1、云南省師范大學五華區(qū)實驗中學高中數(shù)學 第三章 不等式 一元二次不等式教學案 新人教A版必修5本節(jié)課是人民教育出版社A版必修數(shù)學5第三章不等式第二大節(jié)3.2一元二次不等式及其解法的第一節(jié)課.一元二次不等式及其解法教學分為三個學時，第一個學時先由師生共同分析日常生活中的實際問題來引出一元二次不等式及其解法中的一些基本概念、求解一元二次不等式的步驟、求解一元二次不等式的程序框圖.確定一元二次不等式的概念和解法，以此激發(fā)學生對科學的探究精神和嚴肅認真的科學態(tài)度.通過具體例題的分析和求解，在這些例題中設置思考項，讓學生探究，層層鋪設，以便讓學生深刻理解一元二次不等式的概念，有利于一元二次不等式的解法的教

2、學.講述完一元二次不等式的概念后，再回歸到先前的具體事例，總結一元二次不等式解法與二次函數(shù)的關系和一元二次不等式解法的步驟，由學生用表格將一元二次不等式解法與二次函數(shù)的數(shù)形關系的對應關系用圖表形式表示出來；然后用一個程序框圖把求解一般一元二次不等式的過程表示出來，根據(jù)這些圖表，得出一元二次不等式解法與二次函數(shù)的關系兩者之間的區(qū)別與聯(lián)系，再輔以新的例題鞏固.整個教學過程，探究一元二次不等式的概念，揭示一元二次不等式解法與二次函數(shù)的關系本質，引出一元二次不等式解法的步驟和過程，并及時加以鞏固，同時讓學生體驗數(shù)學的奧秘與數(shù)學美，激發(fā)學生的學習興趣.教學重點 1.從實際問題中抽象出一元二次不等式模型.

3、2.圍繞一元二次不等式的解法展開，突出體現(xiàn)數(shù)形結合的思想.教學難點 理解二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式的關系.教學目標1.經(jīng)歷從實際情景中抽象出一元二次不等式模型的過程;2.通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系;3.會解一次二次不等式，對給定的一元二次不等式，嘗試設計求解的程序框圖.教學過程導入新課問題 因此這個問題實際就是解不等式：x2-5x0的問題.這樣的不等式就叫做一元二次不等式，它的解法是我們下面要學習討論的重點.什么叫做一元二次不等式？含有一個未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax2+bx+c0或ax2+bx+c

4、0（a0）.例如2x2-3x-20，3x2-6x-2，-2x2+30等都是一元二次不等式.那么如何求解呢？問題 在初中，我們已經(jīng)學習過一元一次方程和一元一次不等式的解法，以及一次函數(shù)的有關知識，那么一元一次方程、一元一次不等式以及一次函數(shù)三者之間有什么關系呢？思考：對一次函數(shù)y=2x-7，當x為何值時，y=0？當x為何值時，y0？當x為何值時，y0？它的對應值表與圖象如下：x22.533.544.55y-3-2-10123由對應值表與圖象（如上圖）可知：當x=3.5時，y=0，即2x-7=0；當x3.5時，y0，即2x-70；當x3.5時，y0，即2x-70.問題 一般地，設直線y=ax+b與

5、x軸的交點是(x0，0),則有如下結果：（1）一元一次方程ax+b=0的解是x0；（2）當a0時，一元一次不等式ax+b0的解集是x|xx0；一元一次不等式ax+b0的解集是x|xx0.當a0時，一元一次不等式ax+b0的解集是x|xx0；一元一次不等式ax+b0的解集是x|xx0.問題 在解決上述問題的基礎上分析，一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式之間的關系.能通過觀察一次函數(shù)的圖象求得一元一次不等式的解集嗎？生 函數(shù)圖象與x軸的交點橫坐標為方程的根，不等式的解集為函數(shù)圖象落在x軸上方(下方)部分對應的橫坐標.a0a0一次函數(shù)y=ax+b(a0)的圖象一元一次方程ax+b=0的解集x|x

6、=x|x=一元一次不等式ax+b0的解集x|xx|x一元一次不等式ax+b0的解集x|xx|x問題 在這里我們發(fā)現(xiàn)一元一次方程、一元一次不等式與一次函數(shù)三者之間有著密切的聯(lián)系.利用這種聯(lián)系（集中反映在相應一次函數(shù)的圖象上）我們可以快速準確地求出一元一次不等式的解集，類似地，我們能不能將現(xiàn)在要求解的一元二次不等式與二次函數(shù)聯(lián)系起來討論找到其求解方法呢？在初中學習二次函數(shù)時，我們曾解決過這樣的問題：對二次函數(shù)y=x2-5x，當x為何值時，y=0？當x為何值時，y0？當x為何值時，y0？當時我們又是怎樣解決的呢？二次函數(shù)y=x2-5x的對應值表與圖象如下：x-10123456y60-4-6-6-40

7、6由對應值表與圖象（如上圖）可知：當x=0或x=5時，y=0，即x2-5x=0；當0x5時，y0，即x2-5x0；當x0或x5時，y0，即x2-5x0.這就是說，若拋物線y=x 2-5x與x軸的交點是(0，0)與(5，0),則一元二次方程x2-5x=0的解就是x1=0，x2=5.一元二次不等式x2-5x0的解集是x|0x5;一元二次不等式x2-5x0的解集是x|x0或x5.由一元二次不等式的一般形式知，任何一個一元二次不等式，最后都可以化為ax2+bx+c0或ax2+bx+c0（a0）的形式，而且我們已經(jīng)知道，一元二次不等式的解與其相應的一元二次方程的根及二次函數(shù)圖象有關，即由拋物線與x軸的交

8、點可以確定對應的一元二次方程的解和對應的一元二次不等式的解集.如何討論一元二次不等式的解集呢？我們知道，對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)，設其判別式為=b2-4ac，它的解按照0,=0，0分為三種情況，相應地，拋物線y=ax2+bx+c(a0)與x軸的相關位置也分為三種情況（如下圖），因此，對相應的一元二次不等式ax2+bx+c0或ax2+bx+c0（a0）的解集我們也分這三種情況進行討論.（1）若0，此時拋物線y=ax 2+bx+c(a0)與x軸有兩個交點圖（1），即方程ax 2+bx+c=0(a0)有兩個不相等的實根x1，x2（x1x2）,則不等式ax2+bx+c0（a0）的解

9、集是x|xx1，或xx2；不等式ax2+bx+c0（a0）的解集是x|x1xx2.（2）若=0，此時拋物線y=ax2+bx+c(a0)與x軸只有一個交點圖（2），即方程ax2+bx+c=0(a0)有兩個相等的實根x1=x2=,則不等式ax2+bx+c0（a0）的解集是x|x；不等式ax2+bx+c0（a0）的解集是.(3)若0，此時拋物線y=ax2+bx+c(a0)與x軸沒有交點圖(3)，即方程ax2+bx+c=0(a0)無實根，則不等式ax2+bx+c0（a0）的解集是R；不等式ax2+bx+c0（a0）的解集是.=b2-4ac0=00二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象ax2+bx+

10、c=0的根x1=x2=ax2+bx+c0的解集x|xx1或xx2x|xRax2+bx+c0的解集x|x1xx2對于二次項系數(shù)是負數(shù)（即a0）的不等式，可以先把二次項系數(shù)化成正數(shù)，再求解.知識拓展【例1】 解不等式2x 2-5x-30. 解：因為0，2x2-5x-3=0的解是x1=-,x 2=3.所以不等式的解集是x|x，或x3.【例2】 解不等式-3x 2+15x12. 解：整理化簡得3x 2-15x+120.因為0，方程3x2-15x+12=0的解是x 1=1,x2=4，所以不等式的解集是x|1x4.【例3】 解不等式4x 2+4x+10.解：因為=0，方程4x 2+4x+1=0的解是x1=x 2=.所以不等式的解集是x|x.【例4】 解不等式-x 2+2x-30. 解：整理化簡，得x2-2x+30.因為0，方程x 2-2x+3=0無實數(shù)解，所以不等式的解集是.師 由上述討論及例題，可歸納出解一元二次不等式的程序嗎？ 歸納如下：（1）將二次項系數(shù)化為“+”：y=ax 2+bx+c0(或0)(a0).（2）計算判別式，分析不等式的解的情況：0時，求根x1x2，=0時，求根x 1=x 2=x 0，0時，方程無解，（3）寫出解集.方法引導上述過程以學生自主探究為主，教師起引