(dāng) 時，(1)式成立,將齊次線性方程組AmnX=O 寫成向量形式,二、線性相關(guān)、線性無關(guān) P92,是系數(shù)矩陣A 的n個m 維列向量,若方程組只有零解，,若方程組有非零解，,即存在一組不全為零的數(shù),使,1、概念,【例7】證明：n維單位向量組 線性無關(guān),成立,因?yàn)?即n維單位向量組 線性無關(guān),P92,【例8】 證明：由一個向量 構(gòu)成的向量組線性相 關(guān)的充要條件是,證明：,向量組 線性相關(guān),存在一組不全為零的數(shù)k，即k0，使,成立,即 成立,故向量 構(gòu)成的向量組線性相關(guān)的充要條件是,由此得：由一個向量 構(gòu)成的向量組線性無關(guān)的充 要條件是,P93,【例9】證明：由兩個向量 構(gòu)成的向量組 線性

5、相關(guān)的充要條件是 成比例。 （即 或 ）,P93,例： 向量組,線性相關(guān),向量組,線性無關(guān),2、已知向量組 的分量，判斷 的線性關(guān)系,重要題型,a) 設(shè)存在一組數(shù)k1， k2， ,km，使,成立,解該方程組, 若方程組有非零解，則線性相關(guān); 若方程組僅有零解，則線性無關(guān)。,b) 代入 各分量，得一齊次 線性方程組,【例10】判斷向量組 的線性關(guān)系,解：設(shè)存在一組數(shù)k1， k2， k3，使,即,由,有非零解,即存在不全為零的數(shù)k1， k2， k3，使,成立,故向量組 線性相關(guān)。,定理2 向量組 線性相關(guān)的充 P93 要條件是 中至少有一個向量 可由其余m-1個向量線性表示。,證明：,設(shè)向量組 線

6、性相關(guān),則有一組不全為零的數(shù) ，使得,成立,不妨設(shè)k10,則有,即向量 可由其余向量 線性表示。,故 中至少有一個向量可由其余向量線性表示,3、重要定理,設(shè)向量組 中至少有一個向量可 由其余向量線性表示,不妨設(shè)向量 可由其余向量 線性表示,則有,取k1=-1,則k1 ，k2， km不全為零，使,成立,故向量組 線性相關(guān),【例12】 設(shè) 是任一個n維向量，證明 向量組 線性相關(guān),證明：,即 可由 線性表示,由定理2知，向量組 線性相關(guān),推論2.2 含有零向量的向量組必然線性相關(guān)。,矩陣A的秩小于向量個數(shù)m,定理3 設(shè)向量組A ： 構(gòu)成矩陣,則向量組 A線性相關(guān)的充要條件是,即,向量組線性無關(guān)的充

7、要條件是,P94,【例13】,【例14】,有非零解,P94,推論3.2,n個n維向量,線性無關(guān)的充要條件是,P94,證明：,所以 線性無關(guān),例如：證明：n維單位向量組 前例8 線性無關(guān),【例15】設(shè)向量組,已知 線性相關(guān)，且 求,解：,05：數(shù)3,問k取何值時： （1） 線性相關(guān) （2） 線性無關(guān),【例16】設(shè)向量組,三個三維向量,解：,則 當(dāng)k=0或k=-3時：,當(dāng)k0且k-3時：,故由定理3，必線性相關(guān)。,例：,m4，n3，,線性相關(guān)。,定理4(1) 若向量組 線性無關(guān)，而向 量組 線性相關(guān)，則 可由 線性表示，且表示法唯一。,P95,證明：,所以 R(A)=m,因?yàn)橄蛄拷MA線性無關(guān),顯然

8、R(A) R(B),所以 R(B)m+1,因?yàn)橄蛄拷MB線性相關(guān),從而 m R(B) m+1,即 R(B)=m,由 R(A)= R(B)=m知AX=有唯一解,即可由向量組A線性表示且表示法唯一,例如：任一向量 可由向量組 線性表示，且表示法唯一,證明：設(shè)向量組 中有r 個向量 線性相關(guān),成立,因此存在一組不全為零的數(shù),不妨設(shè) 線性相關(guān)，,則存在不全為零的數(shù) ，使得,推論 若向量組線性無關(guān)，則其任意一個部 P95 分組線性無關(guān)。,部分相關(guān)則全體相關(guān)，全體無關(guān)則任一部分無關(guān),例如：任一含零向量的向量組必線性相關(guān),再如：向量組 的任一部分組線性無關(guān),定理4(3) 若n維向量組,線性相關(guān)，則在每個向量上

9、去掉相同的n-r個 分量所得到r維向量組,也線性相關(guān),P95,證明：,記 Anm=(1 , 2, m) Brm=(1 , 2, m),由已知 R(B) R(A),所以 R(A)m,又向量組A線性相關(guān),從而 R(B) m,向量組1 , 2, m線性相關(guān),例如：對向量組,由于1 , 2線性相關(guān)，,線性相關(guān),推論 若r維向量組 P95 線性無關(guān)，則在每個向量上再添加n-r 個分量所得到的 n維向量組 也線性無關(guān)。,例如：對向量組 ,由于二維單位向量組 線性無關(guān)，,所以 線性無關(guān),長相關(guān)則短相關(guān)，短無關(guān)則長無關(guān)。,【例17】向量組 線性相關(guān)，求t。,解：,由定理4（3）知，同時刪去第4行得到 的向量組

10、仍然線性相關(guān)（保留參數(shù)行）， 故,97：數(shù)2,【例18】判別下列向量組的線性相關(guān)性,（1）,P96,1 , 2, 3 線性無關(guān),因?yàn)?線性無關(guān)，由定理4(3)知,解,（2）,因?yàn)?3 =51 ,故1 , 3 線性相關(guān)，,從而由定理4(2)可知,1 , 2, 3線性相關(guān).,（3）,由推論2知4個3維向量一定線性相關(guān)，故,1 , 2, 3 , 4線性相關(guān),【例19】設(shè)向量組 線性相關(guān)，向量 組 線性無關(guān)，證明,證 (1) 因?yàn)?線性無關(guān)，由定理4（2） 知 必線性無關(guān)。,由定理4（1）知： 能由 線性表示，且 表示式唯一.,由已知 線性相關(guān)，,(2) 反證,【例20】設(shè)A是n階矩陣，k為正整數(shù)，

11、是 AkX=0的一個解，使Ak-1 0。證明 線性無關(guān)。,證明：,（用定義證）,要證,用Ak-1左乘（1）式，,注意到當(dāng)mk時，,因此,而,98：數(shù)1,所以（1）變?yōu)?用Ak-2左乘上式，得c20,如此類推下去，得,所以 線性無關(guān)。,本節(jié)主要定理：,矩陣 的秩等于矩陣,定理1 向量b能由向量組A線性表示的,充分必要條件是,的秩,定理2 向量組 線性相關(guān)的充 要條件是 中至少有一個向量 可由其余向量線性表示。,矩陣A的秩小于向量個數(shù)m,定理3 設(shè)向量組A ： 構(gòu)成矩陣,則向量組 A線性相關(guān)的充要條件是,即,向量組線性無關(guān)的充要條件是,P94,推論3.4 m個n 維列向量組成的向量組，,當(dāng) 時一定

12、線性相關(guān),定理4 (1) 若向量組 線性無關(guān)，而向 量組 線性相關(guān)，則 可由 線性表示，且表示法唯一。,定理4 (2) 若向量組中有一部分向量（部分組） 線性相關(guān)，則整個向量組也線性相關(guān)。,推論 若向量組線性無關(guān)，則其任意一個部 分組線性無關(guān)。,部分相關(guān)則全體相關(guān)，全體無關(guān)則任一部分無關(guān),推論 若r維向量組 線性無關(guān)， 則在每個向量上再添加n-r個分量所得 到的n維向量組 也線性無關(guān)。,定理4 (3),若n維向量組 線性相關(guān)，則 在每個向量上都去掉相同的n-r個分量所 得到的r維向量組 也線性相關(guān)。,長相關(guān)則短相關(guān)，短無關(guān)則長無關(guān)。,1、n維單位向量組 線性無關(guān),簡單結(jié)論：,3、由兩個向量 構(gòu)成的向量組線性相關(guān)的 充要條件是 成比例，線性無關(guān)的充要 條件是 不成比例。,2、由一個向量 構(gòu)成的向量組線