1、1,1.1 集合關(guān)系與集合的分類,等價關(guān)系 集合的分類 集合的等價 關(guān)系與分類,2,一、等價關(guān)系,元素的一個條件如果對 中任意一個有序元素對,的一個關(guān)系(relation)如果 與 滿足條件 ，則稱,與 有關(guān)系 ，記作 ；否則 稱 與無關(guān)系 關(guān),系 也稱為二元關(guān)系,，我們總能確定 與 是否滿足條件 ，就稱 是,定義1.1.1設(shè) 是一個非空集合, 是關(guān)于 的,3,例1設(shè) 是一個非空集合， 的所有子集組成的,集合記為 因為對 的任意兩個子集 ， ，,或 有且僅有一個成立，所以集合的包含關(guān)系“ ”,是 的一個關(guān)系進一步討論可以發(fā)，這個關(guān)系還,具有下面兩條性質(zhì)：,(1) 反身性，即對 的任一子集 ，有

2、 ；,(2) 傳遞性, 即對 的任意子集 , , , 如果, ,則有 ,4,例2 在整數(shù)集 中, 規(guī)定 因為,這個關(guān)系也具有反身性和傳遞性,例3 在整數(shù)集 中, 規(guī)定 ( 即 與 互,素) 因為 與 有且僅有一個成立, 所,以是 的一個關(guān)系這個關(guān)系既不滿足反身性也不滿,足傳遞性, 但卻滿足所謂的對稱性, 即對任意兩個整數(shù),由 ，可推出 ,與 有且僅有一個成立, 所以“|”是 的一個關(guān)系,5,定義1.1.2設(shè) 是 非空集合的一個關(guān)系, 如,果 滿足,(E1) 反身性, 即對任意的 , 有 ；,(E2)對稱性, 即若 , 則 ；,(E3) 傳遞性, 即若 ,且 ,則 ,則 稱是 的一個等價關(guān)系(e

3、quivalence relation),并且如果 ,則稱 等價于 ,記作 ,6,定義1.1.3如果是集合 的一個等價關(guān)系,對 , 令,稱子集 為 的一個等價類 (equivalence class) ,的全體等價類的集合稱為集合 在等價關(guān)系下的商集,(quotient set), 記作 ,7,例易知, 三角形的全等,相似, 數(shù)域 上 階方,陣的等,相似,相合等都是等價關(guān)系, 而例1,例2,例3及,本節(jié)開頭所述的關(guān)系都不是等價關(guān)系,8,例設(shè) 是正整數(shù), 在整數(shù)集 中, 規(guī)定,這個關(guān)系為同余關(guān)系 (congruence relation) , 并記作, 則 ,(1)對任意整數(shù) ,則,(讀作“ 同

4、余于 , 模 ”)整數(shù)的同余關(guān),系及其性質(zhì)是初等數(shù)論的基礎(chǔ),9,二、集合的分類,定義1.1.4如果非空集合 表成若干個兩兩不,相交的非空子集的并, 則稱這些子集為集合 的一種,分類 (partition),其中每個子集稱為一個類 (class).,如果,的子集族 構(gòu)成 的一種分類,則記作,10,例6 設(shè) 為數(shù)域 上全體 階方陣的集合,令,表示所有秩為 的 階方陣構(gòu)成的子集.,(1) ;,(2) ,所以 是 的一種分類,例7 是整數(shù)集 的一,種分類,11,于 ,且 , 同一元素在兩個子集中重復(fù)出現(xiàn),例8 對實數(shù)集 , 令子集 , .由,所以 不是 的一種分類,12,三、集合的等價關(guān)系與集合的分類

5、這兩個概念之間,聯(lián)系,定理1.1.1集合 的任何一個等價關(guān)系都確定,了 的一種分類,且其中每一個類都是集合 的一個等,價類.反之,集合 的任何一種分類也都給出了集合,的一個等價關(guān)系,且相應(yīng)的等價類就是原分類中的那,些類,13,證首先, 為 集合的一個等價關(guān)系, 則,(1) 對任意的 , 由反身性知 , 所以,(2) 如果 ,從而由對稱性知 再由傳遞性知,又對任意的 ,則 ,.這說明, 不同的類沒有公共元素,.于是 , 因此 .,則有 ,同理 , 所以,于是,同樣由傳遞性得,14,從而由 (P1), (P2)知, 全體等價類形成的 一種,分類,顯然每一個類都是 的等價類,其次, 如果已知集合 的一種分類 , 在 中規(guī),定關(guān)系“”：,對任意的 , 由于 與本身屬于同一類, 所以,.如果 , 即 與 屬于同一類, 自然 與 也,屬于同一類, 所以 . 最后, 如果 , ,15,即 與 屬于同一類, 與 屬于同一類,因而 與 同在,所在的類中, 所以 因此“”是 的一個等價,關(guān)系.顯然, 由此等價關(guān)系得到的等價類就是原分類中,那些類,16,例設(shè) 試確定集合 上的全部等價,關(guān)系,解由定理1.1.1知，只要求出的 全部分類,也,即求出的 所有可能的子集分劃即可,(1) 如果 分劃為一個子集, 則有 ;,(2) 如果 分劃為兩個子集, 則有,(3) 如果 分劃為三個子集, 則有,17,因此,