1、第五章 方差分析（一）,第一節(jié) 方差分析原理 （一個(gè)性質(zhì)、兩個(gè)分布、三個(gè)假定） 第二節(jié) 單向分組數(shù)據(jù) （各組觀察值個(gè)數(shù)有相同和不相同之分） 第三節(jié) 多向分組數(shù)據(jù) （含兩向分組、三向分組實(shí)例） 第四節(jié) 三個(gè)假定與數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換* （正態(tài)性、可加性、同質(zhì)性）,第五章要點(diǎn)提示,方差分析是本課程的重點(diǎn)，它與試驗(yàn)研究聯(lián)系最為密切。學(xué)習(xí)時(shí)要從完全隨機(jī)設(shè)計(jì)（單向分組）的試驗(yàn)數(shù)據(jù)著手，結(jié)合顯著性檢驗(yàn)的知識(shí)，深刻理解方差分析原理的全部?jī)?nèi)涵，即一個(gè)性質(zhì)、兩個(gè)分布和 三個(gè)假定（某些情況下作數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換的必要性）； 區(qū)分LSR法多重比較與t-test的異同點(diǎn)； 重點(diǎn)掌握單因素隨機(jī)區(qū)組和拉丁方試驗(yàn)結(jié)果的方差分析法，能熟練地運(yùn)用字

2、母法標(biāo)記多重比較結(jié)果。 涉及教材內(nèi)容：第六章第一、二、五節(jié)，第十二章第五、六、七節(jié)。 作業(yè)布置：教材第六章第四節(jié)內(nèi)容自習(xí)；教材P150 T1、 T3、 T4、 T12、 T13、T14、 T21 、T22 、 T23 ，教材P325 T7、 T8、 T13。,第一節(jié) 方差分析原理,方差分析(analysis of variance)，縮 寫詞原為ANOVA, 現(xiàn)在也用AOV。 它是對(duì)多個(gè)樣本平均數(shù)進(jìn)行假設(shè)測(cè) 驗(yàn)的方法, 因?yàn)閷?duì)三個(gè)以上的平均數(shù)差 異進(jìn)行比較時(shí), 采用只能就一個(gè)或兩個(gè) 樣本平均數(shù)差異進(jìn)行顯著性測(cè)驗(yàn)的方法 已不敷應(yīng)用，例如： 例5.1 某水產(chǎn)研究所為了比較 k=4種 不同配合飼料對(duì)

3、魚的飼喂效果，選取了 條件基本相同的魚20尾，隨機(jī)分成4組 ， 投喂不同飼料，一個(gè)月后每個(gè)處理各得 n= 5個(gè)增重觀察值，且T=550.8, =27.54, 試予分析。 解 本例需要分析兩個(gè)方面的問(wèn)題： 魚經(jīng)不同飼料投喂后增重是否 有顯著差異（即存在本質(zhì)差別）？ 若有顯著差異的話, 在哪些飼料之間?,如果按第三章的方法, 直接進(jìn)行顯著性檢驗(yàn), 就要孤立地對(duì)以下6個(gè)兩兩差數(shù)做t-test，即： 順序 t t24.74 t26.28 t27.96 A1 31.18 6.44 4.9 3.22 A4 27.96 3.22 1.68 A2 26.28 1.54 A3 24.74,第一節(jié) 方差分析原理,

4、把一份完整的原始數(shù)據(jù)部分地撇開， 孤立地對(duì)兩兩差數(shù)進(jìn)行t-test，其消極后 果佛克倫這樣描述過(guò)： 從同一總體中抽樣, 每次抽兩個(gè)樣本 得1和2后求算 t 值, 若指定它超過(guò)某 值的概率為5%的話, 該值就是兩尾表中 查得的臨界值 t0.05 再以相同的樣本容 量每次抽三個(gè)樣本, 用最大的樣本和 最小的樣本求算 t 值, 此時(shí)它超過(guò)“t0.05 ” 的概率上升到14.3% ( 即“t0.05 ” = t0.143) 繼續(xù)以相同的容量每次抽四個(gè)樣本， 仍以最大的和最小的求算t 值, 則 上升到26.5%( 即 “t0.05 ”= t0.265 )以此 類推5個(gè)樣本40%以上。,比如本例針對(duì)藥劑A

5、1與藥劑A3的兩兩差數(shù)6.44 (最大 最小) 進(jìn)行的t-test: F= S大2 / S小2 =41.67/415.97/4 F0.05 Se2 = (SS1 + SS2) / (1+2) = 57.64/8 S 1-2 =Se2 ( 1/n1 + 1/n2 ) = 1.70 t =( 1- 2 ) (1-2) S1- 2 = 6.44 1.70 = 3.8 “t0.05”=2.306 由于撇開A、B孤立地進(jìn)行，否定HO的把握不到80%。,第一節(jié) 方差分析原理,一、數(shù)據(jù)整理 根據(jù)方差分析的先決條件，在“三個(gè) 假定”成立的前提下，對(duì)右表繼續(xù)整理： C= T 2/nk = 550.8 2/20

6、= 15169.03 SST =(Y ) 2 = Y 2 C =31.92 +28.52 15169 = 199.67 dfT = nk 1= 5 4 1 = 19 二、平方和、自由度的分解 Y = (Yt) + ( t ) 兩邊同時(shí)平方，得: (Y )2 = (Y t) 2 + ( t ) 2 +2 (Y t) ( t ) 由同一處理重復(fù)觀察值的累加： (Y)2=(Yt) 2 + (t ) 2 +2 ( t ) (Y t) = 0 (Y )2=(Y t) 2 + n ( t ) 2,再把全部處理觀察值的累加，得： (Y )2=(Yt) 2 + n ( t ) 2 即： SST = (組內(nèi))

7、SSe + (組間) SSt 其中 SSt = n ( t ) 2 = Tt 2 /n C = (155.9 2 +131.4 2 +123.7 2 +139.8 2 )/ 5 15169.03 = 114.27 于是SSe = SST SSt = 199.67 114.27 = 85.4 = SS1 + SS2 + SS3 +SS4 = 41.67 +5.43 +15.97+22.33 dft = k 1= 3 dfe= dfT dft =193 = df1 + df2 + df3 +df4= 4 +4 +4+4 = 16,第一節(jié) 方差分析原理,三、列ANOVA表，進(jìn)行F-test 變異來(lái)源

8、 DF SS MS F F 0.01 處理 3 114.27 38.09 7.13 * 5.29 誤差 16 85.4 5.34 總 19 199.67 ( F值右上角標(biāo)一個(gè) * 達(dá)到0.05, 標(biāo)兩個(gè) * 達(dá)到0.01 ) 這里進(jìn)行的F-test與第三章(Ho:大2 小2 ) 的相同之處是都做右尾測(cè)驗(yàn), 查的是同一張F(tuán) 臨界值表；不同之處是固定用誤差方差Se 2作 分母(Ho:t2 e2 ), 而不論其相對(duì)大小。 顯然, F值越大, 說(shuō)明處理效應(yīng)引起的數(shù)據(jù)變 異不僅在量的方面所占比重較大, 而且相對(duì)于 誤差引起的變異來(lái)講顯得越重要、越突出; 本 例F-test結(jié)果顯示極顯著, 表明原始數(shù)據(jù)的

9、總變 異主要由不同的飼料種類引起, 各處理之間至 少有兩個(gè)存在著(極)顯著差異。,以上一、二、三就是R.A.Fisher創(chuàng)建的方差分析法，其原理歸納如下: 平方和與自由度的可加性； SST 綜合了全部觀察值的變異量, 它匯總了各變異來(lái)源 (SOV) 導(dǎo)致原始數(shù)據(jù)和全試驗(yàn)平均數(shù) ( ) 出現(xiàn)差異的分量, 包括可控因素分量和誤差分量?jī)深? “可加性” 證實(shí)前者就是觀察值按可控因素分組后算得的組間平方和 ( 可控因素可以是試驗(yàn)因素, 也可以是象單位組那樣的其它系統(tǒng)因素 ) 。 試驗(yàn)設(shè)計(jì)有幾個(gè)可控因素, 數(shù)據(jù)就會(huì)有幾種可能的分組方式, 也就可以算出幾個(gè)組間SS, 而本屬于組內(nèi)SS的誤差分量在平方和分解

10、時(shí)總是由SST 減去所有可控因素SS得到, 因此它又被稱為“剩余平方和”。 自由度的剖分與平方和的剖分一一對(duì)應(yīng)。 依據(jù)F分布進(jìn)行整體測(cè)驗(yàn)； 只確定可控因素分量和誤差分量的相對(duì) 重要程度是否達(dá)到顯著水平。,第一節(jié) 方差分析原理,四、多重比較 R.A.Fisher 創(chuàng)建的方差分析法并沒(méi)有明確 (極)顯著差異究竟存在于哪些 “組平均數(shù)” 之間, F值(極)顯著所包含的信息只有通過(guò) 對(duì)C2n= k(k-1)/2個(gè)兩兩差數(shù)進(jìn)行多次連續(xù)性 測(cè)驗(yàn)才能完全揭露出來(lái)，這就是多重比較。 多重比較不論用哪一種方法, 區(qū)別于多 次孤立的 t-test 或者說(shuō)體現(xiàn)其“連續(xù)性” 特征 之處有兩個(gè), 一是必須使用同一個(gè)共用

11、的標(biāo) 準(zhǔn)誤, 記為“SE”), 本例SEMSe / n 5.345 =1.033 （10g）; 二是所依據(jù)的抽樣分 布由計(jì)算MSe即Se2的自由度dfe決定, 并根據(jù) 兩兩差數(shù)秩次距“k”的不同而有所修正。如 本例k = 2、3、4，測(cè)驗(yàn)時(shí)依據(jù)dfe=16的 t 分 布并在k = 3和4時(shí)修正為SSR分布如右。,順序 t t24.74 t26.28 t27.96 A1 31.18 6.44 4.9 3.22 A4 27.96 3.22 1.68 A2 26.28 1.54 A3 24.74,=16，k =2 SSR= t2,=16，k =3,=16，k =4,3.23 3.15 3.00 ,第

12、一節(jié) 方差分析原理,附表6 列出了各自由度對(duì)應(yīng)的t 分布曲線 再按9 種秩次距修正出來(lái)的SSR分布當(dāng)兩尾 概率取0.05和0.01時(shí)臨界值，記為SSR0.05和 SSR0.01，其中k =2的那一條因?yàn)閷?shí)際就是 t 分布曲線壓縮橫坐標(biāo)刻度所得, 所以表中列 出的SSR0.05和SSR0.01就分別等于附表3所列 t0.05 和t0.01的2 倍; 其它k3的SSR分布隨 著P的遞增, 對(duì) t 分布的修正幅度加大, 因此 表中列出的SSR0.05和SSR0.01也就隨之遞增。 多重比較測(cè)驗(yàn)兩兩差數(shù)的顯著性時(shí)不是 將它除以SE轉(zhuǎn)換成SSR(也是標(biāo)準(zhǔn)化變量!) 后再與SSR0.05 和SSR0.01

13、 比大小, 而是先將 SSR0.05和SSR0.01乘以SE算出“顯著尺”LSR, 再將它們直接和相應(yīng)秩次距的兩兩差數(shù)比 大小, 超過(guò)LSR0.05標(biāo)*, 超過(guò)LSR0.01 標(biāo)*。,順序 t t24.74 t26.28 t27.96 A1 31.18 6.44 * 4.9 * 3.22 * A4 27.96 3.22 ns 1.68 ns A2 26.28 1.54 ns A3 24.74,=16，k =2 SSR= t2,=16，k =3,=16，k =4,3.23 3.15 3.00 ,第一節(jié) 方差分析原理,按照兩兩差數(shù)在三角梯形表中的排列規(guī) 律，本例多重比較過(guò)程列表如下： LSR0.0

14、5= SE SSR0.05 LSR0.01= SE SSR0.01 順序 t t24.74 t26.28 t27.96 A1 31.18 6.44 * 4.9 * 3.22 * A4 27.96 3.22 ns 1.68 ns A2 26.28 1.54 ns A3 24.74 SE = 1.033,綜合包括多重比較在內(nèi)的方差分析 全過(guò)程，其原理可歸納為： 一個(gè)性質(zhì)(SS、DF的可加性) 兩個(gè)分布(F分布和SSR分布) 本例根據(jù)SSR分布進(jìn)行的多重比較 叫新復(fù)極差測(cè)驗(yàn), 簡(jiǎn)稱SSR-test 。因?yàn)?不能缺少 F-test 顯著的前提，屬于 Fishers protected multipe

15、comparisons. 此前產(chǎn)生的復(fù)極差測(cè)驗(yàn) (簡(jiǎn)稱q-test、又 稱SNK測(cè)驗(yàn)) 卻可以不經(jīng)過(guò)F-test, 原因 是q-test算LSR時(shí)要改查q 值表(附表7), 所依據(jù)的q分布是按極差抽樣分布原理 要保證各比較都是同一顯著水平, 因 而對(duì) t 分布修正幅度隨秩次距k的遞增 而加大的速度要比SSR分布快, 所以秩 次距k3 時(shí)q0.05和q0.01 比相應(yīng)的SSR0.05 和SSR0.01大。,第二節(jié) 單向分組數(shù)據(jù),單向分組數(shù)據(jù)指觀察值僅按一個(gè)方 向分組的數(shù)據(jù)。如例5.1中將全部供試單 位(試驗(yàn)材料)隨機(jī)地分成若干組，然后 各組給以不同處理，即同組供試單位受 相同處理，不同組受不同處

16、理，這樣所 得的全部觀察值在設(shè)計(jì)上稱為完全隨機(jī) 試驗(yàn)數(shù)據(jù)，而實(shí)際研究中下例5.2那樣的 調(diào)查結(jié)果也屬此類。 一、各組觀察值個(gè)數(shù)相等 例5.2 抽測(cè) 5個(gè)不同品種(k = 5)各5 頭母豬(n = 5)的窩產(chǎn)仔數(shù)，結(jié)果如右表 所示，T = 265，試檢驗(yàn)不同品種的母豬 平均窩產(chǎn)仔數(shù)差異是否顯著。,1、數(shù)據(jù)整理 C = T 2/nk = 265 2/25 = 2809 SST =(Y ) 2 = Y 2 C =82 +132 +132 2809 = 136 dfT = nk 1= 5 5 1 = 24,第二節(jié) 單向分組數(shù)據(jù),2、平方和、自由度的分解 SSt = n ( t ) 2 = Tt 2 /

17、n C = 73.2 = (51 2 +41 2 +60 2 +48 2 +65 2 )/ 5 2809 于是 SSe = SST SSt = 13673.2 =62.8 dft = k 1= 4 dfe= dfT dft =244= 20 3、列ANOVA表，進(jìn)行F-test 假設(shè)是Ho:t2 e2 而不是Ho:t2 =e2 （和 Ho:1= 2= 3= 4= 5效果一樣） SOV DF SS MS F F 0.01 品種 4 73.2 18.3 5.83* 4.43 誤差 20 62.8 3.14 總 24 136 4、多重比較 SE=MSe / n =3.145 = 0.793,再根據(jù)附

18、表6的SSR進(jìn)而算得顯著尺： K SSR0.05 SSR0.01 LSR0.05 LSR0.01 2.95 4.02 2.339 3.188 3.10 4.22 2.458 3.346 3.18 4.33 2.522 3.434 5 3.25 4.40 2.577 3.489,第二節(jié) 單向分組數(shù)據(jù),本例的多重比較結(jié)果以三角梯形表表述如下： t 0.01 t 8.2 t 9.6 t 10.2 t 12.0 13.0 A 4.8* 3.4* 2.8* 1.0 12.0 A 3.8* 2.4 1.8 10.2 AB 2.0 0.6 9.6 AB 1.4 8.2 B,t 13.0 12.0 10.2

19、9.6 8.2,第二節(jié) 單向分組數(shù)據(jù),本例的多重比較結(jié)果以三角梯形表表述如下： t 0.05 t 8.2 t 9.6 t 10.2 t 12.0 13.0 a 4.8* 3.4* 2.8* 1.0 12.0 ab 3.8* 2.4 1.8 10.2 bc 2.0 0.6 9.6 bc 1.4 8.2 c,t 13.0 12.0 10.2 9.6 8.2,第二節(jié) 單向分組數(shù)據(jù),單向分組數(shù)據(jù)的觀察值也可以是交 叉試驗(yàn)的數(shù)據(jù)。即在同一試驗(yàn)中給試驗(yàn) 單位安排處理時(shí)分期進(jìn)行、交叉反復(fù)兩 次以上所獲得的試驗(yàn)結(jié)果。這種試驗(yàn)設(shè) 計(jì)方法能較好地消除試驗(yàn)動(dòng)物個(gè)體（即 試驗(yàn)單位）以及試驗(yàn)時(shí)期間的差異對(duì)試 驗(yàn)數(shù)據(jù)影響

20、，特別是能夠利用較少的試 驗(yàn)動(dòng)物獲得盡可能多的觀察值個(gè)數(shù)。由 于系同一批試驗(yàn)動(dòng)物分期安排不同處理， 所得觀察值個(gè)數(shù)必然相等。 例5.3 研究新配方飼料對(duì)奶牛產(chǎn)奶 量（kg）的影響，設(shè)置對(duì)照飼料A1和和新 配方飼料A2兩個(gè)處理，采用 2 2交叉設(shè) 計(jì)，用條件相近的10頭奶牛分兩期獲得了 20個(gè)原始數(shù)據(jù)，并算得二水平差值 d如右 表，試完成其方差分析過(guò)程。,第二節(jié) 單向分組數(shù)據(jù),1、數(shù)據(jù)整理 C = ( d ) 2/nk = 1.8 2/10 = 0.324 SST = d 2C = 75.116 =(1.7 ) 2 +(2.2 ) 2 +1.0 20.324 dfT = nk 1= 5 2 1

21、= 9 2、平方和、自由度的分解 SSt = Tt 2 /n C = 60.516 = (11.4) 2 +13.2 2/ 5 0.324 SSe = SST SSt = 75.11660.516 =14.6 dft = k 1= 1 dfe= dfT dft =91= 8 3、列ANOVA表，進(jìn)行F-test SOV DF SS MS F F 0.01 處理 1 60.516 60.52 33.16* 4.43 誤差 8 14.600 1.83 總 9 75.116,第二節(jié) 單向分組數(shù)據(jù),例5.4 研究飼喂尿素對(duì)奶牛產(chǎn)奶量（kg） 的影響，設(shè)置尿素配合飼料A1和和對(duì)照 飼料A2兩個(gè)處理，采用

22、 2 3交叉設(shè)計(jì)， 用條件相近的6頭奶牛分三期獲得了18個(gè) 原始數(shù)據(jù)，并算得二水平差值 d如右表， 完成其方差分析的結(jié)果如下。 （和例5.3一樣，無(wú)需多重比較） ANOVA表： SOV DF SS MS F F 0.01 處理 1 1.6748 1.6748 1.60ns 7.71 誤差 4 4.1727 1.0432 總 5 17.72,第二節(jié) 單向分組數(shù)據(jù),二、各組觀察值個(gè)數(shù)不相等 例5.5 5個(gè)不同品種豬的育肥試驗(yàn)，后 期30天增重（kg）分別得到6、6、5、4、 4個(gè)共25頭豬的觀察值（如下表），試 比較不同品種間的增重有無(wú)顯著性差異。 1、數(shù)據(jù)整理 k = 5 T = 460.5 n

23、i=25 C= T 2/ ni = 460.5 2/25 = 8482.41,SST = (Y ) 2 = Y 2 C = 21.52 +16.02 8482.41 = 85.34 dfT = ni 1= 25 1 = 24 可加性原理與前面例5.1、例5.2一樣 ： SST = 組間 SS t + 組內(nèi) SS e dfT = 組間 df t + 組內(nèi) df e 由于各組觀察值個(gè)數(shù) ni 不全相等， 方差分析過(guò)程部分計(jì)算公式隨之改變， 須注意其與前面例5.1、例5.2的區(qū)別！,第二節(jié) 單向分組數(shù)據(jù),2、平方和、自由度的分解 SSt = ( Tt 2 / ni ) C = 46.5 = (121

24、2 /6+103 2 /6+91.5 2/5+78.5 2 /4 +66.5 2 /4 ) 8482.41 于是 SSe = SST SSt = 85.3446.5 =38.84 dft = k 1 = 4 dfe = dfT dft = 244 = 20 3、列ANOVA表，進(jìn)行F-test 假設(shè)是Ho:t2 e2 而不是Ho:t2 =e2 （和 Ho:1= 2= 3= 4= 5效果一樣） SOV DF SS MS F F 0.01 品種 4 46.5 11.63 5.99* 4.43 誤差 20 38.84 1.94 總 24 85.34 4、多重比較 SE= MSe / no =1.94

25、4.96 = 0.625,按dfe = 20查得SSR臨界值后比較如下: P LSR 順序 t 0.05 0.01 0.05 0.01 B1 20.2 a A 2.95 4.02 B4 19.6 a AB 3.10 4.22 B3 18.3 ab ABC 3.18 4.33 B2 17.2 b BC 5 3.25 4.40 B5 16.6 b C,第二節(jié) 單向分組數(shù)據(jù),組次數(shù)平均數(shù) no 的另一種計(jì)算公式： 6 (6+5+4+4) 6 (6+5+4+4) 5(6+6+4+4) 4 (6+6+5+4) 4（ 6+6+5+4 ） 4 4 4 4 4 no= = 4.96 6 + 6 + 5 + 4

26、 + 4 本例說(shuō)明取樣調(diào)查得到的數(shù)據(jù)觀察結(jié)果可按單向分組數(shù)據(jù)的模型進(jìn)行方差分 析, 而不論各組取樣獲得的觀察值個(gè)數(shù)是否相同（參見(jiàn)例5.1）。 實(shí)際應(yīng)用中，某些完全隨機(jī)試驗(yàn)設(shè)計(jì)即使各處理的小區(qū)個(gè)數(shù)相同，但因?yàn)樽?然條件限制或其它原因?qū)е聜€(gè)別小區(qū)無(wú)法得到觀察值時(shí)，就可以參照本例按各組 觀察值個(gè)數(shù)不同的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。 由于取樣觀察所依據(jù)的原理是以概率論中定義的“隨機(jī)試驗(yàn)”為出發(fā)點(diǎn)，因此， 試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)中講授取樣調(diào)查結(jié)果決不算“離題”，也就是說(shuō)，對(duì)教材名稱中的“試驗(yàn)” 一詞要全面理解，這是本課程簡(jiǎn)稱“試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)”比簡(jiǎn)稱“生物統(tǒng)計(jì)”好的理由之一。 至于動(dòng)物試驗(yàn)研究中按交叉設(shè)計(jì)得到的數(shù)據(jù)，其方差分析因?yàn)槭怯?/p>

27、二水平差 值 d 進(jìn)行的，分析模型的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)也屬于單向分組數(shù)據(jù)模式。,第三節(jié) 多向分組數(shù)據(jù),試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)過(guò)程中，象前面三例那樣只需按不同試驗(yàn)處理( 即一個(gè)可控因素 ) 對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分組是很不夠的，因?yàn)檗r(nóng)業(yè)及生物學(xué)領(lǐng)域所進(jìn)行的試驗(yàn)研究由于受自 然條件的制約，導(dǎo)致試驗(yàn)所得各觀察值出現(xiàn)差異的可控因素決不僅僅局限于試驗(yàn) 因素。如在實(shí)施了局部控制的試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)中，各單位組之間的差別就反映了系 統(tǒng)因素效應(yīng)，此時(shí)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)除了要按不同試驗(yàn)處理分組之外，還必須按不同的 單位組進(jìn)行分組。 由于區(qū)組可以不止一個(gè)方向，這就產(chǎn)生了兩向甚至三向分組數(shù)據(jù)的分析問(wèn)題， 前者最典型的是隨機(jī)區(qū)組試驗(yàn)數(shù)據(jù)，后者則以拉丁方試驗(yàn)結(jié)果為代表

28、，兩者都是 經(jīng)典試驗(yàn)設(shè)計(jì)與統(tǒng)計(jì)分析內(nèi)容；并且和完全隨機(jī)試驗(yàn)一樣，可以是單因素試驗(yàn)， 也可以是復(fù)因素試驗(yàn)。鑒于復(fù)因素試驗(yàn)要專門安排一章來(lái)講授，本節(jié)只介紹單因 素隨機(jī)區(qū)組和拉丁方試驗(yàn)數(shù)據(jù)的方差分析。 例5.6 為了比較5種不同中草藥飼料添加劑對(duì)豬增重的效果，從4頭母豬所產(chǎn) 仔豬中，每窩選出性別相同、體重相近的仔豬各5頭，共20頭，組成4個(gè)單位組， 各單位組的每頭仔豬隨機(jī)飼喂不同的飼料添加劑。觀察值為平均日增重（g）， 其結(jié)果如下表，試進(jìn)行方差分析。,第三節(jié) 多向分組數(shù)據(jù),SST = 處理 SS t + 區(qū)組 SS r + 剩余 SS e dfT = 處理 df t + 區(qū)組 df r + 剩余 d

29、f e SSt = Tt 2 /n C = (825 2 +925 2 +1065 2 +737 2 +1137 2) / 4 C = 27267.2 SSr = Tr 2 / kC = (1152 2 +1047 2 +1267 2 +1223 2) / 5 C = 5530.15 SSe = SST SSt SSr = 35890.9527267.2 5530.15 = 3093.6 dft = k 1= 4 dfr = 4 1= 3 dfe= dfT dft dfr =194 3= 12,一、數(shù)據(jù)整理 n = 4 k = 5 nk = 20 （隨機(jī)單位組） C = T 2/nk = 46

30、89 2/20 = 1099336.05 SST =(Y ) 2 = Y 2 C = 2052 +1682 +2822 1099336.05 = 35890.95 dfT = nk 1= 4 5 1 = 19 二、 SST、 dfT 的分解,第三節(jié) 多向分組數(shù)據(jù),三、列ANOVA表，進(jìn)行F-test (假設(shè)是Ho:t2 e2 而不是Ho:t2 =e2 ) SOV DF SS MS F F 0.01 區(qū)組 3 5530.15 1843.38 7.15* 5.95 處理 4 27267.2 6816.8 26.44* 5.41 誤差 12 3093.6 257.8 總 19 35890.95 總有

31、人用單位組SS、DF算MS并進(jìn)行 F-test，這樣做不妥當(dāng)：?jiǎn)挝唤M之間的差 異是試驗(yàn)設(shè)計(jì)時(shí)實(shí)行局部控制、轉(zhuǎn)化系統(tǒng) 因素效應(yīng)收到的效果，只參與SST、dfT 的 分解以控制試驗(yàn)誤差；一個(gè)單位組安排 了試驗(yàn)方案的一個(gè)完整重復(fù)，單位組數(shù)就 是重復(fù)次數(shù)，但“重復(fù)區(qū)組”只是構(gòu)成了估 計(jì)抽樣誤差的必要條件，不能提供其自身 ( 區(qū)組之間 )差異是否顯著的信息。,四、多重比較 SE=MSe / n =257.84 = 8.028 再根據(jù)附表5的q進(jìn)而算得顯著尺： k 2 3 4 5 q0.05 3.08 3.77 4.20 4.51 q0.01 4.32 5.04 5.50 5.84 LSR0.05 24.

32、73 30.27 33.72 36.21 LSR0.01 34.68 40.64 44.15 46.88 順序 t 0.05 0.01 A5 284.25 a A A3 266.25 a A A2 231.25 b B A1 206.25 c BC A4 184.25 c C,第三節(jié) 多向分組數(shù)據(jù),例5.7 為了研究5種不同溫度對(duì)蛋雞產(chǎn)蛋量的影響，將5棟雞舍的溫度分別設(shè) 為A、B、C、D、E，把各棟雞舍雞群（5群）,每群產(chǎn)蛋期（5期）分別設(shè)置成 單位組，采用55拉丁方設(shè)計(jì)，其試驗(yàn)結(jié)果（個(gè)）如下，試予分析。 解 拉丁方試驗(yàn)在兩個(gè)方向都應(yīng)用了局部控制，使得縱橫兩向皆成區(qū)組。 其結(jié)果的分解原理構(gòu)成三

33、向分組：SST = SS t + SS r + SS c + SS e 即包括了三個(gè)可控因素，比隨機(jī)區(qū)組法： SST = SS t + SS r + SS e 多一個(gè)可控因素；比完全隨機(jī)法多兩個(gè)： SST = SS t + SS e 。 自由度的分解也是如此。,第三節(jié) 多向分組數(shù)據(jù),一、數(shù)據(jù)整理 n = k = 5 nk = 25 C = T 2/nk = 549 2/25 = 12056.04 SST = Y 2 C = 100.96 = 232 +212 +19212056.04 dfT = nk 1= 5 5 1 = 24 三、列ANOVA表，進(jìn)行F-test SOV DF SS MS

34、F F 0.01 行 4 27.36 列 4 22.16 溫度 4 33.36 8.34 5.56* * 5.41 誤差 12 18.08 1.50 總 24 100.96 不要試圖對(duì)橫行區(qū)組（行）或縱行區(qū)組 （列）進(jìn)行F-test ！,二、 SST、 dfT 的分解 SSt = Tt 2 /n C = 33.36 = (116 2 +114 2 +105 2 +113 2 +101 2) / 5 C SSr = Tr 2 / kC = 27.36 = (108 2 +105 2 +116 2 +116 2 +104 2) / 5 C SSc= Tc 2 / kC = 22.16 = (109

35、 2 +108 2 +119 2 +107 2 +106 2) / 5 C SSe = SST SSt SSr SSc= 18.08 = 100.96 33.3627.36 22.16 dft = k 1= dfr = dfc= n 1= 4 dfe= dfT dft dfr dfc = 244 4 4 = 12,第三節(jié) 多向分組數(shù)據(jù),四、多重比較 SE=MSe / n =1.505 = 0.55 再根據(jù)附表5的q進(jìn)而算得顯著尺： k 2 3 4 5 q0.05 3.08 3.77 4.20 4.51 q0.01 4.32 5.04 5.50 5.84 LSR0.05 1.69 2.07 2.

36、31 2.48 LSR0.01 2.38 2.77 3.03 3.21 順序 t 0.05 0.01 A 23.2 a A B 22.8 a A D 22.6 a A C 21.0 ab A E 20.2 b A,多向分組數(shù)據(jù)不能象單向分組數(shù)據(jù)那樣 有各組觀察值個(gè)數(shù)相同和各組觀察值個(gè)數(shù) 不相同兩種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，因?yàn)樵囼?yàn)設(shè)計(jì)決定 了其數(shù)據(jù)中各組觀察值個(gè)數(shù)必須相同。 即使試驗(yàn)實(shí)施后因?yàn)椴豢煽咕艿脑蚴?得個(gè)別小區(qū)觀察值缺失而導(dǎo)致該組觀察值 個(gè)數(shù)少于其它組，也要按“最小二乘法”在 卻失小區(qū)算出一個(gè)估計(jì)值補(bǔ)進(jìn)去才能進(jìn)行 方差分析，此時(shí)的“缺區(qū)估計(jì)”值無(wú)任何實(shí) 際意義，純粹是為了使方差分析時(shí)獲得的 誤差平方

37、和取最小值而確定的算術(shù)值，換 句話說(shuō)，沒(méi)有獲得觀察值的小區(qū)只有用缺 區(qū)估計(jì)值參與方差分析才能使算出的誤差 平方和為最小值。,第四節(jié) 三個(gè)假定與數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換,在顯著性檢驗(yàn)一章知，針對(duì)兩個(gè)小樣本的平均數(shù)進(jìn)行 t-est 時(shí)，只有方差同 質(zhì)（即兩個(gè)樣本方差 S2 經(jīng)F-test不顯著）的情形才能合并方差進(jìn)而求算 t 值。 在例5.1中介紹SS、df 的可加性時(shí)，對(duì)組內(nèi)SSe、dfe進(jìn)行分析，知其實(shí)質(zhì)就 是多個(gè)樣本的合并方差，既然方差分析說(shuō)到底依然是對(duì)多個(gè)樣本平均數(shù)的兩兩 差數(shù)做若干次連續(xù)的顯著性檢驗(yàn)（SSR-test或q-test），自然也應(yīng)該在多個(gè)樣本 的方差合并之前證實(shí)它們同質(zhì)才行，這可是方差分析的

38、條件問(wèn)題！即使是多元 統(tǒng)計(jì)分析中建立生產(chǎn)過(guò)程的回歸模型(現(xiàn)代生物統(tǒng)計(jì)技術(shù))也少不得這個(gè)前提。 但本章從例5.1講到例5.5，也并沒(méi)有明示上述前提條件是否存在，這是因?yàn)?這些例題所用的原始數(shù)據(jù)已從其來(lái)源和性質(zhì)進(jìn)行“把關(guān)”，并根據(jù)其變化特點(diǎn)予 以“把握”，使方差的同質(zhì)（也叫“齊性”）有了一個(gè)基本的保證，具體有三條： 根據(jù)數(shù)據(jù)的來(lái)源和性質(zhì)，判斷其是否符合方差分析的正態(tài)性假定； 根據(jù)數(shù)據(jù)各組觀察值的變化特點(diǎn)看是否符合方差分析的可加性假定； 根據(jù)Bartlett-test的結(jié)果看多個(gè)樣本方差是否符合方差分析的同質(zhì)性假定。,第四節(jié) 三個(gè)假定與數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換,一、正態(tài)性 指數(shù)據(jù)的各組觀察值必須圍繞其相應(yīng)的平均數(shù)作

39、正態(tài)分布。 因?yàn)閷?duì)多個(gè)樣本的平均數(shù)進(jìn)行方差分析時(shí)所作的F-test是假定這些樣本皆從 各自的正態(tài)總體中抽出的前提下進(jìn)行的，以完全隨機(jī)設(shè)計(jì)為例： Y11、 Y12、 Y13、 Y1n 1 S12 N1（1，12） Y21、 Y22、 Y23、 Y2n 2 S2 2 N2（2，22） Yi1、 Yi2、 Yi3、 Yin i Si 2 Ni（i，i2） Yk1、 Yk2、 Yk3、 Ykn k Sk 2 Nk（k，k2） 換一種說(shuō)法，就是所得數(shù)據(jù)的來(lái)源和性質(zhì)須滿足以下兩點(diǎn)要求： 各組觀察值必須是用隨機(jī)方法獲得的； 各正態(tài)總體的i與i2無(wú)任何函數(shù)關(guān)系，或者說(shuō)i與i2彼此獨(dú)立。,第四節(jié) 三個(gè)假定與數(shù)據(jù)

40、轉(zhuǎn)換,各組觀察值必須是用隨機(jī)方法獲得的； 各正態(tài)總體的i與i2無(wú)任何函數(shù)關(guān)系，或者說(shuō)i與i2彼此獨(dú)立。 因此，首先務(wù)必明確方差分析只能用于經(jīng)過(guò)隨機(jī)排列(分組)設(shè)計(jì)獲得的試 驗(yàn)數(shù)據(jù)，或者是通過(guò)隨機(jī)取樣得到的調(diào)查結(jié)果，不能用于順序排列(分組)設(shè)計(jì) 獲得的試驗(yàn)數(shù)據(jù)或者未經(jīng)隨機(jī)取樣得到的調(diào)查結(jié)果。 二項(xiàng)資料的百分?jǐn)?shù)或統(tǒng)計(jì)次數(shù)，其實(shí)質(zhì)乃二項(xiàng)總體抽樣所得，這類總體的 方差是平均數(shù)的函數(shù)，即i2 = piqi=i (1i)，服從的是二項(xiàng)分布； 稀有現(xiàn)象的次數(shù)數(shù)據(jù)，如單位面積內(nèi)的某種雜草的株數(shù)或者昆蟲的頭數(shù)， 某塊載玻片上細(xì)菌群落的計(jì)數(shù)，每毫升溶液中某種微生物個(gè)體數(shù)，每個(gè)顯微鏡 視野中某種細(xì)胞個(gè)數(shù)等等，它們所

41、屬的總體平均數(shù)和方差幾乎相等i=i2 ， 可視其為來(lái)自Poisson總體，服從的是泊松分布。 以上兩類數(shù)據(jù)因?yàn)椴环险龖B(tài)性假定的第點(diǎn)要求，原則上都不能直接進(jìn) 行方差分析，必須通過(guò)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換恢復(fù)正態(tài)性之后才能做方差分析，前者通常進(jìn) 行百分?jǐn)?shù)的反正弦轉(zhuǎn)換，后者通常進(jìn)行統(tǒng)計(jì)次數(shù)的平方根轉(zhuǎn)換或者對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換。,第四節(jié) 三個(gè)假定與數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換,例5.8 研究甲、乙、丙三個(gè)地區(qū)乳牛隱性乳房炎陽(yáng)性率，其結(jié)果如下表，試對(duì)該資料進(jìn)行方差分析。 二項(xiàng)資料百分?jǐn)?shù)的反正弦轉(zhuǎn)換就是將成數(shù)p的平方根視為三角函數(shù)之正弦值， 反過(guò)來(lái)求其反正弦值，也就是轉(zhuǎn)化為0 90的角度數(shù)，教材有附表供查閱。 如果所有的百分?jǐn)?shù)都介于30%70%之間，

42、則因?yàn)閜與q相差不懸殊，所服從 的二項(xiàng)分布很接近正態(tài)分布，因此可不做反正弦轉(zhuǎn)換，直接進(jìn)行方差分析。 本例的百分?jǐn)?shù)有許多70%的，和30%一樣，必須進(jìn)行數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換。,第四節(jié) 三個(gè)假定與數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換,將轉(zhuǎn)換后的 sin1 p 列表進(jìn)行F-test SOV DF SS MS F F 0.01 地區(qū) 2 2461.823 1230.911 14.03* * 6.01 誤差 18 1579.493 87.75 總 20 4041.316 SE = 87.757 = 3.54 多重比較結(jié)果作為文獻(xiàn)交流時(shí)，各處理反正弦值的平均數(shù) t 必須由其反轉(zhuǎn)換 得到的百分?jǐn)?shù)（即反轉(zhuǎn)% ）替換下來(lái)，這樣在專業(yè)含義上才便于解釋，

43、為記牢這 一特點(diǎn)，不妨稱之為“過(guò)河拆橋”或者“上屋抽梯”。,按dfe=18查得SSR再算LSR值后比較如下： k LSR 順序 t 反轉(zhuǎn)% 0.05 0.01 0.05 0.01 甲 53.27 64.2 a A 10.51 14.41 乙 32.58 29.0 b B 11.04 15.12 丙 28.56 22.8 b B,第四節(jié) 三個(gè)假定與數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換,二、可加性 指處理效應(yīng)與區(qū)組效應(yīng)具有可加性，即： 總SST誤差SSe = 處理SSt區(qū)組SSr 這一通式幾乎囊括所有數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的平方 和SS的分解過(guò)程，現(xiàn)令其SSe = 0討論如下： 線性數(shù)據(jù) SST =152+52+52+152=500 SSt =2(102+102 )=400 SSr =2(52+52 )=100 故 SSt SSr SST 倍性數(shù)據(jù)