1、課 題：第三章 第2節(jié)圓的對(duì)稱性（1）課 型：新授課教學(xué)目標(biāo)：1. 理解圓的對(duì)稱性（軸對(duì)稱）及有關(guān)性質(zhì).（重點(diǎn)） 2理解垂徑定理及推論，并會(huì)運(yùn)用其解決有關(guān)問題(難點(diǎn))教法與學(xué)法指導(dǎo)：這節(jié)課主要通過“找圓心”等問題情境激發(fā)學(xué)生探究的興趣和熱情，經(jīng)歷“操作實(shí)踐大膽猜測(cè)-綜合證明-靈活應(yīng)用”的課堂模式，在探究垂徑定理過程中，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，并培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，勇于探索的精神.課前準(zhǔn)備：制作課件，學(xué)生預(yù)習(xí)學(xué)案.教學(xué)過程：一、情景導(dǎo)入 明確目標(biāo)組織教學(xué)：準(zhǔn)備，給每一位同學(xué)發(fā)放圓形紙片（用化學(xué)濾紙）；并提出問題，(問題1) 通過上節(jié)課車輪為什么是圓形的學(xué)習(xí)，認(rèn)識(shí)了圓的基本概念,這是一張圓形紙

2、片,你有什么辦法找出它的圓心呢？學(xué)生活動(dòng) ：學(xué)生憑借經(jīng)驗(yàn)很容易想到用兩次折疊的方法，找到圓心.師：同學(xué)們上一節(jié)課,我們學(xué)習(xí)了圓的基本概念，知道，半徑定圓的大小，圓心定圓的位置.下面，請(qǐng)一位同學(xué)到前面演示自己找圓心的過程.學(xué)生演示：師：（問題2） 在折疊的過程中，你從中還知道圓具有什么性質(zhì)?生1：老師，圓是對(duì)稱圖形，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形.師：很好，同學(xué)們觀察的很認(rèn)真，這節(jié)課，我們重點(diǎn)研究圓的軸對(duì)稱性，那么，圓的對(duì)稱軸是怎樣的直線，有多少條對(duì)稱軸？生2：老師，圓的對(duì)稱軸是直徑，它有無數(shù)條對(duì)稱軸.師：同學(xué)們，這位同學(xué)回答的對(duì)嗎？生3：不正確，對(duì)稱軸應(yīng)該是直線，而直徑是線段，應(yīng)該說，對(duì)稱軸

3、是直徑所在的直線，或者是過圓心的直線.教師活動(dòng)：進(jìn)行鼓勵(lì)表揚(yáng)并板書，3.2 圓的對(duì)稱性（1）圓的對(duì)稱性：圓是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是任意一條過圓心的直線.設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，而興趣又是最好的老師.通過設(shè)計(jì)一連串的問題情境容易引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和探究的興趣，在動(dòng)手操作中既復(fù)習(xí)圓的意義，又探索到圓的對(duì)稱性.二、自主學(xué)習(xí) 合作探究：探究活動(dòng)一：圓的基本概念（讓學(xué)生注意觀察動(dòng)畫課件）學(xué)案(問題3)：（1）什么是弦？什么是?。咳绾螀^(qū)別？怎么表示？（2）弧與弦分別可以分成幾類？它們?nèi)绾螀^(qū)分？ 學(xué)情預(yù)設(shè)：可能出現(xiàn)的情形一：學(xué)生看書后能理解弦、弧、優(yōu)弧、劣弧及半圓的意義，但是難以區(qū)別異同，如：弦是

4、線段，弧是曲線段；直徑是弦，但弦不一定是直徑；半圓是弧，但弧不一定是半圓；半圓既不是劣弧，也不是優(yōu)弧情形二：學(xué)生寫出的弧可能重復(fù)或遺漏，不能掌握“優(yōu)弧與劣弧成對(duì)出現(xiàn)”的規(guī)律.情形三：優(yōu)弧的表示方法.以上若學(xué)生不能討論總結(jié)得出，則需要老師引導(dǎo)得出結(jié)論.學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生在預(yù)習(xí)的前提下邊觀察圖形演示邊獨(dú)立思考，再在四人小組間交流討論.教師活動(dòng)：參與學(xué)生的討論，注意收集信息，以便及時(shí)補(bǔ)充，然后提問.生1：(1)連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦經(jīng)過圓心的弦叫直徑. 圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧;直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩個(gè)部分，每一部分叫做半圓.大于半圓弧叫優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣弧.生2：弦是線段，弧

5、是曲線段.弧的表示方法是在兩個(gè)端點(diǎn)上面添加“符號(hào).生3：弦分為過圓心的和不過圓心的弦；弧分為劣弧、半圓、優(yōu)弧. 師 同學(xué)們總結(jié)的很好，下面，結(jié)合圖形加深認(rèn)識(shí)，并思考，你還可以得出什么性質(zhì).教師活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生，能不能從它們之間的相互關(guān)系來比較說明. 生4：直徑是弦，但弦不一定是直徑；半圓是弧，但弧不一定是半圓；半圓既不是劣弧，也不是優(yōu)弧. 生5：直徑是圓中最大的弦.學(xué)生活動(dòng):整理好筆記.設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生帶著問題探究，加強(qiáng)自主探究的針對(duì)性，激發(fā)思考與交流，從而真正掌握它們的本質(zhì)與異同，學(xué)會(huì)辨證統(tǒng)一、分類討論地解決問題，提高課堂效率.探究活動(dòng)二：垂徑定理 （問題4）（1）剛才折出的兩條直徑是怎樣的位

6、置關(guān)系？圖中能得出哪些等量關(guān)系？（2）若把AB向上平移到任意位置，成了不是直徑的弦，折疊后猜想：還有與剛才類似的結(jié)論嗎？有哪些方法證明你的猜想正確與否？（3）思考：上述探索過程利用了圓的什么性質(zhì)？還運(yùn)用了哪些知識(shí)？若只證明AM=BM，還有什么方法？ （4）把上述發(fā)現(xiàn)歸納成文字語言和幾何語言. 學(xué)生活動(dòng)：拿出圓形紙片,將其對(duì)折，得到一條折痕CD,在CD上取一點(diǎn)M，作CD的垂線AB,然后再將圓沿CD對(duì)折，觀察，得出結(jié)論.生1：垂直關(guān)系；相等的量有，AM=BM, 因?yàn)閳A沿直線CD對(duì)折后，點(diǎn)A與B重合.生2： 若只證明AM=BM，還可以用等腰三角形“三線合一”. 證明：連接OA,OB則OA=OB又 C

7、DABAM=BM,CD是線段AB的垂直平分線點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于直線CD對(duì)稱教師活動(dòng):引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)并板書文字語言和幾何語言：垂徑定理： 垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的（兩條）弧如圖，在O中，即 CD是直徑 AM=BM， CDAB于M 設(shè)計(jì)意圖：用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)體會(huì)從特殊到一般研究問題的方法，在折疊中領(lǐng)會(huì)定理的證明思路，突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，提高學(xué)生的概括、總結(jié)的語言表達(dá)能力.探究活動(dòng)三：垂徑定理的推論議一議：(問題5)同學(xué)們，如果把“垂徑定理”中的條件“垂直于弦”與結(jié)論“平分于弦”互換，即：，結(jié)論是否還成立？如果成立，請(qǐng)你說明理由；不成立，請(qǐng)舉反例.學(xué)情預(yù)設(shè)： 大多

8、數(shù)學(xué)生會(huì)模仿定理畫圖、折疊、推理后認(rèn)為是成立的，可能有個(gè)別學(xué)生會(huì)持反對(duì)意見，引起一番有意義的討論，老師可以適時(shí)地引導(dǎo).當(dāng)AB與CD是O的直徑時(shí)，互相平分，但不一定垂直！只有當(dāng)弦AB不是直徑時(shí)，結(jié)論才會(huì)成立.生1： 成立.OA=OB,AM=BM, CDAB(三線合一)生2：不一定成立，如圖，當(dāng)AB是直徑時(shí)，CD平分AB，但不垂直AB.只有AB不是直徑時(shí)，才成立.師： 同學(xué)們討論的非常好，做數(shù)學(xué)就是要求我們思維要嚴(yán)謹(jǐn)，注意，條件與圖形的統(tǒng)一及多樣性，多畫圖，多分析，多總結(jié).那么這個(gè)推論我們應(yīng)該怎么說？在學(xué)生的歸納中，板書.垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.（

9、問題6）如果我們繼續(xù)交換條件是否能夠、？學(xué)生活動(dòng)：采取折疊-重合-得出結(jié)論成立.師生共同歸納總結(jié)：由 “直徑、垂直于弦、平分弦、平分優(yōu)弧、平分劣弧”，其中兩個(gè)作條件推出另三個(gè)結(jié)論.設(shè)計(jì)意圖：對(duì)教材知識(shí)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪胶屯卣?，讓學(xué)生能舉一反三，發(fā)散學(xué)生的思維，讓不同層次的學(xué)生得到不同的發(fā)展，并體驗(yàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和探究的樂趣，感受合作交流的重要性.（問題7）例題分析例1：如右圖所示，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(即圖中弧CD，點(diǎn)O是弧CD的圓心)，其中CD=600m，E為弧CD上一點(diǎn)，且OECD，垂足為F，EF=90 m求這段彎路的半徑學(xué)生活動(dòng)：觀察示意圖，分析題目的已知和要求的結(jié)果，尋求相互關(guān)系，然后

10、嘗試獨(dú)立解答，在與小組其他同學(xué)交流，確定解題思路.教師活動(dòng):與個(gè)別學(xué)生交流解題思想方法，讓其上黑板板演過程，并說明為什么這樣解答.生：解：連接OC，設(shè)彎路的半徑是R，則OF=(R-90)mOECDCF=CD/2=300m（垂徑定理）由勾股定理得OC2=CF2+OF2即R2=3002+(R-90)2解得R=545所以，彎路的半徑是545m.設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生在實(shí)踐中理解垂徑定理應(yīng)用，在四個(gè)量半徑R、弦CD的長(zhǎng)、弦心距OF長(zhǎng)、弓形高EF的長(zhǎng)中，任已知兩個(gè)量可以求出另兩個(gè)量.一題多變，多題歸一，探尋規(guī)律，構(gòu)造直角三角形后通過勾股定理求解，從題海中解脫出來，并培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系

11、.三、歸納總結(jié)，拓展提高師：同學(xué)們，我們本節(jié)課學(xué)習(xí)了垂徑定理及推論，理解了與圓有關(guān)的應(yīng)用，你有收獲，或者是疑慮問題，交流一下.學(xué)生活動(dòng)：有獨(dú)立思考，落筆組織語言的，也有相互討論，交流總結(jié)的觀點(diǎn)的，氣氛相當(dāng)熱烈，各抒己見. 生：老師，如圖，OCAB，可不可以使用垂徑定理.師：可以，這條線（或線段）過圓心，就可以作為直徑使用，同時(shí)，過圓心作弦的垂線是今后解答圓的問題的常用輔助線，在以后的學(xué)習(xí)中，注意體會(huì)和總結(jié).設(shè)計(jì)意圖: 用問題形式引導(dǎo)學(xué)生回顧總結(jié)學(xué)習(xí)過程，使知識(shí)系統(tǒng)化，學(xué)會(huì)提煉其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，且能夠靈活應(yīng)用；學(xué)會(huì)自我反思，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣.課堂檢測(cè):1.已知O的半徑為5，弦AB的長(zhǎng)

12、為6 ，則這條弦的中點(diǎn)到弦所對(duì)劣弧中點(diǎn)的距離為_.考察知識(shí)點(diǎn)：理解垂徑定理的意義，會(huì)構(gòu)造符合定理的基本圖形，來解決問題.答案提示：解：過O點(diǎn)作AB的垂線，垂足是D，且與弧AB交于點(diǎn)C,連接OA,OCABD是AB的中點(diǎn)，C是弧AB的中點(diǎn)，DC=5-4=1所以，這條弦的中點(diǎn)到弦所對(duì)劣弧中點(diǎn)的距離為12.兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D，若AB=4，CD=2，圓心到AB的距離為l，則大圓的與小圓的半徑之比為_.考察知識(shí)點(diǎn)：理解垂徑定理的使用，加深認(rèn)識(shí)輔助線“弦心距和半徑”經(jīng)常是成對(duì)構(gòu)造的，以便構(gòu)造直角三角形，解決問題.答案提示：解：則大圓的與小圓的半徑之比為3. 儲(chǔ)油罐的截面如圖所示，裝入一

13、些油后，若油面寬AB=600mm，求油的最大深度考察知識(shí)點(diǎn)：主要是檢測(cè)垂徑定理在生活中的應(yīng)用，解決此類問題的關(guān)鍵是畫出示意圖，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題解答.答案提示：由垂徑定理知，油最大深度=325-125=200（mm）4已知：如圖，O 中， AB為 弦，C 為 AB 的中點(diǎn)，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求O 的半徑OA. 考察知識(shí)點(diǎn)：數(shù)學(xué)方法的綜合應(yīng)用，主要是方程知識(shí)與圖形解答的結(jié)合.答案提示：解：設(shè)O的半徑為r在直角三角形AOD中，所以，r=5cmOA=5cm學(xué)情預(yù)設(shè)：部分同學(xué)可以當(dāng)堂完成，教師，當(dāng)堂批改，及時(shí)知道學(xué)生的解答情況；部分同學(xué)需要老師的引導(dǎo)，才能完成解答

14、.教師活動(dòng)：通過檢查，關(guān)鍵看學(xué)生的圖形構(gòu)造，是否能夠利用半徑和弦心距構(gòu)造出直角三角形，運(yùn)用勾股定理解決問題.設(shè)計(jì)意圖：通過例題的分析學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要善于構(gòu)造圖形，解決問題;進(jìn)一步理解，為了應(yīng)用條件和已有的性質(zhì)定理，需要添加輔助線來完善圖形，從而培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.板書設(shè)計(jì)：3.2圓的對(duì)稱性（1）一、圓的對(duì)稱性 二、垂徑定理 三、垂徑定理的推論及應(yīng)用圓是軸對(duì)稱圖形， 垂直于弦的直徑平分這條弦 例題解答 對(duì)稱軸是任意一條過 并且平分弦所對(duì)的（兩條）弧圓心的直線， 教學(xué)反思：圓的對(duì)稱性是一節(jié)操作性較強(qiáng)的課，所以，我在教學(xué)中首先創(chuàng)設(shè)“找圓心”情境，讓學(xué)生感到新穎、有趣同時(shí)又注重了垂徑定理及推論的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用過程的教學(xué)；再以連貫的問題串形式步步深入，層層推進(jìn)學(xué)生思考，有效激活學(xué)