1、3.5.2簡單線性規(guī)劃,1：畫出不等式（組）表示的平面區(qū)域： y2x+1 4x-3y9 x+2y4,說明：直線定界、特殊點(diǎn)定域 劃分區(qū)域時(shí)，找好特殊點(diǎn)，注意不等號。,y=2x+1,x+2y=4,3x+5y25,x-4y-3,x1,問題：有無最大(小)值？,x,y,o,問題：2+有無最大(小)值？,引例,設(shè)z = 2x + y，式中變量x、 y滿足下列條件 求z的最大值和最小值,分析：不等式組表示的區(qū)域是圖中的ABC,z = 2x + y,l2,l1,求最值的方法1. 截距法,在經(jīng)過不等式組表示的公共區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)且平行于l0的直線中，以經(jīng) 過點(diǎn)A(5，2)的直線 l2 所對應(yīng)的截距最大故 zmax

2、= 2 5 + 2 = 12， 以經(jīng)過點(diǎn)B(1，1)的直線l1所對應(yīng)的z最小故 zmin = 2 1 + 1= 3,思考: 2x + y -z= 0(z R)可看作什么? 一組平行直線,都與直線l0：2x + y = 0平行.,求最值的方法2. 距離法,作一組與直線l0平行的直線(或平行移動(dòng)直線l0)l：2x + y = z，z R,求最值的方法2. 距離法,在經(jīng)過不等式組所表示的公共區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)且平行于l的直線中，以經(jīng)過點(diǎn)A(5，2)的直線l2所對應(yīng)的d最大，,l2,求最值的方法2. 距離法,以經(jīng)過點(diǎn)B(1，1)的直線l1所對應(yīng)的d最小所以：zmax = 2 5 + 2 = 12，zmin =

3、 2 1 + 1= 3,l2,l1,求最值的方法2. 距離法,在上述問題中，不等式組是一組對變量x、y的約束條件，由于這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式，所以又可稱其為線性約束條件z = 2x + y是欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，我們把它稱為目標(biāo)函數(shù)由于z = 2x + y又是關(guān)于x、y的一次解析式，所以又可叫做線性目標(biāo)函數(shù),線性規(guī)劃的有關(guān)概念：,線性規(guī)劃的概念：,問題：設(shè)z=2x+y，式中變量滿足下列條件： 求z的最大值與最小值。,目標(biāo)函數(shù) （線性目標(biāo)函數(shù)）,線性約 束條件,注意：線性約束條件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示 一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束

4、條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題例如： 我們剛才研究的就是求線性目標(biāo)函數(shù)z = 2x + y在線性約束條件下的最大值和最小值的問題，即為線性規(guī)劃問題,線性規(guī)劃的有關(guān)概念：,滿足線性約束條件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域在上述問題中，可行域就是陰影部分表示的三角形區(qū)域其中可行解(5，2)和(1，1)分別使目標(biāo)函數(shù)取得最大值和最小值，它們都叫做這個(gè)問題的最優(yōu)解,線性規(guī)劃的有關(guān)概念：,解線性規(guī)劃問題的基本步驟： 第一步在平面直角坐標(biāo)系中畫出可行域. 第二步：平移直線 在可行域內(nèi)找出最優(yōu)解所對應(yīng)的點(diǎn)(找使縱截距取得最值時(shí)的點(diǎn)). 第三步：解方程組，從而求出目

5、標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值,簡記為: 畫.移.求,例1已知x、y滿足 ， 試求z = 300 x + 900y的最大值,典型例題：,分析：先畫出平面區(qū)域，然后在平面區(qū)域內(nèi)尋找使z = 300 x + 900y取最大值時(shí)的點(diǎn),例1已知x、y滿足 ， 試求z = 300 x + 900y的最大值,典型例題：,解：作出可行域，見圖中四邊形AOBC表示的平面區(qū)域,典型例題：,作出直線l0：300 x + 900y = 0，即x + 3y = 0， 將它平移至點(diǎn)A， 顯然，點(diǎn)A的坐標(biāo)是可 行域中的最優(yōu)解，它使 z = 300 x + 900y達(dá)到最大值 易得點(diǎn)A(0，125)，所以 z max = 3000

6、 + 900125 = 112500,l0：x + 3y = 0,2x + y = 300,典型例題：,變題1：在例1中，若目標(biāo)函數(shù)設(shè)為z = 400 x + 300y，約束條件不變，則z的最大值在點(diǎn)C處取得,l0：4x + 3y = 0,2x + y = 300,變題2：若目標(biāo)函數(shù)設(shè)為z = 300 x + 600y，約束條件不變，則z的最大值?,可在線段AC上任一點(diǎn)處取得,事實(shí)上，可行域內(nèi)最優(yōu)解對應(yīng)的點(diǎn)在何處，與目標(biāo)函數(shù)z = ax + by(a 0，b 0)所確定的直線l0：ax + by = 0的斜率( )有關(guān) 就本例而言，若 = (直線x + 2y = 250的斜率)，則線段AC上所

7、有點(diǎn)都使z取得最大值(如：z = 300 x + 600y時(shí))；,當(dāng) 0時(shí)，點(diǎn)A處使z取得最大值(比如：例1)；當(dāng) 2 時(shí)，點(diǎn)C處使z取得最大值(比如：z = 400 x + 300y時(shí))， 其它情況請同學(xué)們課外思考,例2：設(shè)z2xy,式中變量x、y滿足下列條件 求的最大值和最小值。,解：作出可行域如圖：,當(dāng)0時(shí)，設(shè)直線 l0：2xy0,當(dāng)l0經(jīng)過可行域上點(diǎn)A時(shí)， z 最小，即最大。,當(dāng)l0經(jīng)過可行域上點(diǎn)C時(shí)， 最大，即最小。, zmax2528 zmin214.4 2.4,(5,2),(1,4.4),平移l0，,平移l0 ，,2xy0,三個(gè)轉(zhuǎn)化,圖解法,想一想(結(jié)論):,線性約束條件,可行域

8、,線性目標(biāo)函數(shù) Z=Ax+By,最優(yōu)解,尋找平行線組的 最大（?。┛v截距,求最值的方法: 1,距離法; 2,截距法.,1 （2012年高考（遼寧文理）設(shè)變量x,y滿足 則2x+3y的最大值為（） A20B35C45D55,1. 【答案】D 【解析】畫出可行域,根據(jù)圖形可知當(dāng)x=5,y=15時(shí)2x+3y最大,最大值為55,故選D,D,2 （2012年高考（天津文）設(shè)變量滿足約束條件 則目標(biāo)函數(shù)的最小值 （） A-5B-4C-2D3,【解析】做出不等式對應(yīng)的 可行域如圖,由圖象可 知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn) 時(shí),直線的 截距最大,而此時(shí)最小為,選B.,B,3（2012年高考（浙江文）設(shè)z=x+2y, 其中實(shí)數(shù)

9、x,y滿足, 則z的取值范圍是 _.,【解析】利用不等式組,作出可行域,可知區(qū)域表示的四邊形, 但目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)(0,0)時(shí),目標(biāo)函數(shù)最小,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn) 時(shí)最大值為 .,0 , ,1. 求z = 600 x + 300y的最大值，使式 中的x，y滿足約束條件 ,附加練習(xí),分析：畫出約束條件表示的平面區(qū)域即可行域再解,2x + y = 0,z max = 60070 + 30090 = 69000,2. 已知x、y滿足不等式組 求z = 3x + y的最小值,附加練習(xí),分析：可先找出可行域,平行移動(dòng)直線l0：3x + y = 0，找出可行解，進(jìn)而求出目標(biāo)函數(shù)的最小值.,z min = 1,l0：3x + y = 0,3滿足線性約束條件 的可行域內(nèi)共有_個(gè)整數(shù)點(diǎn),4,4設(shè)z = x y，式中變量x，y滿足 求z的最大值和最小值,z max = 1， z min = 3,附加練習(xí)：,(1) 求z =