1、2.3 數(shù)學歸納法(第一課時),問題情境一,問題 1:大球中有5個小球，如何證明它們都是綠色的？,問題 2: 如果an是一個等差數(shù)列，怎樣得到 an=a1+(n-1)d,完全歸納法,不完全歸納法,模 擬 演 示,從前，有個小孩叫萬百千，他開始上學識字。第一天先生教他個“一”字。第二天先生又教了個“二”字。第三天，他想先生一定是教“三”字了，并預先在紙上劃了三橫。果然這天教了個“三”字。于是他得了一個結論：“四”一定是四橫，“五”一定是五橫，以此類推，從此，他不再去上學，家長發(fā)現(xiàn)問他為何不去上學，他自豪地說：“我都會了”。家長要他寫出自己的名字，“萬百千”寫名字結果可想而知?！?萬百千的笑話,歸

2、納法：由一系列有限的特殊事例得出一般結論的推理方法,（結論一定可靠，但需逐一核對，實施較難）,（結論不一定可靠，但有利于發(fā)現(xiàn)問題，形成猜想）,（1）完全歸納法：考察全體對象，得到一般結論的推理方法,（2）不完全歸納法，考察部分對象，得到一般結論的推理方法,歸納法分為 完全歸納法 和 不完全歸納法,問題情境三,多 米 諾 骨 牌 課 件 演 示,問題情境三,如何解決不完全歸納法存在的問題呢？,如何保證骨牌一一倒下？需要幾個步驟才能做到？ （1）處理第一個問題；（相當于推倒第一塊骨牌）,（2）驗證前一問題與后一問題有遞推關系；（相當于前牌推倒后牌）,數(shù)學歸納法,對于由不完全歸納法得到的某些與自然數(shù)

3、有關自然數(shù)的數(shù)學命題我們常采用下面的方法來證明它們的正確性：,（1）證明當n取第一個值n0(例如n0=1) 時命題成立， （2）假設當n=k(kN* ,k n0)時命題成立證明當n=k+1時命題也成立，這種證明方法叫做 數(shù)學歸納法,3.數(shù)學歸納法的應用：,（1）恒等式例1例2例3,（2）不等式,（3）三角方面,（4）整除性例4,（5）幾何方面例5,（6）計算、猜想、證明,解：,猜想：,如何通過有限個步驟的推理，證明n取所有正整數(shù)都成立？,證明,4、對于數(shù)列，已知，,求出數(shù)列前4項,你能得到什么猜想？,根據(jù)(1)(2)可知對任意正整數(shù)n猜想都成立.,證明：,多米諾骨牌游戲的原理,這個猜想的證明方

4、法,（1）第一塊骨牌倒下。,（2）若第k塊倒下時，則相鄰的第k+1塊也倒下。,根據(jù)（1）和 （2）， 可知不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。,（1）當n=1時猜想成立。,（2）若當n=k時猜想成立， 即 ，則當n=k+1時猜想 也成立，即 。,根據(jù)（1）和（2），可知對任意的正整數(shù)n，猜想 都成立。,已知數(shù)列,練習：1、如果an是一個等差數(shù)列， 則an=a1+(n-1)d對于一切nN*都成立。,證明:(1)當n=1時,左邊=a1,右邊=a1 +（1-1）d=a1, 當n=1時，結論成立,(2)假設當n=k時結論成立,即ak=a1+(k-1)d,當n=k+1時，結論也成立.,由(1)和(2)知,等

5、式對于任何nN*都成立。,利用假設,情境1.觀察下列各等式，你發(fā)現(xiàn)了什么？,問題情境,思考：你由不完全歸納法所發(fā)現(xiàn)的結論正確嗎？若不正確，請舉一個反例;若正確，如何證明呢？,數(shù)學建構,類比多米諾骨牌游戲證明情境1中的猜想 的步驟為：,(1)證明當n=1時猜想成立,(2)證明若當n=k時命題成立，則n=k+1時命題也成立.,完成了這兩個步驟以后就可以證明上述猜想對于所有的正整數(shù)n都是成立的。,相當于第一張牌能倒下,相當于使所有骨牌倒下的第2個條件,證明 當n=1時，左邊1 右邊,等式顯然成立。,例 證明：,數(shù)學運用,遞推基礎,遞推依據(jù),假設當n=k時等式成立，即,那么,當n=k+1時，有,這就是

6、說，當n=k+1時,等式也成立。,根據(jù)和，可知對任何nN*等式都成立。,數(shù)學歸納法步驟，用框圖表示為：,歸納奠基,歸納遞推,注：兩個步驟,一個結論,缺一不可,上如證明對嗎？為什么？,證明：當n=1時，左邊,設n=k時，有,即n=k+1時，命題成立。 根據(jù)問可知，對nN，等式成立。,思考：用數(shù)學歸納法證明:當,第二步證明中沒有用到假設，這不是數(shù)學歸納法證明。,則，當n=k+1時,135（2n1）,正確解法：用數(shù)學歸納法證明,n2,即當n=k+1時等式也成立。,根據(jù)（1）和（2）可知，等式對任何都成立。,證明：,135（2k1）+2(k+1)1,那么當n=k+1時,（2）假設當nk時，等式成立，即

7、,（1）當n=1時，左邊1，右邊1，等式成立。,（假設）,（利用假設）,注意：遞推基礎不可少， 歸納假設要用到， 結論寫明莫忘掉。,（湊結論）,用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)有關命題的步驟是：,（1）證明當 取第一個值 （如 或2等）時結論正確；,（2）假設時 結論正確，證明 時結論也正確,遞推基礎,遞推依據(jù),“找準起點，奠基要穩(wěn)”,“用上假設，遞推才真”,“綜合（1）、（2），”不可少！,注意:數(shù)學歸納法使用要點： 兩步驟,一結論。,課堂練習,2、求證：1+2+3+n=,n(n+1 ),用數(shù)學歸納法證明：34n+252n+1能被14整除,證明：(i)當n1時，341+2521+17541416，

8、當n1時，34n+252n+1能被14整除,(ii)設nk(k1，kN*)時，34k+252k+1能被14整除,那么當nk1時,34(k+1)+252(k+1)+134k+23452k+152,8134k+22552k+1,(2556)34k+22552k+1,25(34k+252k+1)5634k+2, (34k+252k+1)能被14整除，56能被14整除, 34n+252n+1能被14整除即nk1時，命題成立,根據(jù)(i)、(ii)可知, 34n+252n+1能被14整除,小結,1、數(shù)學歸納法能夠解決哪一類問題？ 一般被應用于證明某些與正整數(shù)有關的數(shù)學命題 2、數(shù)學歸納法證明命題的步驟是什

9、么？ 兩個步驟和一個結論，缺一不可 3、數(shù)學歸納法證明命題的關鍵在哪里？ 關鍵在第二步，即歸納假設要用到，解題目標要明確 4、數(shù)學歸納法體現(xiàn)的核心思想是什么？ 遞推思想，運用“有限”的手段，來解決“無限”的問題 注意類比思想的運用,分析下列各題用數(shù)學歸納法證明過程中的錯誤：,練習3,糾錯!,（1）2+4+6+8+2n=n2+n+1(nN*),證明 ：假設當n=k時等式成立，即 2+4+6+8+2k=k2+k+1(kN*),那么，當n=k+1時，有 2+4+6+8+2k+2（k+1) =k2+k+1+2(k+1) =(k+1)2+(k+1)+1 , 因此，對于任何nN*等式都成立。,缺乏“遞推基

10、礎”,事實上，我們可以用等差數(shù)列求和公式驗證原等式是不成立的！,這就是說，當n=k+1時,命題也成立.,沒有用上“假設”，故此法不是數(shù)學歸納法,請修改為數(shù)學歸納法,證明 當n=1時,左邊= ,假設n=k(kN*)時原等式成立 ，即,此時，原等式成立。,那么n=k+1時,由 知,對一切正整數(shù)n,原等式均正確.,證明 當n=1時,左邊= ,這才是數(shù)學歸納法,假設n=k(kN*)時原等式成立 ，即,右邊=,此時，原等式成立。,那么n=k+1時,這就是說，當n=k+1時,命題也成立.,由 知,對一切正整數(shù)n,原等式均正確.,（3）（糾錯題）課本P87 T3 2nn2(nN*),證明 ：當n=1時，21

11、12,不等式顯然成立。 假設當n=k時等式成立，即2kk2, 那么當n=k+1時，有 2k+1=22k=2k+2kk2+k2k2+2k+1=(k+1)2. 這就是說，當n=k+1時不等式也成立。 根據(jù)（1）和（2），可知對任何nN*不等式都成立。,雖然既有“遞推基礎”，又用到假設（“遞推依據(jù)”），但在證明過程中出現(xiàn)錯誤，故上述證法錯誤！,事實上，原不等式不成立，如n=2時不等式就不成立。,練習鞏固,C,C,3. 用數(shù)學歸納法證明: 122334n(n1) ,練習鞏固,4、用數(shù)學歸納法證明：,5求證:當nN*時，,3.用數(shù)學歸納法證明 122334n(n1) ,練習鞏固,3.用數(shù)學歸納法證明 122334n(n1) ,練習鞏固,練習鞏固,4、用數(shù)學歸納法證明, n=k+1時命題正確。 由(1)和(2)知，當 ，命題正確。,提什么 好呢?,注意結論的形式,練習鞏固,5求證:當nN*時，,證明:,