1、21.2 解一元二次方程,第二十一章 一元二次方程,21.2.4 一元二次方程的根與系數的關系,1.探索一元二次方程的根與系數的關系.（難點） 2.不解方程利用一元二次方程的根與系數的關系解決問題.（重點）,復習引入,1.一元二次方程的求根公式是什么？,2.方程的兩根x1和x2與系數a,b,c還有其它關系嗎？,講授新課,算一算 解下列方程并完成填空： （1）x2+3x-4=0; (2)x2-5x+6=0; (3)2x2+3x+1=0.,-4,1,2,3,-1,x1+x2=-3,x1 x2=-4,x1+x2=5,x1 x2=6,猜一猜,（1）若一元二次方程的兩根為x1,x2,則有x-x1=0,且

2、x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2為已知數）的兩根是什么？將方程化為x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2與p,q之間的關系嗎？,重要發(fā)現 如果方程x2+px+q=0的兩根是x1,x2,那么x1+x2= -p ,x1 x2=q.,(x-x1)(x-x2)=0.,x2-(x1+x2)x+x1x2=0，,x2+px+q=0，,x1+x2= -p ,x1 x2=q.,猜一猜,（2）如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的兩個根分別是x1、 x2，那么，你可以發(fā)現什么結論？,證一證：,一元二次方程的根與系數的關系 （韋達定理）,如果一元二次方程 ax2+bx+

3、c=0(a0)的兩個根分別是x1、 x2，那么,滿足上述關系的前提條件,b2-4ac0.,1. x2-2x-15=0；,例1 口答下列方程的兩根之和與兩根之積.,2. x2-6x+4=0；,3. 2x2+3x-5=0；,4. 3x2-7x=0；,5. 2x2=5.,x1+x2= -p ,x1 x2=q.,x1+x2=2,x1 x2=-15.,x1+x2=6,x1 x2=4.,ax2+bx+c=0(a0),兩邊都 除以a,典例精析,下列方程的兩根和與兩根積各是多少？ x23x+1=0 ； 3x22x=2； 2x2+3x=0； 3x2=1 .,在使用根與系數的關系時:(1)不是一般式的要先化成一般

4、式；(2) 在使用x1+x2= 時，“ ”不要漏寫.,例2 已知方程5x2+kx-6=0的一個根是2，求它的另一個根及k的值.,解：設方程 5x2+kx-6=0的兩個根分別是x1、x2，其中x1=2 . 所以：x1 x2=2x2= 即：x2= 由于x1+x2=2+ = 得：k=-7. 答：方程的另一個根是 ，k=-7.,已知方程3x2-18x+m=0的一個根是1，求它的另一個根及m的值.,解：設方程 3x2-18x+m=0的兩個根分別是x1、x2，其中x1=1. 所以：x1 + x2=1+x2=6， 即：x2=5 . 由于x1x2=15= 得：m=15. 答：方程的另一個根是5，m=15.,例

5、3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的兩根的平方和、倒數和.,解：根據根與系數的關系可知：,設x1,x2為方程x2-4x+1=0的兩個根，則: （1）x1+x2= , (2)x1x2= , (3) , (4) .,4,1,14,12,總結常見的求值:,求與方程的根有關的代數式的值時,一般先將所求的代數式化成含兩根之和,兩根之積的形式,再整體代入.,當堂練習,1.如果-1是方程2x2x+m=0的一個根，則另一個根是_，m =_.,2.已知一元二次方程x2+px+q=0的兩根分別為-2 和 1 ，則：p = , q= .,1,-2,-3,3.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的兩個根，且（x1+1)(x2+1)=4； （1）求k的值； （2）求(x1-x2)2的值.,解：（1）根據根與系數的關系 所以（x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1= 解得：k=-7；,（2）因為k=-7,所以 則：,課堂小結,根與系數的關系 （韋達定理）,內 容,如果方程x2+p