1、2020/9/6,第四章 根軌跡法,1,第四章,根軌跡法,作者： 浙江大學(xué) 鄒伯敏 教授,自動(dòng)控制理論,普通高等教育“十一五”國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材,2020/9/6,第四章 根軌跡法,2,第一節(jié) 根軌跡法的基本概念,自動(dòng)控制理論,什么是根軌跡法,閉環(huán)特性方程式,當(dāng)K由0變化,特征根s1和s2相應(yīng)的變化關(guān)系如表4-1所示。,表4-1 根與K的關(guān)系,圖4-1 二階系統(tǒng),(4-1),方程式(4-1)的根為,2020/9/6,第四章 根軌跡法,3,圖4-2 系統(tǒng)的根軌跡,對(duì)于不同的K值,系統(tǒng)有下列三種不同的工作狀態(tài):,1) 0K， s1、 s1為兩相異的實(shí)數(shù)根（過(guò)阻尼狀態(tài)） 2) K=， s1、 s1為兩相

2、等實(shí)根，s1 = s2 =-0.5，（臨界阻尼） 3) K， s1 、s2為一對(duì)共軛復(fù)根（欠阻尼）,如要求系統(tǒng)在階躍信號(hào)的作用下，超調(diào)量為49%。,自動(dòng)控制理論,由式（3-26）求得,由于 ，在圖4-2上過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn) 作與負(fù)實(shí)軸夾角為45和射線，它與根軌跡的 交點(diǎn)S= -05j0.5，這就是所求的希望閉環(huán)極點(diǎn)。,2020/9/6,第四章 根軌跡法,4,圖4-3 控制系統(tǒng)的框圖,根軌跡的幅值條件與相角條件,特征方程：,于是得：,假設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)用零、極點(diǎn)形式表示：,自動(dòng)控制理論,由上式可知，凡是滿足方程,的s值，就是該方程的根，或是根軌跡上的 一個(gè)點(diǎn)。由于s 是復(fù)數(shù)，故有：,2020/9/6,

3、第四章 根軌跡法,5,則上式改寫為：,于是得：,自動(dòng)控制理論,2020/9/6,第四章 根軌跡法,6,自動(dòng)控制理論,圖4-4 一階系統(tǒng),設(shè)一控制系統(tǒng)的框圖如圖4-4所示，由根軌跡 的幅值條件得：,即,令,（4-10）,（4-11）,式（4-11）表明，系統(tǒng)的等增益軌跡是一簇 同心圓，如圖4-5所示。,圖4-5 圖4-4系統(tǒng)的等增益軌跡和根軌跡,2020/9/6,第四章 根軌跡法,7,結(jié)論：,自動(dòng)控制理論,根軌跡就是s 平面上滿足相角條件點(diǎn)的集合。由于相角條件是繪制根軌跡 的基礎(chǔ)，因而繪制根軌跡的一般步驟是：,找出s 平面上滿足相角條件的點(diǎn)，并把它們連成曲線 根據(jù)實(shí)際需要，用幅值條件確定相關(guān)點(diǎn)對(duì)

4、應(yīng)的K值,例4-1 求圖4-1所示系統(tǒng)的根軌跡,解：,1）用相角條件繪制根軌跡,2）用幅值條件確定增益K,2020/9/6,第四章 根軌跡法,8,圖4-6 用試探法確定根軌跡,自動(dòng)控制理論,2020/9/6,第四章 根軌跡法,9,第二節(jié) 根軌跡的基本規(guī)則,開環(huán)傳遞函數(shù)有如下兩種表示：,其中，K為系統(tǒng)的開環(huán)增益；K0為系統(tǒng)的根軌跡增益它們之間的 關(guān)系為：,自動(dòng)控制理論,2020/9/6,第四章 根軌跡法,10,繪制根軌跡的基本規(guī)則,規(guī)則1：根軌跡的對(duì)稱性,由于系統(tǒng)特征方程式的系數(shù)均為實(shí)數(shù),因而特征根或?yàn)閷?shí)數(shù),或?yàn)楣曹棌?fù)數(shù).根軌跡必然對(duì)稱于S平面的實(shí)軸,規(guī)則2：根軌跡的分支數(shù)及其起點(diǎn)和終點(diǎn),閉環(huán)特

5、征方程：,當(dāng)k由 變化時(shí)，方程中任一根由始點(diǎn)連續(xù)地向終點(diǎn)變化的軌跡稱 為根軌跡的一條分支；,自動(dòng)控制理論,2020/9/6,第四章 根軌跡法,11,因?yàn)閚m，所以根軌跡分支共計(jì)為n條；,根軌跡起點(diǎn)就是k0=0時(shí)根的位置，當(dāng)k0=0時(shí)有：,根軌跡終點(diǎn)就是當(dāng) 時(shí)根的位置；,自動(dòng)控制理論,2020/9/6,第四章 根軌跡法,12,規(guī)則3：根軌跡在實(shí)軸上的分布,自動(dòng)控制理論,2020/9/6,第四章 根軌跡法,13,圖4-7 實(shí)軸上根軌跡的確定,實(shí)軸上根軌跡的確定完全取決于試驗(yàn)點(diǎn) 右方實(shí)軸上開環(huán)極點(diǎn)數(shù) 與零點(diǎn)數(shù)之和的數(shù)是否為奇數(shù)。,自動(dòng)控制理論,2020/9/6,第四章 根軌跡法,14,規(guī)則4：根軌跡

6、的漸近線,1、漸近線的傾角,2、漸進(jìn)線與實(shí)軸交點(diǎn),3、用分子除以分母得,自動(dòng)控制理論,2020/9/6,第四章 根軌跡法,15,則：,自動(dòng)控制理論,2020/9/6,第四章 根軌跡法,16,圖4-8 控制系統(tǒng)方框圖,例4-2 繪制圖4-8所示系統(tǒng)的根軌跡,1） 有三條根軌跡分支,它們的始點(diǎn)為開環(huán)極點(diǎn)(0,-1,-2） 2） 三條根軌跡分支的終點(diǎn)均在無(wú)限遠(yuǎn) 3） 漸近線與正實(shí)軸的夾角,解：,4）實(shí)軸上的0至-1和-2至-間的線段為根軌跡,自動(dòng)控制理論,2020/9/6,第四章 根軌跡法,17,規(guī)則5：分離點(diǎn)與會(huì)合點(diǎn),當(dāng)根軌跡分支在實(shí)軸上相交后走向復(fù)平面，此交點(diǎn)稱為根軌跡的分離點(diǎn)。當(dāng)根軌跡由復(fù)平面

7、走向?qū)嵼S時(shí)，它們?cè)趯?shí)軸上的交點(diǎn)稱為會(huì)合點(diǎn),圖4-10 根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn),圖4-11 根軌跡的復(fù)數(shù)分離點(diǎn),求解根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn),自動(dòng)控制理論,2020/9/6,第四章 根軌跡法,18,例4-3 求圖4-8所示系統(tǒng)的分離點(diǎn),解：特征方程,圖4-12 例4-4的根軌跡,例4-4 已知,求根的分離點(diǎn),1）有4條根軌跡分支,它們的始點(diǎn)分別為0，-4，-2j4 2） 漸近線與正實(shí)軸的夾角,解：,自動(dòng)控制理論,2020/9/6,第四章 根軌跡法,19,3） 實(shí)軸上的0至-4間的線段是根軌跡 4） 求分離點(diǎn)，系統(tǒng)的特征方程為,規(guī)則6：出射角與入射角,根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線與實(shí)軸正方向的夾角

8、稱根軌跡的出射角，根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線與實(shí)軸正方向夾角稱入射角,圖4-13 根軌跡出射角的確定,自動(dòng)控制理論,2020/9/6,第四章 根軌跡法,20,規(guī)則7：根軌跡與虛軸的交點(diǎn),例 已知閉環(huán)特征方程式為,由勞斯判據(jù)：,自動(dòng)控制理論,2020/9/6,第四章 根軌跡法,21,規(guī)則8：特征方程式根之和與根之積,把式（4-13）改為,自動(dòng)控制理論,2020/9/6,第四章 根軌跡法,22,如果n-m2則閉環(huán)方程,于是得：,例4-5 已知一單位反饋控制系統(tǒng)的,自動(dòng)控制理論,2020/9/6,第四章 根軌跡法,23,圖4-14 例4-5的根軌跡圖,自動(dòng)控制理論,2020/9/6,第四章 根軌

9、跡法,24,第三節(jié) 參量根軌跡的繪制,圖4-18 雙閉環(huán)控制系統(tǒng)的框圖,例4-7 試?yán)L制圖4-18所示的系統(tǒng)以為參變量的根軌跡,解：,圖4-19 例4-7的根軌跡圖,一個(gè)可變量根軌跡的繪制,自動(dòng)控制理論,2020/9/6,第四章 根軌跡法,25,幾個(gè)可變參量根軌跡的繪制,例4-8 試?yán)L制圖4-20所示,試?yán)L制以K和為參變量的根軌跡,圖4-21 根軌跡圖,圖4-20 單位反饋控制系統(tǒng),解： 特征方程式,自動(dòng)控制理論,2020/9/6,第四章 根軌跡法,26,第四節(jié) 非最小相位系統(tǒng)的根軌跡,開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)、極點(diǎn)均位于S左半平面的系統(tǒng)，稱為最小相位系統(tǒng)；反之，則稱為非最小相位系統(tǒng)出現(xiàn)非最小相位系

10、統(tǒng)有如下三種情況,1） 系統(tǒng)中有局部正反饋回路 2） 系統(tǒng)中含有非最小相位元件 3） 系統(tǒng)中含有純滯后環(huán)節(jié),圖4-22具有正反饋回路的控制系統(tǒng),正反饋回路的根軌跡,內(nèi)回路的閉環(huán)傳遞函數(shù)為,自動(dòng)控制理論,2020/9/6,第四章 根軌跡法,27,相應(yīng)的特征方程為,由上式得,正反饋系統(tǒng)根軌跡與負(fù)反饋系統(tǒng)根軌跡的不同這處有：,1）實(shí)軸上線段成這根軌跡的充要條件是該線段右方實(shí)軸上開環(huán)零點(diǎn)數(shù)與極點(diǎn)數(shù)這和為偶數(shù) 2）漸近線與實(shí)軸的傾角,3）開環(huán)共軛極點(diǎn)的出射角與開環(huán)共軛零點(diǎn)的入射角分別為,自動(dòng)控制理論,2020/9/6,第四章 根軌跡法,28,系統(tǒng)中含有非最小相位元件,圖4-23 非最小相位系統(tǒng),由相角條

11、件得,自動(dòng)控制理論,2020/9/6,第四章 根軌跡法,29,滯后系統(tǒng)的根軌跡,圖4-25 滯后系統(tǒng)的框圖,特征方程為,圖4-24,自動(dòng)控制理論,2020/9/6,第四章 根軌跡法,30,自動(dòng)控制理論,第五節(jié) 增加開環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響,當(dāng)按某一參變量作出系統(tǒng)的根軌跡圖后，如果系統(tǒng)的性能不能滿足設(shè)計(jì)要求時(shí)， 一般可增加開環(huán)零點(diǎn)的方法實(shí)現(xiàn)。,增加開環(huán)零點(diǎn),設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù),(4-50),當(dāng)K由 變化時(shí)，系統(tǒng)的根軌跡如圖4-29所示。,圖4-29 根軌跡圖,若增加一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)-b，則開環(huán)傳遞函數(shù)變?yōu)?(4-51),2020/9/6,第四章 根軌跡法,31,自動(dòng)控制理論,（1）假設(shè)零點(diǎn)-b位

12、于 的實(shí)軸段上，若令b=5，即,(4-52),根據(jù)式（4-52）作出的根軌跡圖如圖4-30所示。由勞斯判據(jù)求得該系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界增益k0=12，此值與未加零點(diǎn)前的值一樣大小。當(dāng)k012，根軌跡中有 兩條分支進(jìn)入s的右半平面，這表明附加零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)根軌跡的影響甚小，即系 統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能不會(huì)因此而有明顯的改善，其原因是該零點(diǎn)距離虛軸較遠(yuǎn)。,（2）假設(shè)零點(diǎn)-b位于 間的實(shí)軸段上，若令b=1.2，即,(4-53),據(jù)此作出系統(tǒng)的根軌跡如圖4-31所示。 由圖可見，當(dāng)K在 范圍內(nèi)變化時(shí)， 該系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。,圖4-30 系統(tǒng)的根軌跡圖,2020/9/6,第四章 根軌跡法,32,自動(dòng)控制理論,（3）假設(shè)零點(diǎn)-b

13、位于 間的實(shí)軸段上，若令b=0.4，即,(4-54),圖4-31 根軌跡圖,圖4-32 根軌跡圖,據(jù)此，作出系統(tǒng)的根軌跡圖如圖4-32所示。 由圖可知：,1）當(dāng)K由 變化時(shí)，系統(tǒng)的根軌跡都位于s平面 的左方，因而該系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。,2）當(dāng)kk1，3個(gè)團(tuán)環(huán)極點(diǎn)中同樣有一對(duì)共軛復(fù)數(shù) 極點(diǎn)s1、s2和一個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)s3，但由于極點(diǎn)s3距 虛軸很近，因而相應(yīng)的瞬態(tài)分量衰減得很緩慢， 從而導(dǎo)致系統(tǒng)的輸出響應(yīng)有較長(zhǎng)的過(guò)渡過(guò)程時(shí)間， 這是一般的控制系統(tǒng)所不希望的。,由上述分析可知，增加的開環(huán)零點(diǎn)于s平面實(shí)軸上的 不同位置，它對(duì)系統(tǒng)根軌跡所產(chǎn)生的影響是不同的。 對(duì)于某一具體的開環(huán)傳遞函數(shù)，只有選擇合適的附加零點(diǎn)

14、，才有可能使控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性及動(dòng)態(tài)性能得到顯著地改善。,2020/9/6,第四章 根軌跡法,33,增加開環(huán)極點(diǎn),自動(dòng)控制理論,若在開環(huán)傳遞函數(shù)中增加一個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，-p(p0)，則在根軌跡的相角方程中 增加了一個(gè)負(fù)角-arg(s+p)，從而導(dǎo)致系統(tǒng)的根軌跡作向右傾斜變化，這顯然 不利于系統(tǒng)的穩(wěn)定性及動(dòng)態(tài)性能的改善。對(duì)此，舉例如下：設(shè)一單位反饋系統(tǒng) 的開環(huán)傳遞函數(shù)為,系統(tǒng)的根軌跡如圖4-33所示。由圖可知，當(dāng)參變量K由 變化時(shí)，該系統(tǒng) 總是穩(wěn)定的。如增加一個(gè)開環(huán)極點(diǎn)-2，則開環(huán)傳遞函數(shù)變?yōu)?對(duì)應(yīng)的根軌跡如圖4-34所示。當(dāng)K6時(shí)，系統(tǒng)就變?yōu)椴环€(wěn)定了。,圖4-34 根軌跡圖,圖4-33 根軌跡圖,2

15、020/9/6,第四章 根軌跡法,34,第六節(jié) 用根軌跡法分析控制系統(tǒng),用根軌跡法確定系統(tǒng)中的有關(guān)參數(shù),圖4-35 控制系統(tǒng),試用選擇參數(shù)K1和K2以使系統(tǒng)滿足下列性能指標(biāo),自動(dòng)控制理論,2020/9/6,第四章 根軌跡法,35,在S左半平面上,過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作一與負(fù)實(shí)軸成45角的射線,如圖4-36所示,圖4-36 在S平面上希望極點(diǎn)的區(qū)域,自動(dòng)控制理論,2020/9/6,第四章 根軌跡法,36,圖4-37為對(duì)應(yīng)的根軌跡。,以為參變量的根軌跡如圖4-38所示,該圖與由過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作一與負(fù)實(shí)軸成45角的直線；并與根軌跡相交于-3.15j3.17。由根軌跡幅值條件求得=4.3=20K2 ； K2=0.215,因?yàn)樗g(shù)閉環(huán)極點(diǎn)實(shí)部=3.15;因而,圖4-37 式（4-63）的根軌跡,圖4-38 式（4-64）的根軌跡,自動(dòng)控制理論,2020/9/6,第四章 根軌跡法,37,