1、課堂文明的基本要求,1. 文明著裝, 不穿拖鞋; 2. 不遲到(至少提前 5 分鐘到教室), 不曠課, 不早退, 不帶食品到教室; 3. 上課前關閉手機, 取下耳機; 4. 遵守課堂紀律, 上課時不睡覺, 不做小動作 ( 不吃東西、玩游戲、 隨意走動、接電話、玩手機等 ). 你的文明舉止為課堂增彩，謝謝你！,暨南大學電氣信息學院蘇保河主講,建 議,(1) 高數難,須下功夫1 : 3;,(4) 及時做作業(yè),盡量獨立完成;,(2) 感覺講課快者請課前預習;,(3) 記憶應該記憶的內容；,(5) 不懂的理論和習題,要及時問同學或老師。,暨南大學電氣信息學院蘇保河主講,復習,1. 極限存在的 2 個準

2、則,如果 (1),(2),則,定理 1 (數列極限存在的夾逼準則),定理 2 (函數極限存在的夾逼準則),暨南大學電氣信息學院蘇保河主講,復習,定理 3 單調有界數列必有極限.,單調增有上界的數列必有極限.,單調減有下界的數列必有極限.,暨南大學電氣信息學院蘇保河主講,2. 兩個重要極限,復習,暨南大學電氣信息學院蘇保河主講,3. 無窮小的比較,設 , 為同一變化過程的無窮小, 且, 是 的低階無窮小, 是 的同階無窮小, 是 的等價無窮小,復習, 是 的高階無窮小,暨南大學電氣信息學院蘇保河主講,4. 等價無窮小替換定理,定理. 設,且,存在 ,注:,x 可理解為“口”.,則,常用等價無窮小

3、 :,復習,暨南大學電氣信息學院蘇保河主講,二、函數的間斷點,一、函數連續(xù)性的定義,2.8 函數的連續(xù)性,第二章 極限與連續(xù),暨南大學電氣信息學院蘇保河主講,三、連續(xù)函數的運算法則,四、初等函數的連續(xù)性,主要內容,五、閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質,0、增量(改變量),定義 0,設有函數,差 u2 - u1 稱為 u 的增量,設變量 u 由初值 u1 變到終值 u2,例 0,終值,函數 y 的增量為,記為,終值與初值之,如果自變量 x 由初值 x0 變到,暨南大學電氣信息學院蘇保河主講,一、函數連續(xù)性的定義,定義 1,在,的某鄰域內有定義,則稱函數,(1),(2) 極限,(3),設函數,存在 ;,且,

4、暨南大學電氣信息學院蘇保河主講,例1.,證.,暨南大學電氣信息學院蘇保河主講,在點,對自變量的增量,有函數的增量,左連續(xù),右連續(xù),由此可知函數,連續(xù)有下列等價命題:,暨南大學電氣信息學院蘇保河主講,例 2. 研究下列函數在 x = 1 的連續(xù)性:,解.,因為,所以該函數在 x = 1 連續(xù).,暨南大學電氣信息學院蘇保河主講,定義 2,則稱它在該區(qū)間上連續(xù) ,或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數 .,例 3.,證.,暨南大學電氣信息學院蘇保河主講,例 4. 證明,在,內連續(xù).,( 有理整函數 ),證 : (自證),暨南大學電氣信息學院蘇保河主講,例 5. 證明有理分式函數,在其定義區(qū)間 I 內連續(xù).,證

5、: (自證),所以 R ( x ) 在其定義區(qū)間 I 內連續(xù).,暨南大學電氣信息學院蘇保河主講,左連續(xù),右連續(xù),注,f (x) 在左端點 a 連續(xù)是指在 a 右連續(xù);,f (x) 在右端點 b 連續(xù)是指在 b 左連續(xù).,如果區(qū)間包括端點,例如 a, b,定義 2,則稱它在該區(qū)間上連續(xù) ,或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數 .,暨南大學電氣信息學院蘇保河主講,二、函數的間斷點,不存在,存在,則在下列情,形下,暨南大學電氣信息學院蘇保河主講,間斷點分類,第一類間斷點:,若,若,第二類間斷點:,若其中有一個為振蕩 ,若其中有一個為,暨南大學電氣信息學院蘇保河主講,為其第二類間斷點 ,x = 0 為其第二類間

6、斷點 ,為其第一類間斷點 ,例如:,也是可去間斷點.,也是振蕩間斷點.,也是無窮間斷點.,暨南大學電氣信息學院蘇保河主講,為其第一類間斷點,(4),(5),為其第一類間斷點,也是可去間斷點.,也是跳躍間斷點.,暨南大學電氣信息學院蘇保河主講,例6. 討論函數,所以 x = 2 是 f (x) 第二類間斷點, 也是無窮間斷點 .,間斷點的類型.,解:,(2) 當 x = 2 時. (自算),所以 x = 1 是 f (x) 的第一類間斷點,也是可去間斷點.,(1) 當 x = 1 時.,得間斷點,暨南大學電氣信息學院蘇保河主講,時,提示:,為,連續(xù)函數.,例7. 填空:,暨南大學電氣信息學院蘇保

7、河主講,在其定義區(qū)間內連續(xù),三、連續(xù)函數的運算法則,定理 1,( 利用極限的四則運算法則和連續(xù)的定義可以證明),商(分母不為 0) 運算,結果仍是一個在該點連續(xù)的函數.,例如,在某點連續(xù)的有限個函數經有限次和, 差, 積,暨南大學電氣信息學院蘇保河主講,注: 可以證明:,例如,在,上連續(xù)單調遞增，,其反函數,定理 2,(遞減).,(證明不要求),遞增,(遞減),也連續(xù)單調,連續(xù)單調遞增 函數的反函數,基本初等函數在其定義區(qū)間內連續(xù).,定理 3,注:,條件：,連續(xù)函數的復合函數是連續(xù)的.,(證明不要求),暨南大學電氣信息學院蘇保河主講,上也連續(xù)單調遞增.,例如,是由連續(xù)函數,因此,分別在,內連續(xù)

8、 .,復合而成 ,暨南大學電氣信息學院蘇保河主講,四、初等函數的連續(xù)性,基本初等函數在定義區(qū)間內連續(xù),連續(xù)函數經四則運算仍連續(xù),連續(xù)函數的復合函數連續(xù),一切初等函數在定義區(qū)間內連續(xù),由常數和基本初等函數,定義區(qū)間:,包含在定義域內的區(qū)間.,例如, 對于函數,是定義區(qū)間;,是定義區(qū)間;,不是定義區(qū)間;,不是定義區(qū)間.,初等函數:,經過有限次四則,運算和復合步驟所構成,并可用一個式子表示的函數.,暨南大學電氣信息學院蘇保河主講,例 8. 填空.,的連續(xù)區(qū)間為,的連續(xù)區(qū)間為,一切初等函數在定義區(qū)間內連續(xù).,(1),(2),暨南大學電氣信息學院蘇保河主講,例 9.,一切初等函數在定義區(qū)間內連續(xù).,解,

9、注 連續(xù)函數求極限用代入法.,暨南大學電氣信息學院蘇保河主講,例10. 求,解:,原式,例11. 求,解:,則,原式,條件：,注:,暨南大學電氣信息學院蘇保河主講,例 12. 討論函數,的連續(xù)性.,解: 間斷點,為函數 f (x) 的,故,為 f (x) 的第一類間斷點,(2) 當 x = 0 時.,(3) 當 x = 1 時.,第二類間斷點,也是跳躍間斷點.,連續(xù).,(1) 由初等函數的連續(xù)性可知,分別在區(qū)間,也是無窮間斷點;,暨南大學電氣信息學院蘇保河主講,五、閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質,定理 4,即: 設,則,使,最大值和最小值.,在該區(qū)間上一定有,(證明略),在閉區(qū)間上連續(xù)的函數,推論:

10、在閉區(qū)間上連續(xù)的函數在該區(qū)間上有界.,暨南大學電氣信息學院蘇保河主講,定理 5 ( 零點定理 ),則至少存在一點,且,使,( 證明略 ),暨南大學電氣信息學院蘇保河主講,定理 6 ( 介值定理 ),證:,則,且,由零點定理知, 至少有一點,作輔助函數,則,不妨設,暨南大學電氣信息學院蘇保河主講,例13. 證明方程,至少有一個根 .,證:,由零點定理, 至少存在一點,在區(qū)間,故原方程在 (0, 1) 內至少有一個根.,暨南大學電氣信息學院蘇保河主講,作 業(yè),P90 習題二 (A) 29(1); 30(2,4,6); 33; 34(1); 35; 37(1,2,3); 38; 39; 41. (B

11、) 25; 27; 29.,下次課內容,2.9 第二章小結與習題課,自看: P89 例9,暨南大學電氣信息學院蘇保河主講,左右極限至少 有一個不存在,內容小結,左連續(xù),右連續(xù),第一類間斷點:,可去間斷點,跳躍間斷點,左右極限都存在,第二類間斷點:,無窮間斷點,振蕩間斷點,在點,間斷的類型,暨南大學電氣信息學院蘇保河主講,若函數,3.,在某區(qū)間上每一點都連續(xù),則稱它在該區(qū)間上連續(xù),或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數 .,注. 如果區(qū)間包括端點, 例如 a, b,f (x) 在右端點 b 連續(xù)是指在 b 左連續(xù).,f (x) 在左端點 a 連續(xù)是指在 a 右連續(xù);,內容小結,暨南大學電氣信息學院蘇保河主講,4. 初等函數的連續(xù)性,初等函數在定義區(qū)間內連續(xù).,注:,條件：,內容小結,暨南大學電氣信息學院蘇保河主講,5. 閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)函數 f