1、機械振動學習題解答（一）,陳一凡,郵箱 電話 189 172 17582 此課件已上傳至ftp:/ 用戶名 yfchen 密碼 public,2012-04-13,14 一簡諧振動頻率為10 Hz，最大速度為4.57 m/s，求其振幅、周期和最大加速度。,解：簡諧振動的位移 速度速度幅值 加速度加速度幅值 由題意， 所以，圓頻率 振幅周期 最大加速度,16 一臺面以一定頻率作垂直正弦運動，如要求臺面上的物體保持與臺面接觸，則臺面的最大振幅可有多大？,解：對物體受力分析 當 N = 0 時，物體開始脫離臺面，此時臺面的加速度為最大值。即 又由于 所以,N,mg,物體,臺面,17 計算兩簡諧運動

2、和 之和。其中 。如發(fā)生拍的現(xiàn)象，求其振幅和拍頻。,解： 當 時， 拍振的振幅為2X，拍頻為 （不是 ）,可變振幅,振幅為10 拍頻為2Hz 拍的周期為0.5s（不是1s）,可變振幅 拍振的振幅為 （假設X2較?。?，拍頻為,補充 若兩簡諧運動振幅和頻率都不同：,振幅為13 拍頻為1Hz,可變振幅,22 如圖所示，長度為 L、質(zhì)量為 m 的均質(zhì)剛性桿由兩根剛度為 k 的彈簧系住，求桿繞O點微幅振動的微分方程。,解：（力法）假設桿順時針偏轉(zhuǎn)了角，則桿受到重力 mg 和彈簧彈力 F 產(chǎn)生的力矩（均為逆時針方向）,其中F為兩邊彈簧彈力之和 由動量矩定理 得 又由于 上式可化簡為,mg,F,（能量法）設

3、系統(tǒng)處于靜平衡位置時勢能為0。當桿順時針偏轉(zhuǎn)角時 勢能 動能 由能量守恒原理 化簡得,列系統(tǒng)微分方程的一般步驟 力法1）設系統(tǒng)相對于平衡位置發(fā)生了廣義位移x（或）；2）分析系統(tǒng)受到的所有力 （或力矩 ）；3）由牛頓第二定律 （或動量矩定理 ）列方程。 能量法1）設系統(tǒng)相對于平衡位置發(fā)生了廣義位移x（或）；2）寫出系統(tǒng)勢能U（包括重力勢能mgh和彈簧彈性勢能 ），動能V= （或 ），耗散能P：3）由能量守恒原理 列方程。,25 求圖示彈簧質(zhì)量滑輪系統(tǒng)的振動微分方程。,解：（力法）靜平衡時有： （為彈簧的伸長量） 假設彈簧相對于平衡位置伸長x，則圓盤沿逆時針方向轉(zhuǎn)過x/r角 質(zhì)量m圓盤M 聯(lián)立得,

4、mg,F,x,M, r,k,考慮 若假設彈簧相對于平衡位置縮短x，會如何？,F,F,（能量法）設系統(tǒng)處于靜平衡位置時勢能為0，當彈簧相對于平衡位置伸長x時 勢能 動能 由能量守恒原理 化簡得,m,x,M, r,k,可見，計算勢能時，若系統(tǒng)靜平衡時已有彈簧發(fā)生靜變形，則參與靜平衡的質(zhì)量的重力勢能恰好與彈簧靜變形的彈性勢能抵消，可以不寫。,解：（力法）靜平衡時（假設此時彈簧被壓縮，即m3的力矩大于m1的力矩）假設L2桿順時針旋轉(zhuǎn)角 由動量矩定理 化簡得,26 圖示系統(tǒng)垂直放置，L2桿處于鉛垂位置時系統(tǒng)靜平衡，求系統(tǒng)作微振動的微分方程。（剛性桿質(zhì)量忽略）,注：阻尼元件的耗散能等于阻尼力所做的功，即

5、所以,（能量法）設系統(tǒng)處于靜平衡位置時勢能為0 勢能 動能 耗散能 由能量守恒原理 化簡得,m1和m3參與靜平衡，重力勢能抵消了彈簧靜變形的勢能。,27 求圖示系統(tǒng)的振動微分方程。（剛性桿質(zhì)量忽略）,解：（能量法）設系統(tǒng)處于靜平衡位置時勢能為0 動能 勢能 由能量守恒原理 化簡得,m1參與靜平衡，重力勢能抵消了彈簧k1和k2靜變形的勢能。,211 求圖所示系統(tǒng)對于廣義坐標 x 的等效剛度。,解：對小車m沿x方向施加作用力F，使小車產(chǎn)生位移x。則彈簧k1伸長 ，彈簧k2伸長 。小車受力其中所以等效剛度,F2,F,F1,F2,212 一質(zhì)量為 m、長度為 L 的均勻剛性桿，在距左端O為 nL 處設

6、一支承點，如圖所示。求桿對O點的等效質(zhì)量。,解：設彈簧k以速度 發(fā)生變形，則桿的質(zhì)心的運動速度為于是系統(tǒng)動能： 而等效系統(tǒng)的動能：由Ve=V，得,繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動,隨質(zhì)心平動,213 如圖所示，懸臂梁長度為L，彎曲剛度為EI，質(zhì)量不計。求系統(tǒng)的等效剛度和等效質(zhì)量。,解：當懸臂梁在自由端受到彎曲力F時，自由端的位移為 ，所以懸臂梁自由端的等效剛度為,而系統(tǒng)的等效剛度相當于懸臂梁的等效剛度與彈簧k串聯(lián),系統(tǒng)的等效質(zhì)量,計算系統(tǒng)等效剛度、等效質(zhì)量的方法 1）計算等效剛度的原則是利用等效前后系統(tǒng)彈性勢能不變。但通常只需根據(jù)剛度的定義即可算出。即：在質(zhì)量上施加外力F，使其發(fā)生位移x，則ke=F/x。 2）計算

7、等效質(zhì)量的原則是利用等效前后系統(tǒng)動能不變。即：令彈簧以速度 發(fā)生變形， 3）計算系統(tǒng)等效剛度時，也可“分部”計算，即：把系統(tǒng)分成幾個部分，計算每部分的等效剛度，再把各個剛度串聯(lián)或并聯(lián)起來。,31 如圖所示，設桿a和桿b為質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣矩可忽略的剛性桿，并能在圖示平面內(nèi)自由移動和轉(zhuǎn)動。求質(zhì)量m上、下振動的固有頻率。,解：在a點施加豎直作用力Fa，使其產(chǎn)生位移xa，并設此時k1變形x1，k2變形x2。由桿a受到的力矩平衡，知 。所以a點等效剛度,ka與k3串聯(lián)后的等效剛度為,b點的等效剛度計算與a點類似： 于是質(zhì)量m的固有頻率,33 如圖所示，一長度為L、質(zhì)量為m的均勻剛性桿鉸接在O點，并以彈簧和粘

8、性阻尼器支承。求：(1) 系統(tǒng)作微振動的微分方程；(2) 系統(tǒng)的無阻尼固有頻率；(3) 系統(tǒng)的臨界阻尼。,解：(1)（力法） 化簡得 (2) (3)根據(jù)臨界阻尼時的條件 得到,注意：臨界阻尼是指阻尼元件c的臨界值，不是系統(tǒng)阻尼項的臨界值。,35 如圖所示，質(zhì)量為 m1的重物懸掛在剛度為 k 的彈簧上并處于靜平衡位置，質(zhì)量為 m2的重物從高度為 h 處自由降落到m1 上而無彈跳，求系統(tǒng)的運動規(guī)律。,解：系統(tǒng)的運動規(guī)律為簡諧振動： 且系統(tǒng)位于平衡位置處的彈簧伸長量所以系統(tǒng)的初始位移，即m1單獨懸掛時的彈簧伸長量減去平衡位置處彈簧伸長量 而系統(tǒng)的初始速度可根據(jù)兩物體接觸瞬間所滿足的動量定理得到,m2,m1,k,52 一振動系統(tǒng)具有下列參數(shù)：質(zhì)量m = 17.5kg，彈簧剛度k = 70.0 N/cm，粘性阻尼系數(shù)c = 0.70 Ns/cm。求：(1)阻尼比；(2)有阻尼固有頻率；(3)對數(shù)衰減率；(4)任意二相臨振幅比值。,解：(1) (2) (3) (4),54 帶粘性阻尼的單自由度系統(tǒng)，等效質(zhì)量m =