1、第四章 旋轉(zhuǎn)薄殼理論,在任何一個壓力容器中，總存在著兩類不同性質(zhì)的應(yīng)力,內(nèi)壓薄壁容器的結(jié)構(gòu)與受力： 內(nèi)壓薄壁容器的變形： 內(nèi)壓薄壁容器的內(nèi)力：,薄膜容器及其應(yīng)力特點,無力矩 理論求解,薄膜應(yīng)力,邊緣應(yīng)力,有力矩 理論求解,環(huán)向應(yīng)力或周向應(yīng)力，用 表示，單位MPa，方向為垂直于縱向截面； 軸向應(yīng)力或經(jīng)向應(yīng)力，用 表示，單位MPa，方向為垂直于橫向截面； 由于厚度 很小，認(rèn)為 、 都是沿壁厚均勻分布的，并把它們稱為薄膜應(yīng)力。,內(nèi)壓薄膜圓筒壁內(nèi)的兩向應(yīng)力,軸對稱問題,幾何形狀,所受外力,約束條件,均對稱于回轉(zhuǎn)軸,化工用壓力容器通常都屬于軸對稱問題,本章研究的是滿足軸對稱條件的薄壁殼體,第一節(jié) 基本概

2、念 在工程中，所謂殼體是以兩個曲面為界的且曲面之間的距離比其它尺寸為小的物體。兩曲面之間的距離稱為殼體的厚度。 工程上用殼體外半徑與內(nèi)半徑的比值K來限定，K1.2稱為薄殼，K1.2稱為厚殼?；び玫膲毫θ萜魍ǔＪ禽S對稱問題，所謂軸對稱問題，即殼體的幾何形狀、約束條件和所受外力都是對稱于某一軸。,K 1.2,薄壁容器,容器的厚度與其最大截面圓的內(nèi)徑之比小于0.1的容器稱為薄壁容器。 （超出這一范圍的稱為厚壁容器）,應(yīng)力分析是強(qiáng)度設(shè)計中首先要解決的問題,1.旋轉(zhuǎn)殼體 旋轉(zhuǎn)殼體指以任意直線或平面曲線作母線，繞其同平面內(nèi)的軸線旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)曲面。,母線,形成回轉(zhuǎn)殼體中間面的那條直線或平面曲線。,如

3、圖所示的回轉(zhuǎn)殼體即由平面曲線AB繞OA軸旋轉(zhuǎn)一周形成，平面曲線AB為該回轉(zhuǎn)體的母線。,注意：母線形狀不同或與回轉(zhuǎn)軸的相對位置不同時，所形成的回轉(zhuǎn)殼體形狀不同。,回轉(zhuǎn)殼體的幾何特性,回轉(zhuǎn)殼體,由回轉(zhuǎn)曲面作中間面形成的殼體。,回轉(zhuǎn)曲面,由平面直線或平面曲線繞其同平面內(nèi)的回轉(zhuǎn)軸回轉(zhuǎn)一周所形成的曲面。,中間面,平分殼體厚度的曲面稱為殼體的中間 面。中間面與殼體內(nèi)外表面等距離，它代表了殼體的幾何特性。,2.旋轉(zhuǎn)薄殼的幾何概念,2.旋轉(zhuǎn)薄殼的幾何概念 圖-2表示一般旋轉(zhuǎn)殼體的中面，它是由平面曲線OAA繞同平面內(nèi)的OO軸旋轉(zhuǎn)而成的。,中面上任一點B處經(jīng)線的曲率半徑為該點的“第一曲率半徑” r1，即r1 =B

4、K。 通過經(jīng)線上一點B的法線作垂直于經(jīng)線的平面與中面相割形成的曲線BE，此曲線在B點處的曲率半徑稱為該點的第二曲率半徑r2 。 第二曲率半徑的中心K落在回轉(zhuǎn)軸上，其長度等于法線段BK，即r2 =BK 。,兩個曲率半徑有以下關(guān)系 (1) r1 、 r2 都在中面的法線上， r2 的中心必在對稱軸上； (2) r1 可由經(jīng)線的方程式導(dǎo)出。 r2 與平行圓半徑r有如下關(guān)系：,（）經(jīng)線與緯線的長度 可表示為： （4-2） 因為 所以,小撓度假設(shè),直法線假設(shè),不擠壓假設(shè),殼體受力后，殼體中各點的位移遠(yuǎn)小于壁厚 ，利用變形前尺寸代替變形后尺寸,殼體在變形前垂直于中間面的直線段，在變形后仍保持為直線段，并且

5、垂直于變形后的中間面。且假設(shè)殼體的厚度不變,殼體各層纖維變形前后均互不擠壓,假定材料具有連續(xù)性、均勻性和各向同性，即殼體是完全彈性的,3、基本假設(shè),二、外力與內(nèi)力 1.外力 化工容器薄殼主要承受外力為分布面力：如氣體壓力、液體壓力等；體積力如重力、慣性力等可以轉(zhuǎn)化為分布面力。由于研究的是軸對稱問題，外力不隨坐標(biāo)變化，僅是的函數(shù)。,2.內(nèi)力 薄殼在外力作用下所產(chǎn)生的內(nèi)力與平板的內(nèi)力相同，可分為二類：彎曲力和薄膜力。彎曲力是使殼體產(chǎn)生彎曲變形，薄膜力是使殼體中面產(chǎn)生變形。與薄板不同的是，即使是小撓度問題，一般均需考慮這兩種力。,最大應(yīng)力位置,最大應(yīng)力,注意正負(fù)定義？,切應(yīng)力略去,第二節(jié) 旋轉(zhuǎn)薄殼的

6、無力矩理論 對求解承受軸對稱載荷的旋轉(zhuǎn)薄殼一般有兩種理論 無力矩理論，也稱薄膜理論：它假設(shè)壁厚與直徑相比很小，薄殼象薄膜一樣只能承受拉應(yīng)力和壓應(yīng)力，完全不能承受彎矩和彎曲應(yīng)力。即在薄殼的內(nèi)力素中忽略彎矩，這種按無力矩理論所得到的應(yīng)力稱為薄膜應(yīng)力。它是設(shè)計壓力容器的基礎(chǔ)。 有力矩理論，也稱彎曲理論：認(rèn)為殼體雖然很薄，但仍有一定的厚度，有一定的剛度，因而殼體中除拉應(yīng)力和壓應(yīng)力外，還存在彎矩和彎曲應(yīng)力。,一、無力矩理論的基本方程 忽略內(nèi)力矩后的微小單元體受力圖。圖中 、 分別是沿經(jīng)線、法線方向單位面積上的軸對稱分布外力。,1. 沿小單元體法線方向力的平衡,(1)周向力 在平行圓方向的投影： 由圖4-

7、7（a）可見，在ad、bc面上作用有 ，它在平行圓方向的投影為 因為 是小角度，所以 。代入上式，得到 在平行圓上的投影為,在法線方向的投影（見圖4-7（b）為,(2)經(jīng)向力在法線方向的投影（見圖4-7（c）為 因 是小角度， 并略去高階微量，且應(yīng)用關(guān)系 得,(3)外載在法線方向的投影為 由 得 以上各項代入 ，并注意所有分力的方向，得 各項同除以 ，得 （4-5）,2. 沿小單元體徑線方向的力平衡,(1)周向力 在徑向方向的投影： 由圖4-7（b）可見，作用在ad、bc面上的力 沿平行圓半徑方向的合力為 。這個力在經(jīng)線方向即x軸方向的投影為,(2)經(jīng)向力 在徑向方向的投影： 由圖4-7（c）

8、 略去高階微量，且取 ，上式變?yōu)?(3)外載在徑向方向的投影： 以上各項代入 ，并注意所有分力的方向，得,（4-6）,方程兩邊各乘 ，并將式（4-1）代入，得 根據(jù)微分法，有,積分上式 （4-7） 式中C為積分常數(shù)，由邊界條件決定 . 若將上式各項乘以2，則 （4-8）,角的緯線圈上的全部沿旋轉(zhuǎn)軸方向的內(nèi)力合力,以上的全部外載荷沿旋轉(zhuǎn)軸方向的分量,集中載荷沿旋轉(zhuǎn)軸方向的分量,C=0,C=0,2C=-2bq,(4-8),(4-5),重要公式:,二、無力矩理論的應(yīng)用 受氣體壓力作用的殼體 氣體壓力垂直于殼壁表面，且處處相等。當(dāng)所受的氣體壓力為內(nèi)壓時，則 由式（4-8） 若殼體無集中載荷作用，則C=

9、0，而 ，則上式 成為 （4-9） 式（4-9）表明：無論殼體形狀如何，只要承受均勻內(nèi)壓，對于截出的部分殼體，其外載沿旋轉(zhuǎn)軸分量的總和等于壓力p和殼體投影面積 的乘積。,(4-3),將 代入式（4-9），可得： （4-10） 將式（4-10）代入式（4-5）得： （4-11） 由式（4-10）、式（4-11）可見，只要知道殼體的幾何尺寸 就能算出薄膜力 。進(jìn)而可以得到薄膜應(yīng)力： （4-12）,(4-1),1球形殼體,球殼的 ，,(4-13),2圓筒形殼體,圓筒殼的第一曲率半徑r1=， 第二曲率半徑 （4-14）,3圓錐形殼體 半錐角為，A點處半徑為r，壁厚為S，則在A點處： 代入式（4-12）

10、可得A點處的應(yīng)力： （4-15）,圓錐形殼體的環(huán)向應(yīng)力是經(jīng)向應(yīng)力的兩倍，與圓筒形殼體相同。,錐形殼體的應(yīng)力，隨半錐角的增大而增大；當(dāng)角很小時，其應(yīng)力值接近圓筒形殼體的應(yīng)力值。 所以在設(shè)計制造錐形容器時，角要選擇合適，不宜太大。 隨r改變，在錐形殼體大端處，應(yīng)力最大，在錐頂處，應(yīng)力為零。因此，一般在錐頂開孔。,4橢圓形殼體 橢圓殼的經(jīng)線為一橢圓，設(shè)其經(jīng)線方程為 a、b分別為橢圓的長短軸半徑。,第一曲率半徑為： 第二曲率半徑為 以為變量來表示第一和第二曲率半徑。,若令 （4-16） 則 因而 將此式代入式中，則 以為變量來表示的橢圓殼的曲率半徑為 （4-17） 將式（4-17）代入式（4-12），

11、可得應(yīng)力計算式,(4-18）,橢圓殼幾個特殊點的應(yīng)力： （1）橢圓殼頂點處（ ） 當(dāng) 代入式（4-18）得 （2）橢圓殼赤道處（ ） 當(dāng) （3）橢圓殼周向應(yīng)力 處 當(dāng) 則 可得：,在式中 ，由于 ，故只有當(dāng) 時，橢圓殼中才會出現(xiàn)周向應(yīng)力 的點。若 ，則橢圓殼中各處均為拉應(yīng)力。 當(dāng)橢圓殼的 時，橢圓殼的應(yīng)力分布,總結(jié)圖示應(yīng)力結(jié)果!,在橢圓殼的頂點應(yīng)力最大，經(jīng)向應(yīng)力與周向應(yīng)力相等。 當(dāng)m連續(xù)增加時，經(jīng)向應(yīng)力逐漸減小，但仍為拉應(yīng)力。當(dāng) 時，周向應(yīng)力不出現(xiàn)壓應(yīng)力.當(dāng) ，周向應(yīng)力由拉應(yīng)力變?yōu)?，繼續(xù)增大m 值，周向應(yīng)力則為壓應(yīng)力。 最大壓應(yīng)力在橢圓殼的赤道處，并當(dāng) 時，隨m的增大迅速增大。,5碟形殼 碟

12、形殼由兩部分構(gòu)成：以R為半徑的球面中的a-a、以r0為半徑的折邊區(qū)。在a點有公切線，r為碟形殼的半徑，h為碟形殼的高度。,當(dāng)取定碟形殼的半徑 r、殼高h(yuǎn)及球面部分的半徑R后，折邊部分的曲率半徑r0及球面部分的區(qū)域角 就可由上述幾何關(guān)系決定。 球面部分： 折邊部分： 代入式（4-12）,(4-20),若取 ， ，由幾何關(guān)系算出 ， ， 代入折邊區(qū)的應(yīng)力表達(dá)式（4-20）中 當(dāng) 時 當(dāng) 時,的碟形殼與 的橢圓殼在幾何形狀上相似，但二者的應(yīng)力則截然不同。碟形殼在公切點a處的應(yīng)力，按球面計算時，其周向應(yīng)力 ，若按折邊區(qū)計算，則 。,在同一點出現(xiàn)不同的應(yīng)力是不可能的，說明在殼體曲率有突變處，用無力矩理論

13、計算應(yīng)力是不合適的。,習(xí)題4-3, 4-5, 受液體壓力作用 液體的壓力垂直于殼壁（ ）， 各點的壓力值隨液體的深度而變， 為液體的壓力，g為重力加速度，h為距液面的深度。 在軸對稱條件下 代入式（4-5），可得 （4-21）,1直立圓筒殼 ， 在支座以上部分，無集中載荷作用，故C=0， 在支座以下部分，存在支座反力 ， 此即邊界上的集中載荷， 得：,球形殼體（具有裙式支座的球殼） 球殼沿 的平行圓支承，球殼的 ，殼內(nèi)充滿液體。在球殼任一點處，液柱高度為： 因此,液壓沿旋轉(zhuǎn)軸方向的分量總和為 在支座以上部分，無集中載荷，所以C=0。將以上結(jié)果代入式（4-21），并除以厚度得到應(yīng)力表達(dá)式為,在支

14、座以下部分有支座反力，其值為液體總重（略去殼壁的重力），其表達(dá)式為， 代入式（4-21），并除以厚度，得到支座以下部分的應(yīng)力表達(dá)式為,應(yīng)力沿殼高的變化 無論經(jīng)向應(yīng)力或周向應(yīng)力在支座處都發(fā)生突變。薄膜應(yīng)力發(fā)生突變，變形也必然突變，但實際上變形總是連續(xù)而互相協(xié)調(diào)的，因此在支座附近采用忽略內(nèi)力矩的無力矩理論是不相宜的。,三、無力矩理論的應(yīng)用范圍 忽略內(nèi)力矩的無力矩理論是一種只有拉壓應(yīng)力，沒有彎曲應(yīng)力的兩向應(yīng)力狀態(tài)，只有對沒有（或不大的）彎曲變形情況下的軸對稱回轉(zhuǎn)殼體，結(jié)論才是正確的。因此，它的適用范圍除滿足軸對稱薄壁條件外，還需滿足： 殼體的厚度無突變，曲率半徑是連續(xù)變化的； 殼體上不能有集中載荷或

15、突變的分布載荷； 殼體邊界不受法向力和力矩的作用； 殼體邊界上的法向位移和轉(zhuǎn)角不受限制。,習(xí)題4-1, 4-2, 4-6,旋轉(zhuǎn)薄殼的邊緣問題主要是分析聯(lián)接邊緣區(qū)的應(yīng)力和變形。 聯(lián)接邊緣是指殼體這一部分與那一部分相連的邊界，通常指聯(lián)接處的平行圓。 筒體與封頭、筒體與法蘭、不同材料或不同厚度的筒節(jié)、裙式支座與直立殼體的聯(lián)接處、殼體經(jīng)線曲率有突變，或載荷沿軸向有突變的聯(lián)接平行圓也應(yīng)視作聯(lián)接邊緣。,第三節(jié) 旋轉(zhuǎn)薄殼的邊緣問題,用無力矩理論計算平行圓增量，可得： 球形 筒體,可以看作是圓筒形殼體與球殼在受內(nèi)壓作用之后，出現(xiàn)了邊界分離，然后在邊緣力單位長度上沿和邊緣力矩作用下，使聯(lián)接邊緣保持連續(xù)的結(jié)果.,

16、二、圓筒形殼體的有力矩理論 主要內(nèi)力分量 為了保證聯(lián)接邊緣的變形連續(xù)，必定存在著邊緣力和邊緣力矩 ，它們沿聯(lián)接處的平行圓均勻分布，是作用于單位周長上的力和力矩。,在縱截面上情況則不同。由于彎矩 的作用使微體在X方向，上面縮短下面伸長。在圓周方向如果能自由變形，則由于橫向效應(yīng)的影響，上面將伸長下面將縮短。但圓周方向受到兩側(cè)殼體的限制，因此存在彎矩 。 此外，當(dāng)圓筒彎曲時，在被彎曲的局部區(qū)域，殼體中面的周長將發(fā)生變化。因此，縱截面上必然產(chǎn)生周向力 （拉力或壓力）。對于僅受邊緣力系作用的圓筒，由于不存在軸向的邊緣力，所以 。,圓筒彎曲微分方程 1平衡方程,滿足,滿足,滿足,滿足,由于 是小角度，所以

17、 。整理可得 （4-22） 對y軸取力矩平衡， 整理上式，并略去高階小量，得 （4-23）,2幾何方程 （1）中面的變形 由于軸對稱，圓殼中的微元體abcd變形后abcd。,經(jīng)線微元：變形前 ；變形后 經(jīng)向應(yīng)變?yōu)?緯線微元：變形前 ；變形后 周向應(yīng)變?yōu)?由于小變形，經(jīng)線的轉(zhuǎn)角可以用正切近似表示（圖4-22（c），即 經(jīng)線的曲率改變?yōu)?，由此中面變形為 （4-25）,正負(fù)定義,（2）離中面z處的變形 對于經(jīng)線：離中面z處的微元ef，變形前 ；變形后中面變?yōu)?，ef變?yōu)閑f,代入ef的表達(dá)式中，得： 故離中面z處的微元ef的經(jīng)向應(yīng)變?yōu)?在小變形的情況下，經(jīng)線的曲率改變 和法線位移（即撓度）w有如下

18、關(guān)系 代入上式，得：,對于緯線，離中面z處的微元eh， 變形前 ；變形后 ， 離中面z處的緯元eh的周向應(yīng)變?yōu)椋?故距中面z處微元的應(yīng)變表達(dá)式為：,3物理方程 在中面： 由于中面的 ，代入上式，可得 將式（4-25）代入，則. 在離中面為z處 將式（4-26）代入，并利用式（4-27），得,（4-27）,內(nèi)力、內(nèi)力矩是應(yīng)力沿截面厚度及應(yīng)力對中面軸力矩的總和， 將式（4-28）代入得 式中 稱做殼體的抗彎剛度。,（4-29）,4彎曲微分方程 為了得到只包含w一個未知量的方程式， 式（4-29） 平衡方程式（4-23）、式（4-24）， 將上式改寫為 式中 圓筒殼在邊緣力和邊緣彎距作用下的基本方程

19、,得 其中 為積分常數(shù)。,（4-30）,因為邊緣彎曲限于邊緣區(qū)，當(dāng)遠(yuǎn)離邊緣，即 ，撓度w將不可能出現(xiàn)無限值，而上式中當(dāng) 。因此， 則 （4-31） 當(dāng) 時， 將式（4-31）代入，得： 將C1、C2的表達(dá)式再代回式（4-31），得到以 、為未知數(shù)的撓度表達(dá)式 （4-32）,將式（4-32）對x連續(xù)求導(dǎo)，得各階導(dǎo)數(shù)如下： 將式（4-32）、式（4-33）代入式（4-29）和式（4-23）。得到由彎曲變形引起的內(nèi)力分量 將x=0代入式（4-32）及式（4-33）第一式中，得到圓筒殼在邊緣聯(lián)接處的轉(zhuǎn)角和平行圓方向增量,（4-33）,（4-35）,式中： 中面單位長度上的經(jīng)向力； 中面單位長度上的周向

20、力； 中面單位長度上的經(jīng)向彎矩； 中面單位長度上的周向彎矩； 中面單位長度上的橫向力 邊界上的第二曲率半徑； 以邊界為起點的經(jīng)向角。,三、一般旋轉(zhuǎn)殼體邊緣彎曲的應(yīng)力和變形表達(dá)式,在邊緣力和邊緣彎矩作用下，聯(lián)接邊緣處的轉(zhuǎn)角和平行圓方向的位移為 （4-37） 式中 為邊緣聯(lián)接處經(jīng)向薄膜力 在平行方向分量 （4-38） 對于位移，載荷使平行圓半徑增大為正，縮小為負(fù) 對于轉(zhuǎn)角，在旋轉(zhuǎn)體左側(cè)，使邊緣截面逆時針旋轉(zhuǎn)為正。,四、邊緣問題的求解 邊緣變形的連續(xù)性方程 變形連續(xù)性條件為 （4-39）,符號上標(biāo)*表示薄膜變形， 、 和 分別表示在邊緣力、邊緣力矩和邊緣聯(lián)接處經(jīng)向薄膜應(yīng)力在平行圓方向的分量產(chǎn)生的變形

21、。 若兩個殼體在聯(lián)接邊緣處有公切線，即 ，,（4-40）, 邊緣應(yīng)力的解 由變形連續(xù)性方程求得 和 后，即可求得殼體上任一點的內(nèi)力，進(jìn)而求得彎曲變形引起的軸向和周向應(yīng)力為 （4-41） 將彎曲解與薄膜解相迭加，得到邊緣區(qū)的總應(yīng)力 （4-42）,五、邊緣問題求解實例 圓筒形殼體與厚平板封頭聯(lián)接時的邊緣效應(yīng) 假定平板有足夠的剛性，根據(jù)變形連續(xù)的要求，圓筒在聯(lián)接處的撓度和轉(zhuǎn)角均為零，即： （4-43）,薄膜力在聯(lián)接處產(chǎn)生的變形和轉(zhuǎn)角分別為 邊緣力與邊緣力矩產(chǎn)生的變形和轉(zhuǎn)角為 將各種變形代入連續(xù)性方程，得到 （4-44） （4-45）,2邊緣區(qū)的應(yīng)力計算 將式（4-44）代入式（4-34），得到圓筒邊

22、緣區(qū)的內(nèi)力表達(dá)式 （4-46） 將式（4-46）代入式（4-41），得 （4-47）,取 ，并將 代入式（4-47），得 （4-48） 將式（4-48）代入式（4-42），得到總應(yīng)力 （4-49） 的數(shù)值比 、 兩者之和的數(shù)值大，說明邊緣彎曲對經(jīng)向影響大于周向，因而由邊緣彎曲引起的各個應(yīng)力分量中，起主要作用的是 。,是個衰減函數(shù)，隨著 的增加而迅速衰減。 當(dāng) 時，即距邊緣 ，已衰減大部分。對于鋼制圓筒，取 ，因此由邊緣力和邊緣力矩產(chǎn)生的邊緣應(yīng)力只局限于距離邊緣 （4-50） 的范圍內(nèi)。,3邊緣效應(yīng)引起的應(yīng)力集中系數(shù) 由于彎曲引起的應(yīng)力主要是軸向應(yīng)力，因此為了表明邊緣效應(yīng)的影響，常用邊緣地區(qū)最大軸向應(yīng)力與周向薄膜應(yīng)力的比值Kt來表示， 應(yīng)力集中系數(shù) 對于具有厚平板封頭的圓筒，