1、2020/9/6,1,第2章 積分學(xué),本章主要內(nèi)容 不定積分的概念與性質(zhì) 不定積分的計(jì)算 定積分的概念與性質(zhì) 定積分的計(jì)算與應(yīng)用 廣義積分,2020/9/6,2,復(fù)習(xí)回顧,不定積分的定義 不定積分的性質(zhì) 不定積分的幾何意義 不定積分計(jì)算的直接積分法,2020/9/6,3,練習(xí),求下列函數(shù)的積分,2020/9/6,4,2020/9/6,5,2.2.3 換元法,大量初等函數(shù)的原函數(shù)需要根據(jù)被積函數(shù)的類型和特點(diǎn)靈活地運(yùn)用各種技巧。 換元法，就是通過(guò)適當(dāng)?shù)膿Q元，使某些不定積分的被積函數(shù)換成符合基本積分表中的形式，從而得到它的原函數(shù)。 換元法通常分為第一類換元法和第二類換元法。,2020/9/6,6,2

2、.2.3 換元法 （續(xù)一）,第一類換元法 （湊微分法） 例2-7 求 。 解,2020/9/6,7,2.2.3 換元法 （續(xù)二）,如果不定積分 不能直接利用基本積分公式求解，但被積函數(shù)g(x)可變形為 作變量代換u(x) ，并將湊微分成d(x) ，則可將關(guān)于變量x的積分轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量u的積分，于是有,2020/9/6,8,2.2.3 換元法 （續(xù)三）,定理2-3 （第一類換元法）若已知 并且u(x)是可微函數(shù)，則有 （2-7） 第一類換元法又稱為湊微分法?！皽愇⒎帧狈从沉诉@種方法的本質(zhì)。,2020/9/6,9,2.2.3 換元法 （續(xù)四）,運(yùn)用湊微分法的思考過(guò)程是：將被積函數(shù)看成兩個(gè)函數(shù)f(x

3、)和 的乘積，將 湊微分得到d(x)，然后將(x)作為中間變量完成積分 。 所以，成功運(yùn)用湊微分法的關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù) ，既要方便地湊微分得到d(x)，又要使 比較容易積分。,2020/9/6,10,2.2.3 換元法 （續(xù)一）,2020/9/6,11,2.2.3 換元法 （續(xù)五）,第一類換元法圖解,不容易積分,容易積分,恰當(dāng)選擇(x),2020/9/6,12,2.2.3 換元法 （續(xù)六）,運(yùn)用湊微分法，熟練以后可以省略寫(xiě)出引進(jìn)變量u的步驟。 下面是最常用的湊微分等式。 （1） (a，b為常數(shù)， a 0) （2） （3） （4）cosxdxdsinx （5）sinxdxdcosx,2020/

4、9/6,13,2.2.3 換元法 （續(xù)七）,例2-8 求 。 解,2020/9/6,14,2.2.3 換元法 （續(xù)八）,第一類換元法 例2-9 求 。 解 類似地求,2020/9/6,15,總結(jié),當(dāng)正弦的冪與余弦的乘積同時(shí)出現(xiàn)在被積函數(shù)中時(shí)，將余弦變?yōu)檎业膶?dǎo)數(shù)如 當(dāng)正弦與余弦的冪的乘積同時(shí)出現(xiàn)在被積函數(shù)中時(shí)，將正弦變?yōu)橛嘞业膶?dǎo)數(shù)如,2020/9/6,16,2.2.3 換元法 （續(xù)九）,例2-10 求 。 解,2020/9/6,17,2.2.3 換元法 （續(xù)十）,補(bǔ)例 求 。 解,2020/9/6,18,2.2.3 換元法 （續(xù)十一）,例2-11 求 。 例2-12 求 。,2020/9/6,19,2.2.3 換元法 （續(xù)十二）,例2-13 求 。 例2-14 求 。,2020/9/6,20,2.2.3 換元法 （續(xù)十三）,例2-15 求 。 例2-16 求,2020/9/6,21,例2-17 求積分：(1),分析：本題中不定積分均不能直接用湊微分法求解， 需先把被積函數(shù)適當(dāng)變形后再求積分。,解 (1)因?yàn)?所以,2020/9/6,22,(2),因?yàn)?所以,2020/9/6,23,例2-18 求,解 由于,得