1、工程流體力學,2015. 9,第八章 不可壓縮流體的無粘流動 8.1速度環(huán)量 8.2流函數與速度勢 8.3基本平面勢流 8.4基本平面勢流的簡單疊加 8.5平行流繞流圓柱體的流動,自然界出現的流體運動絕大多數都是有旋運動，它們有時很容易觀察到，如當河水流過橋墩和劃船用漿擊水時，在橋墩和漿的后面總要形成渦旋，船只行駛時船尾部也同樣隨著渦旋區(qū)。還有大氣中的臺風和龍卷風也是渦旋運動。,自然界中流體的渦旋運動,熱帶氣旋,臺風來了！,卡門渦街,澡盆渦,卡門渦街造成美國著名的塔科馬海峽大橋于1940年11月7日在8級大風中崩塌。,水龍卷,陸龍卷,2010年5月黑龍江發(fā)生的龍卷風,實際上，渦旋的產生、變化對

2、流體運動有重要影響。 （1）氣旋的形成與變化常決定了氣象條件的變化； （2）飛機與船只在流體中運動時，渦旋運動要耗散能量、產生阻力； （3）飛機的翼型及升力也與渦旋有關； （4）水利建設中也常人為地制造渦旋以消耗水流的動能，從而保護壩基。 因此在流體力學中，渦旋運動的基本理論占有很重要的地位。,試驗還發(fā)現分散成若干多股水體比一整股水體時的流態(tài)的穩(wěn)定性好、消能率高。,此種型式的消能方式是否存在立軸漩渦？從表孔下泄的高速水流，在各股水體的間隔處，必將產生剪切渦。目前水利專家正在研究的兩個問題： (1)剪切渦是否會發(fā)展成為立軸漩渦； (2)若形成立軸漩渦，立軸漩渦是否會延伸到消力池底板。,8.1速度

3、環(huán)量 、速度環(huán)量 如圖，求微元線段 與 速度 在方向 上的分 量的乘積沿AB曲線的積分： 若A與B重合, 便成了封閉周線.速度在封閉周線切線上的分量沿該封閉周線K的線積分稱為速度環(huán)量, 表示為：,速度環(huán)量的正向規(guī)定為:沿封閉周線前進時,周線所包圍的面積在速度方向的左側。因此，逆時針方向的速度環(huán)量為正. 二、斯托克斯定理（Stokes Law） 當封閉周線內有渦束時，則沿封閉周線的速度環(huán)量等于該封閉周線內所有渦束的漩渦強度之和。這就是斯托克斯定理。用公式表示為： 或：,1.微元封閉周線的斯托克斯定理 在oxy平面上取一微元 矩形封閉周線, 面積 dA=dxdy, 流體在A, B， C, D四點速

4、度如圖所示。 這樣，沿封閉周線ABCDA的速度環(huán)量為： 可見，沿微元封閉周線的速度環(huán)量等于該周線所包圍的面積內的漩渦強度，這就證明了微元封閉周線的斯托克斯定理。,可見，沿微元封閉周線的速度環(huán)量等于該周線所包圍的面積內的漩渦強度，即斯托克斯定理。 2單連通域與多連通域 要保證流場中的u，v，w，和p等都是x，y，z，t的單值連續(xù)函數，對流場所在區(qū)域要有限制條件：區(qū)域內任一條封閉周線連續(xù)地收縮成一點而不越出流體的邊界。這種區(qū)域稱為單連通區(qū)域，否則稱多連通區(qū)域。 將外周線K1, 內周線K2用AB, AB連接,將原區(qū)域用封閉周 線ABK2BAK1A所包圍, 則 該區(qū)域即成為單連通區(qū)域。,3.有限單連通

5、區(qū)域的斯托克斯定理 對任一微元矩形可求得速度環(huán)量 di=dIi，則總速度環(huán)量： 另一方面，總速度環(huán)量中沿各微 元矩形內周線的相鄰切向速度線 積分方向相反，剛好抵消，僅剩 下沿外封閉周線K的切向速度線 積分，即： 總速度環(huán)量： 即沿有限單連通域K封閉周線的速度環(huán)量等于通過該區(qū)域漩渦強度的總和,這就是有限單連通區(qū)域的斯托克斯定理。,4.多連通區(qū)域的斯托克定理 對右圖中由多連通區(qū)域 改成的單連通區(qū)域，速 度環(huán)量可寫成： 由Stokes定理： 假如外周線內有多個內周線，則多連通區(qū)域的Stokes定理成為：,Stokes定理說明，速度環(huán)量取決于所包圍區(qū)域內的漩渦。沒有旋渦，就沒有環(huán)量。反過來，環(huán)量等于零

6、，總漩渦強度等于零，環(huán)量不等于零，必然存在漩渦。 例1：試證明平行流的速度環(huán)量等于零。 流體以等速度u0沿水平 方向流動，求沿矩形封 閉周線的速度環(huán)量： 同樣可證，沿其它周線的速度環(huán)量也等于零。,例2：求有間斷面的平行流中的速度環(huán)量。 如圖，包有間斷面的兩股平行流中矩形封閉周線的速度環(huán)量： 有間斷面的平行流 中速度環(huán)量不等于零。 在實際流體中, 由于粘 滯力的作用, 使分界面 上下形成速度梯度, 即 所以有漩渦存在。,三.湯姆生定理（Thomsons Law） 湯姆生定理：正壓性的理想流體在有勢的質量力的作用下沿任何由流體質點組成的封閉周線的速度環(huán)量不隨時間變化。 1.證明：沿封閉周線的速度環(huán)

7、量： 速度環(huán)量隨時間的變化率：,理想流體歐拉運動微分方程： 代入（a）式右邊第二項得： (a)式成為,2.討論 在理想流體中速度環(huán)量和漩渦都不能自行產生，自行消滅。流場中原來有渦的，則永遠有渦，原來沒有渦的，就永遠沒有。 四、海姆霍茲定理（Helmholezs Law） 海姆霍茲的三個漩渦定理是研究理想流體有旋流動的基本定理，它說明了漩渦的基本性質。（通過環(huán)量證明Stokes定理）。 1海姆霍茲第一定理： 在同一瞬間渦管各截面上的漩渦強度都相同。 證明：,即沿包圍渦管任一封閉 周線的速度環(huán)量都相等。 也就是在渦管各截面上 的漩渦強度都相等。即 可見,渦管在流體中既不 能開始,也不能終止,只能

8、是自成封閉的管圈,或在 邊界上開始,終止,如圖示。,2. 海姆霍茲第二定理:(渦管守恒定理） 正壓性的理想流體在有勢的質量力作用下，渦管永遠保持為由相同流體質點組成的渦管。 證明： 在渦管表面上取封閉周線 K 沿周線K的速 度環(huán)量等于零 速度環(huán)量不隨時間變化, 沿 周線K的速度環(huán)量永遠是零。 渦管永遠保持為由相 同質點組成的渦管。,3海姆霍茲第三定理： 在有勢的質量力的作用下，正壓性的理想流體中任何渦管的漩渦強度不隨時間變化，保持定值。 證明： 根據湯姆生定理，沿封閉周線的速度環(huán)量不隨時間變化，該環(huán)量等于渦管的漩渦強度，所以渦管的漩渦強度也不隨時間變化。,8.2,速度勢與流函數 一.有勢流動

9、對無旋流動，滿足： 若令： 得： 則,同理，可得 按矢量分析： 無旋流動必可表示成某一函數 的梯度。函數就稱為速度勢函數，所以無旋流動也稱為有勢流動。 二、速度勢的特點 在有勢流動中沿曲線的切向速度線積分等于終點和起點的速度勢之差，與曲線形狀無關。,證： 在有勢流動中，沿任一封閉周線的速度環(huán)量等于零。 證：,不可壓縮流體的有勢流動，速度勢滿足拉普拉斯方程。 證： 不可壓縮流體的連續(xù)性方程： 將 代入得 滿足拉普拉斯方程的函數稱為調和函數，速度勢函數 是一個調和函數。 求解不可壓縮流體有勢流動,歸結為根據起始條件和邊界條件求解Laplace方程得到速度勢進而求得速度場,再根據伯努里方程求得壓力分

10、布。,三、流函數 1流函數的導出 由不可壓縮流體的連續(xù)性方程得： 平面流動的流線微分方程： 得 令全微分 即函數永遠滿足連續(xù)性方程。,在流線上d=-vdx+udy=0，即=常數。所以函數(x,y)稱為流函數。 2流函數的物理意義 流函數的物理意義：平面流動中兩條流線間通過的流體流量等于兩條流線上的流函數之差。 證明：如圖,通過AB上流函 數為1的流線和流函數為 2的流線間的體積流量為：,3討論 （1）只要是不可壓縮流體的平面運動，就存在流函數，而不論其是理想流體，還是粘性流體，是無旋流動還是有旋流動。 （2）不可壓縮流體平面無旋流動的流函數滿足拉普拉斯方程，也是調和函數。 證明： 無旋 z=0

11、, ,（3）等勢線簇和流線簇構成流網。 即 滿足上式，等勢 線簇和流線簇互相 正交，構成正交網 絡，簡稱流網 （如圖）,例 90角域流的速度勢和流函數,已知: 90角域流的速度分布式為：u=kx,v=-ky（k為常數）。,求：（1）判斷該流場是否存在速度勢，若存在請確定其形式并畫等勢線圖； （2）判斷該流場是否存在流函數。若存在請確定其形式并畫流線圖；,解：（1）先計算速度旋度,上式中C為常數。速度勢函數為,說明流場是無旋的，存在速度勢(x, y)，,(a),等勢線方程為x2-y2=常數，在xy平面上是分別以第一、三象限角平分線和第二、四象限角平分線為漸近線的雙曲線族，如圖中的實線所示。,（2

12、）再計算速度散度,說明該流場是不可壓縮平面流動，存在流函數(x,y)，,上式中C為常數，流函數為,流線方程為xy=常數，在xy平面上是分別以x,y軸為漸近線的雙曲線族，如圖中的虛線所示。x,y軸也是流線，稱其為零流線。流線族與等勢線族正交。,(b),已知: 90角域流的速度分布式為：u=kx,v=-ky（k為常數）。,(a),8.3基本平面勢流 一、平行流 設流體作等速直線流動。 積分得速度勢： (a) 又,積分得流函數 (b) 顯然（a）,(b)兩式滿足Laplace方程，而且等勢線 與流線 互相垂直。 二、點源與點匯 1.點源與點匯定義 設在無限平面上流體從一點沿徑向直線均勻地向各方流出，

13、這種流動稱為點源，這個點稱為源點。如圖(a)。 若流體沿徑向直線均勻地從各方流入一點，這種流動稱為點匯，這個點稱為匯點，如圖(b)。,在這些流動中，從源點流出和向匯點流入都只有徑向速度。將極坐標的原點作為源點（或匯點），則： 即 2勢函數 每秒通過半徑為的單位長度圓柱面的流量為： 得 點源 點匯, 積分得： 源點（匯點）為奇點。 3流函數 積分得： 等勢線是半徑不同的同心圓，與流線正交。 同樣可證明和都滿足Laplace方程，點源和點匯確是無旋流動。,4壓力分布 平面oxy是無限水平面，根據伯努里方程： 將 表達式代入上式，得： 可見: 圖中表示 時, 點匯沿半徑 r的壓力分布。,三、渦流和點

14、渦 1渦束與渦流 渦束象剛體一樣以等角速度繞自身（Z軸）旋轉，由渦束誘導出的平面流, 稱為渦流. 如圖,它是以坐標原點為圓心的同心圓。 按Stokes定理, 沿圓周流線 的速度環(huán)量等于渦束的漩 渦強度（I），即: 可見：,在渦束內 2勢流旋轉區(qū)的壓力分布 伯努里方程： 在渦束邊緣 由此解得渦核半徑,3渦核區(qū)的壓力分布 平面定常流動的Enlar運動方程： 渦內速度 代入, 再分別乘 并相加得 即 積分得：,4壓力分布圖 渦核中心的壓力： 渦核邊緣的壓力：,故 可見，渦核內、外壓降相等，都等于以渦核邊緣的速度計算的動壓頭。如圖所示。,5點渦 成為一條渦線，這樣的渦流稱為點渦。 渦點是一奇點。 (1

15、) 速度勢 積分得速度勢,（2）流函數 積分得流函數 環(huán)流逆時針, 環(huán)流順時針.,8.4 基本平面勢流的簡單迭加 一、無旋流動的特性 無旋流動有一重要特性：幾個無旋流動迭加后仍然是無旋流動。 證： 設： 則 同樣：,求 對x的偏導數 此即速度在 x 方向的分量： 同樣，求對y的偏導數得： 即 可見，無旋流動的速度勢及流函數的代數和等于新的無旋流動的速度勢和流函數，它的速度是這些無旋流動速度的矢量和。,二、點匯和點渦螺旋流 在旋風燃燒室、離心式噴油嘴和離心式除 塵器等設備中, 流體自外沿 圓周切向進入, 又從中央不 斷流出。這樣的流動可認為 是點匯和點渦的迭加。設環(huán) 流方向為逆時針方向,則迭加

16、后新的組合流動的速度勢為： 流函數,令 =常數， 得等勢線 =常數，得流線 這是兩組相互正交的對數螺旋線簇，如圖，稱為螺旋流。 切向速度： 徑向速度： 代入伯努里方程，得流場中的壓力分布,水泵、風機等外殼中的 流動是點源和點渦迭加 的例子，如圖。 三、點源和點匯 偶極流 1.點源與點匯 將位于A(-a, 0)的點源 和位于B(a, 0)的點匯迭 加, 迭加后速度勢為:,如圖 若 流函數 式中 為動點P與源點A和匯 點B的連接線 之間的夾角。 由流線方程， 得, 即流線是經過源 點A和匯點B的圓線簇。,2偶極流 點源和點匯無限接近，即， 就是偶極流。 使 (有限常量)，M為偶極矩。 偶極流的速度

17、勢： 如圖,即流線是半徑為， 圓心為 且與x軸在原點相切的 圓周簇，如圖中實線。 等勢線是半徑為， 圓心為 且與y軸在原點相切 的圓周簇，如圖中虛線。,8.5平行流繞圓柱體的流動 一.平行流繞圓柱體無環(huán)量的流動 1.平行流和偶極流迭加而成的組合平面流動 流函數 流線方程 零流線方程： 即,所以, 零流線是一個 以坐標原點為圓心,半徑 的圓周 和x軸所構成的圖形。這 流線到A處分成兩股,沿上、 下兩個半圓周流到B點， 又重新匯合，如圖。 2、平行流繞圓柱體無環(huán)流的平面流動 一個平行流繞半徑為 的圓柱體的平面流動，可以用這個平行流與偶極矩 的偶極流迭加面成的組合流動代替。,流函數： 速度勢： 3、

18、繞流的速度分布 流場中任一點的速度分量 沿包圍圓柱體圓形周線的速度環(huán)量： 平行流繞圓柱體的平面流動沒有速度環(huán)量。,在圓柱面上速度按正 弦曲線分布，如圖。 在0和180(A點)處， , 稱為駐點。在90，270處， 達到最大值 4、繞流的壓力分布 圓柱面上任一點的壓力，由伯努里方程：,工程上常用無因次的壓力系數表示作用在物體任一點的壓力，定義為： 對繞流圓柱體： 根據上式計算 出的理論無因 次壓力系數曲 線如圖中實線 所示. 注意此時 角是從前駐 點沿順時針 方向增加。,前駐點 (0)： ( 90): 后駐點（180）：與點相同。 可見，圓柱體所 受流體壓力上下 左右都對稱。因 此，作用在圓柱 面上的壓力在各 個方向上都互相 平衡，合力等于 零。,5、達朗伯疑題 理想流體繞流圓柱體， 作用在圓柱面上的合力 為零可用分析方法證明。 如圖，在單位柱長圓柱 體上，作用在微元弧段 的微小總壓力 ，則 沿x向y向的分量為： ,流體作用在圓柱體上總壓力沿x向和y向的分量： 即作用在圓柱體上的壓力合力為零。圓柱體受到的與來流方向平行和垂直的力，又稱為流體作用在圓柱體上的阻力和升力。所以當理想流體的平行流無環(huán)流地繞流圓柱體時，沒有作用在圓柱體上的阻力和升力。這個結果與實驗有很大的矛盾，這就是著名的達朗伯疑題。 其原因在于實際流體都是有粘