1、,1.了解空間向量坐標(biāo)的定義. 2.掌握空間向量運算的坐標(biāo)表示. 3.能夠利用坐標(biāo)運算來求空間向量的長度與夾角.,學(xué)習(xí)目標(biāo),題型探究,問題導(dǎo)學(xué),內(nèi)容索引,當(dāng)堂訓(xùn)練,問題導(dǎo)學(xué),知識點一空間向量的坐標(biāo)表示,思考,平面向量的坐標(biāo)是如何表示的？,答案,在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸，y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底，對于平面內(nèi)的一個向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)x，y，使axiyj，這樣，平面內(nèi)的任一向量a都可由x，y唯一確定，我們把有序?qū)崝?shù)對(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a(x，y)，其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo). 設(shè) xiyj，則向量 的坐標(biāo)(x

2、，y)就是點A的坐標(biāo)，即若 (x，y)，則A點坐標(biāo)為(x，y)，反之亦成立(O是坐標(biāo)原點).,梳理,空間直角坐標(biāo)系及空間向量的坐標(biāo) (1)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，分別沿x軸，y軸，z軸的正方向引單位向量i，j，k，這三個互相垂直的單位向量構(gòu)成空間向量的一個基底i，j，k，這個基底叫做 .單位向量i，j，k都叫做 . (2)空間向量的坐標(biāo) 在空間直角坐標(biāo)系中，已知任一向量a，根據(jù)空間向量分解定理，存在唯一實數(shù)組(a1，a2，a3)，使aa1ia2 ja3k，a1i，a2 j，a3k分別為向量a在i，j，k方向上的分向量，有序?qū)崝?shù)組(a1，a2，a3)叫做向量a在此直角坐標(biāo)系中的 .上式可簡記

3、作a .,單位正交基底,坐標(biāo)向量,(a1，a2，a3),坐標(biāo),知識點二空間向量的坐標(biāo)運算,思考,設(shè)m(x1，y1)，n(x2，y2)，那么mn，mn，m，mn如何運算？,答案,mn(x1x2，y1y2)，mn(x1x2，y1y2)，m(x1，y1)，mnx1x2y1y2.,空間向量a，b，其坐標(biāo)形式為a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).,梳理,a1b1a2b2a3b3,(a1，a2，a3),(a1b1，a2b2，a3b3),(a1b1，a2b2，a3b3),知識點三空間向量的平行、垂直及模、夾角,設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則,a1b1a2b2a3b30,題型

4、探究,命題角度1空間向量的坐標(biāo)表示 例1如圖，在棱長為1的正方體ABCD-ABCD中，E、F、G分別為棱DD、DC、BC的中點，以 為基底，求下列向量的坐標(biāo).,解答,類型一空間向量的坐標(biāo)表示與運算,解答,引申探究,解答,用坐標(biāo)表示空間向量的步驟,反思與感悟,跟蹤訓(xùn)練1已知空間四邊形OABC中， a， b， c，點M在OA上，且OM2MA，N為BC的中點，則 在基底a，b，c下的坐標(biāo) 為_.,答案,解析,OM2MA，點M在OA上，,命題角度2空間向量的坐標(biāo)運算 例2已知a(1，2,1)，ab(1,2，1)，則b等于 A.(2，4,2) B.(2,4，2) C.(2,0，2) D.(2,1，3),

5、依題意，得ba(1,2，1)a(1，2,1)2(1，2,1) (2，4,2).,答案,解析,反思與感悟,關(guān)于空間向量坐標(biāo)運算的兩類問題 (1)直接計算問題 首先將空間向量用坐標(biāo)表示出來，然后準(zhǔn)確運用空間向量坐標(biāo)運算公式計算. (2)由條件求向量或點的坐標(biāo) 首先把向量坐標(biāo)形式設(shè)出來，然后通過建立方程組，解方程求出其坐標(biāo).,跟蹤訓(xùn)練2若向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，且滿足條件(ca)(2b)2，則x_.,據(jù)題意，有ca(0,0,1x)，2b(2,4,2)， 故(ca)(2b)2(1x)2，解得x2.,2,答案,解析,例3已知空間三點A(2,0,2)，B(1,1,2)，C

6、(3,0,4)，設(shè)a ，b . (1)若|c|3，c .求c；,類型二空間向量平行、垂直的坐標(biāo)表示,解答,解得1.即c(2，1,2)或c(2,1，2).,(2)若kab與ka2b互相垂直，求k.,解答,所以kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4). 又因為(kab)(ka2b)，所以(kab)(ka2b)0. 即(k1，k,2)(k2，k，4)2k2k100.,引申探究 若將本例(2)中改為“若kab與ka2b互相垂直”，求k的值.,解答,由題意知kab(k1，k，2)， ka2b(k2，k,4)， (kab)(ka2b)， (kab)(ka2b)0，,反思與感悟,(1)平行與垂直的判

7、斷 應(yīng)用向量的方法判定兩直線平行，只需判斷兩直線的方向向量是否共線. 判斷兩直線是否垂直，關(guān)鍵是判斷兩直線的方向向量是否垂直，即判斷兩向量的數(shù)量積是否為0. (2)平行與垂直的應(yīng)用 適當(dāng)引入?yún)?shù)(比如向量a，b平行，可設(shè)ab)，建立關(guān)于參數(shù)的方程. 選擇坐標(biāo)形式，以達到簡化運算的目的.,跟蹤訓(xùn)練3在正方體AC1中，已知E、F、G、H分別是CC1、BC、CD和A1C1的中點. 證明：(1)AB1GE，AB1EH；,證明,如圖，以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，,設(shè)正方體棱長為1，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0，0,1)，B1(1,0,1)，C1(1

8、,1,1)，D1(0,1,1)，,(2)A1G平面EFD.,證明,A1GDF，A1GDE. 又DFDED，A1G平面EFD.,例4棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是DD1，BD，BB1的中點. (1)求證：EFCF；,證明,類型三空間向量的夾角與長度的計算,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，,解答,(3)求CE的長.,解答,反思與感悟,通過分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使盡可能多的點落在坐標(biāo)軸上，以便寫點的坐標(biāo)時便捷.建立坐標(biāo)系后，寫出相關(guān)點的坐標(biāo)，然后再寫出相應(yīng)向量的坐標(biāo)表示，把向量坐標(biāo)化，然后再利用向量的坐標(biāo)運算求解夾角和距離問題.,跟蹤訓(xùn)練4如圖

9、，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為2的菱形，DAB60，對角線AC與BD相交于點O，PO平面ABCD，PB與平面ABCD所成角為60.,解答,(1)求四棱錐P-ABCD的體積；,四邊形ABCD是邊長為2的菱形，且DAB60，,在RtPOB中，PBO60，,(2)若E是PB的中點，求異面直線DE與PA所成角的余弦值.,解答,如圖，以O(shè)為原點，OB、OC、OP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，,異面直線所成的角為銳角或直角， 異面直線DE與PA所成角的余弦值為 .,當(dāng)堂訓(xùn)練,1.已知向量a(3，2,1)，b(2,4,0)，則4a2b等于 A.(16,0,4) B.(8，16,4) C.

10、(8,16,4) D.(8,0,4),1,2,3,4,5,答案,解析,4a2b4(3，2,1)2(2,4,0) (12，8,4)(4,8,0)(8,0,4) .,1,2,3,4,2.若a(2，3,1)，b(2,0,3)，c(0,2,2)，則a(bc)的值為 A.4 B.15 C.3 D.7,5,答案,解析,bc(2,2,5)，a(bc)4653.,3.已知a(2，3,1)，則下列向量中與a平行的是 A.(1,1,1) B.(4,6，2) C.(2，3,5) D.(2，3,5),解析,答案,若b(4,6，2)，則b2(2，3,1)2a，所以ab.,1,2,3,4,5,4.已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab與2ab互相垂直，則k的值是,依題意得(kab)(2ab)0， 所以2k|a|2kab2ab|b|20， 而|a|22，|b|25，ab1，所以4kk250，解得k .,答案,解析,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,5.已知A(2，5,1)，B(2，2,4)，C(1，4,1)，則向量 與 的夾角為_.,答案,解析,規(guī)律與方法,1.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則 (x