1、第 三 章 多元隨機(jī)變量及其分布,31 多元隨機(jī)變量與聯(lián)合分布 32 邊際分布 33 條件分布 34 隨機(jī)變量的獨(dú)立性 35 多元隨機(jī)變量函數(shù)的分布 36 二元正態(tài)分布,31 多維隨機(jī)變量與聯(lián)合分布,多元隨機(jī)變量 聯(lián)合分布 二元離散型隨機(jī)變量 二元連續(xù)型隨機(jī)變量,多元隨機(jī)變量,例如:打靶時(shí)的彈著點(diǎn)位置(X,Y)是一個(gè)二元隨機(jī)變量。每爐鋼的基本指標(biāo)硬度（X），含碳量(Y)，含硫量(Z),（X，Y，Z）是一個(gè)三元隨機(jī)變量。,聯(lián)合分布,定義:設(shè) ( X1，X2，Xn )為多元隨機(jī)變量，x1，x2，xn是n個(gè)任意的實(shí)數(shù)，則稱 F(x1，x2，xn ) =P(X1 x1 ，X2 x2 ，,Xn xn )

2、 為多元隨機(jī)變量（X1，X2，Xn）的聯(lián)合分布函數(shù)，簡(jiǎn)稱聯(lián)合分布或分布函數(shù)。 二元隨機(jī)變量分布函數(shù) 可以寫成F(x,y) , F(x,y)=P(Xx, Yy),分布函數(shù)F(x,y)在(x,y)處的函數(shù)值，就是(X, Y )落在內(nèi)的概率。,分布函數(shù)的性質(zhì),二元離散型隨機(jī)變量,如果二元隨機(jī)變量（X，Y）的所有可能取值是有限對(duì)或可列無(wú)限對(duì)時(shí)，則稱（X，Y）為離散型隨機(jī)變量。,稱xi,Y=yi同時(shí)發(fā)生的概率 為（，Y)的聯(lián)合概率函數(shù)或聯(lián)合分布律。,例：在五個(gè)產(chǎn)品中有兩個(gè)是正品，每次從中任取一個(gè)檢驗(yàn)其質(zhì)量，若不放回地連續(xù)抽取兩次，用Xk=0表示第k次取到正品，Xk=1表示第k次取到次品，k =1，2，

3、試寫出（X1，X2）的聯(lián)合分布律。 解：,同理,X1,二元連續(xù)型隨機(jī)變量,二元連續(xù)型隨機(jī)變量 設(shè)二元隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)F（x，y），如果存在非負(fù)函數(shù)f（x，y）使對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，有 則稱（，）是二元連續(xù)型隨機(jī)變量。函數(shù) f（x，y）稱為二元隨機(jī)變量（，）聯(lián)合分布密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱聯(lián)合密度或密度函數(shù)。,聯(lián)合密度的性質(zhì),例：設(shè)二元隨機(jī)變量的密度函數(shù)為,32 邊際分布,邊際分布 二元離散型隨機(jī)變量的邊際概率 與邊際分布 二元連續(xù)型隨機(jī)變量的邊際密度 與邊際分布,邊際分布,定義設(shè)F（x，y）是二元隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)，則稱,二元離散型隨機(jī)變量的邊際概率與邊際分布,聯(lián)合概率函數(shù) : X的

4、邊際概率 : Y的邊際概率 :,對(duì)二元離散型隨機(jī)變量（,），其邊際分布函數(shù)為,二元離散型隨機(jī)變量邊際分布列表,二元連續(xù)型隨機(jī)變量的邊際密度與邊際分布,隨機(jī)變量X的邊際分布密度(邊際密度) 設(shè) (X,Y)為二元連續(xù)型隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布密 為 f(x,y),則,例：設(shè)（X,Y)的聯(lián)合密度為,n元連續(xù)型隨機(jī)變量的邊際密度與邊際分布,n元隨機(jī)變量（X1，X2，,Xn）,任一分量Xi的邊際分布為,33 條件分布,設(shè)(X,Y)是二元離散型隨機(jī)變量。其聯(lián)合概率函數(shù)為,在已知xi條件下的條件概率,上述條件概率具有概率分布的特性,例:設(shè)二元隨即變量(X,Y)的聯(lián)合分布為,Y的條件分布函數(shù),連續(xù)型隨機(jī)變量的條件

5、分布,先考慮隨機(jī)變量取值于任意小區(qū)間上的條件概率，然后用極限方法處理。,事件 發(fā)生條件下，事件（y ) 的條件概率，為,隨機(jī)變量在已知x條件下的條件分布函數(shù)為,例：設(shè)（X,Y)的聯(lián)合密度為 解：,34 隨機(jī)變量的獨(dú)立性,設(shè)(X,Y)為二元隨機(jī)變量。x, y為二任意實(shí)數(shù),A表示事件(Xx)，B表示事件(Yy)，由A、B相互獨(dú)立的充要條件 P(AB)=P(A)P(B),可得到隨機(jī)變量相互獨(dú)立的充要條件為 P(X x，Y y)=P(X x)P(Y y) 即 F(x,y)=FX(x)FY(y),離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性,對(duì)于二元離散型隨機(jī)變量，X與Y相互獨(dú)立的充要條件等價(jià)于：對(duì) ( X , Y )的所有

6、可能取值(xi , yi)有,充分性：如果對(duì)一切i , j有,下面證必要性。,用反正法，不妨設(shè)x1x2，y1y2。設(shè)存在i , j,使得P(Xxi ,Y=yi )P(X=xi )P(Y=yi ),即pij pi . p. j 記i0和j0為使不等式成立的最小下標(biāo)，即pi0 j 0pi0 . p. j0 而對(duì)于所有的ii0或jj0都有pij pi . p. j,這與X與Y相互獨(dú)立相矛盾。,例：擲一枚硬幣和一顆骰子，以X表示硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù)，以Y表示骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則（ X ,Y ）的聯(lián)合概率函數(shù)為？ 解：,連續(xù)型隨機(jī)變量的獨(dú)立性,對(duì)于二元連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)，設(shè)其聯(lián)合分布密度為f(x,y)

7、,X與Y相互獨(dú)立的充要條件：,充分性：設(shè) f (xy)=f X(x)fY(y),則 必要性：設(shè)F（x,y）=FX (x)FY (y)，則,不難驗(yàn)證 若X與Y相互獨(dú)立，則對(duì)任意實(shí)數(shù)a b，c d有,設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度為,解：,n元隨機(jī)變量的獨(dú)立性,如果F( X1 , X2 , , Xn) = X1(x1)FX2(x2)FXn(xn) ，則X1 , X2 , , Xn相互獨(dú)立。 ( X1 , X2 , , Xn)是n元離散型隨機(jī)變量，等價(jià)于 P ( X1 = x1, X2 = x2, , Xn = xn) = P ( X1 = x1 ) P ( X2 = x2 ) P ( Xn = x

8、n ) ( X1 , X2 , , Xn)是n元連續(xù)型隨機(jī)變量，等價(jià)于 f (x1， x2 ， xn ) = f X1 (x1) f X2 (x2) f Xn (xn),兩個(gè)概念,設(shè)FX1 (x1) FX2 (x2) FXn (xn)是隨機(jī)變量X1 ,X2 , , Xn的分布函數(shù)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有 FX1 (x1)= FX2 (x2)= =FXn (xn)= F(x) 則稱X1 ,X2 , , Xn是同分布的隨機(jī)變量。 若X1 ,X2 , , Xn還是相互獨(dú)立的，則稱他們是獨(dú) 立同分布的。此時(shí) 設(shè)( X1 , X2 , , Xn)是n元隨機(jī)變量，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x , y，有F(Xi x , X

9、j y)=FXi(x)FXj(y) ij 則稱X1 , X2 , , Xn是兩兩獨(dú)立的。,特別說明,若n個(gè)隨機(jī)變量X1 ,X2 , , Xn相互獨(dú)立，則其中任意m(n)個(gè)隨機(jī)變量也是相互獨(dú)立的。 證明：對(duì)前m個(gè)隨機(jī)變量X1 ,X2 , , Xm進(jìn)行證明。 X1 ,X2 , , Xn相互獨(dú)立 兩兩獨(dú)立 兩兩獨(dú)立 X1 ,X2 , , Xn相互獨(dú)立,若X1，X2，Xn為n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，Y1=g1(X1),Y2=g2(X2) , , Yn =gn(Xn)是n個(gè)單值連續(xù)函數(shù)，則Y1 ,Y2 , , Yn也相互獨(dú)立。,于是，,記Di=xi; gi (xi) yi,則事件gi(xi)yi等價(jià)于事件

10、XiDi,i=1,2,n.,35 多元隨機(jī)變量函數(shù)的分布,離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布,離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布,設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，它們的分布列為,求Z=X +Y的分布列,連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布,和的分布 差的分布 積的分布 商的分布,和 的 分 布,設(shè)二元隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度是f(x,y)，求Z=X+Y的分布密度。 先求Z=X+Y的分布函數(shù),例：設(shè)X與Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們都具有標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布，即 求ZXY的概率密度。 解：,即Z具有N(0,2)分布。,差 的 分 布,設(shè)二元隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合密 ， 求Z=X-Y的分布密度。,先求Z=X

11、-Y的分布函數(shù),所以，,其中， 于是,例：設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）具有密度函數(shù) 試求Z=X-Y的分布函數(shù)和分布密度。 解：如圖所示，（X,Y）的聯(lián)合密度 在圖中OAB內(nèi)有非零值。 先求分布函數(shù),積 的 分 布,設(shè)二元隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合密度是 ， 求Z=XY的分布密度。,解：先求Z=XY的分布函數(shù),當(dāng) ，,所以,當(dāng)z0時(shí)，同理可得上式。,例：設(shè)二元隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度為,試求Z=XY的分布密度,解：,商 的 分 布,設(shè)二元隨機(jī)變量(X，Y)的聯(lián)合密度是 , 求Z=X/Y的分布密度。,解：先求Z=X/Y的分布函數(shù),其中,對(duì) z0 有,對(duì)z0,同理可得上式。,所以,例：設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互

12、獨(dú)立，且都在區(qū)間0,a上服從均勻分布，求 的分布密度。,解：X與Y的分布密度分布是,設(shè)Z的取值為z,則 。,按題意z 0，因此當(dāng)z0時(shí)，fZ(z)=0,下面討論在水文統(tǒng)計(jì)中常用的4個(gè)分布,分布,t分布,F分布,極值分布,若,則稱隨機(jī)變量 的分布為具有自由度n的 分布。記為 。,若,則對(duì)任意,均有,分 布,由 分布的可加性，利用和的分布公式及數(shù)學(xué)歸納法，不難證明, 密度函數(shù)為：,t 分 布,F 分 布,極 值 分 布,設(shè)X1 ,X2 , , Xn是n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且具有相同的分布密度f(wàn) (x)和分布函數(shù)F(x)，設(shè) M=max(X1 ,X2 , , Xn) FM (x) =P(Mx)=P

13、(X1 x, X2 x, , Xn x) =P(X1 x ) P( X2 x ) P( Xn x) = F (x) F (x) F (x)= F (x)n M的密度函數(shù)為 fM (x)= F/M (x) =nF (x)n-1 f (x),極 值 分 布,設(shè)X1 ,X2 , , Xn是n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且具有相同的分布密度f(wàn) (x)和分布函數(shù)F(x)， 設(shè) L=min(X1 ,X2 , , Xn),n元隨機(jī)變量向量函數(shù)的分布,當(dāng)mn1時(shí)，就是一元隨機(jī)變量函數(shù)的情況；當(dāng)n1時(shí)， 就是n元隨機(jī)變量標(biāo)量函數(shù)的情況。,下面討論mn的情況,但需指出兩點(diǎn)： 第一，若反函數(shù)不唯一，如由k個(gè)反函數(shù)則 第二

14、，如果只有m(n)個(gè)函數(shù)，則可補(bǔ)充定義nm個(gè)函數(shù)，再利用前面的公式計(jì)算，然后利用邊際分布和聯(lián)合分布的關(guān)系，可得到 Y=(Y1,Y2,，Ym)的密度函數(shù)。,例：設(shè)(x1,x2)的分布密度為 試求Y(Y1,Y2)的分布密度f(wàn)y( y1,y2) 解：由 解得反函數(shù),3 二 元 正 態(tài) 分 布,邊際分布,條件分布,聯(lián)合密度,設(shè)（X,Y）的密度函數(shù)如下,則稱（，）服從二元正態(tài)分布，其中，,聯(lián)合密度函數(shù),邊 際 分 布,的邊際密度為,因?yàn)?令,則,于是,所以,同理得,條 件 分 布,二元正態(tài)分布中Y關(guān)于X的條件密度為,即,同理可得,本章小結(jié),上章介紹了一元隨機(jī)變量,本章介紹多元隨機(jī)變量,著重討論了二元隨機(jī)變量。本章有許多基本概念與上章十分類似, 因此 ,在學(xué)習(xí)本章時(shí),應(yīng)注意與上章相關(guān)內(nèi)容作對(duì)照比較,以便加深理解。,二元隨機(jī)變量可以看作是平面(二維空間)上的“隨機(jī)點(diǎn)”,三元隨機(jī)