1、3.1.2 用二分法求方程的近似解整體設(shè)計教學(xué)分析求方程的解是常見的數(shù)學(xué)問題，這之前我們學(xué)過解一元一次、一元二次方程，但有些方程求精確解較難.本節(jié)從另一個角度來求方程的近似解，這是一種嶄新的思維方式，在現(xiàn)實生活中也有著廣泛的應(yīng)用.用二分法求方程近似解的特點是：運算量大，且重復(fù)相同的步驟，因此適合用計算器或計算機進行運算.在教學(xué)過程中要讓學(xué)生體會到人類在方程求解中的不斷進步.三維目標(biāo)1.讓學(xué)生學(xué)會用二分法求方程的近似解，知道二分法是科學(xué)的數(shù)學(xué)方法.2.了解用二分法求方程的近似解特點，學(xué)會用計算器或計算機求方程的近似解，初步了解算法思想.3.回憶解方程的歷史，了解人類解方程的進步歷程，激發(fā)學(xué)習(xí)的熱

2、情和學(xué)習(xí)的興趣.重點難點用二分法求方程的近似解.課時安排1課時教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路1.(情景導(dǎo)入)師：(手拿一款手機)如果讓你來猜這件商品的價格，你如何猜？生1：先初步估算一個價格，如果高了再每隔10元降低報價.生2：這樣太慢了，先初步估算一個價格，如果高了每隔100元降低報價.如果低了，每50元上升；如果再高了，每隔20元降低報價；如果低了，每隔10元上升報價生3：先初步估算一個價格，如果高了，再報一個價格；如果低了，就報兩個價格和的一半；如果高了，再把報的低價與一半價相加再求其半，報出價格；如果低了，就把剛剛報出的價格與前面的價格結(jié)合起來取其和的半價師：在現(xiàn)實生活中我們也常常利用這種方法.

3、譬如，一天，我們?nèi)A莊校區(qū)與錫南校區(qū)的線路出了故障，(相距大約3 500米)電工是怎樣檢測的呢？是按照生1那樣每隔10米或者按照生2那樣每隔100米來檢測,還是按照生3那樣來檢測呢？生：(齊答)按照生3那樣來檢測.師：生3的回答，我們可以用一個動態(tài)過程來展示一下(展示多媒體課件，區(qū)間逼近法).思路2.(事例導(dǎo)入)有12個小球，質(zhì)量均勻，只有一個球是比別的球重，你用天平稱幾次可以找出這個球，要求次數(shù)越少越好.(讓同學(xué)們自由發(fā)言，找出最好的辦法)解：第一次，兩端各放六個球，低的那一端一定有重球.第二次，兩端各放三個球，低的那一端一定有重球.第三次，兩端各放一個球，如果平衡，剩下的就是重球，否則，低的

4、就是重球.其實這就是一種二分法的思想，那什么叫二分法呢？推進新課新知探究提出問題解方程2x-16=0.解方程x2-x-2=0.解方程x3-2x2-x+2=0.解方程(x2-2)(x2-3x+2)=0.我們知道，函數(shù)f(x)=lnx+2x-6在區(qū)間(2，3)內(nèi)有零點.進一步的問題是，如何找出這個零點的近似值？“取中點”后，怎樣判斷所在零點的區(qū)間?什么叫二分法?試求函數(shù)f(x)=lnx+2x-6在區(qū)間(2，3)內(nèi)零點的近似值.總結(jié)用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟.思考用二分法求函數(shù)零點近似值的特點.討論結(jié)果：x=8.x=-1,x=2.x=-1,x=1,x=2.x=,x=,x=1,x=2.如果能夠?qū)⒘?/p>

5、點所在的范圍盡量縮小，那么在一定精確度的要求下，我們可以得到零點的近似值.為了方便，我們通過“取中點”的方法逐步縮小零點所在的范圍.“取中點”,一般地,我們把x=稱為區(qū)間(a,b)的中點比如取區(qū)間(2，3)的中點2.5,用計算器算得f(2.5)0,因為f(2.5)f(3)0,所以零點在區(qū)間(2.5,3)內(nèi).對于在區(qū)間a,b上連續(xù)不斷且f(a)f(b)0的函數(shù)y=f(x)，通過不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫二分法(bisection).因為函數(shù)f(x)=lnx+2x-6，用計算器或計算機作出函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的對應(yīng)值表.

6、x123456789f(x)-4-1.3061.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972由表可知，f(2)0,則f(2)f(3)0，這說明f(x)在區(qū)間內(nèi)有零點x0，取區(qū)間(2，3)的中點x1=2.5,用計算器算得f(2.5)-0.084，因為f(2.5)f(3)0，所以x0(2.5,3).同理,可得表(下表)與圖象(如圖3-1-2-1).區(qū)間中點的值中點函數(shù)的近似值(2，3)2.5-0.084(2.5,3)2.750.512(2.5,2.75)2.6250.215(2.5,2.625)2.56250.066(2.5,2.5625)2.53-1-2-

7、5-0.009(2.53-1-2-5,2.5625)2.0.029(2.53-1-2-5,2.)2.0.010(2.53-1-2-5,2.)2.0.001圖3-1-2-1由于(2,3)(2.5,3)(2.5,2.75),所以零點所在的范圍確實越來越小了.如果重復(fù)上述步驟，那么零點所在的范圍會越來越小(見上表).這樣，在一定的精確度下，我們可以在有限次重復(fù)相同步驟后，將所得的零點所在區(qū)間內(nèi)的任意一點作為函數(shù)零點的近似值.特別地，可以將區(qū)間端點作為函數(shù)零點的近似值.例如，當(dāng)精確度為0.01時，由于|2.-2.53-1-2-5|=0.0.01，所以，我們可以將x=2.53-1-2-5作為函數(shù)f(x)

8、=lnx+2x-6零點的近似值.給定精度，用二分法求函數(shù)f(x)的零點近似值的步驟如下：1確定區(qū)間a,b，驗證f(a)f(b)0，給定精度.2求區(qū)間(a,b)的中點c.3計算f(c):a.若f(c)=0，則c就是函數(shù)的零點；b.若f(a)f(c)0，則令b=c此時零點x0(a,c)；c.若f(c)f(b)0，則令a=c此時零點x0(c,b).4判斷是否達到精度；即若|a-b|，則得到零點值a(或b)；否則重復(fù)步驟24由函數(shù)的零點與相應(yīng)方程的關(guān)系，我們可用二分法來求方程的近似解.由于計算量較大，而且是重復(fù)相同的步驟，因此，我們可以通過設(shè)計一定的計算程序，借助計算器或計算機完成計算.應(yīng)用示例思路1

9、例1借助計算器或計算機用二分法求方程2x+3x=7的近似解(精確度為0.1).活動：師生共同探討交流，引出借助函數(shù)f(x)=2x+3x-7的圖象，能夠縮小根所在區(qū)間，并根據(jù)f(1)0,可得出根所在區(qū)間(1,2)；引發(fā)學(xué)生思考，如何進一步有效縮小根所在的區(qū)間；共同探討各種方法，引導(dǎo)學(xué)生探尋出通過不斷對分區(qū)間，有助于問題的解決；用圖例演示根所在區(qū)間不斷被縮小的過程，加深學(xué)生對上述方法的理解；引發(fā)學(xué)生思考在有效縮小根所在區(qū)間時，到什么時候才能達到所要求的精確度.學(xué)生簡述上述求方程近似解的過程.解：原方程即2x+3x-7=0,令f(x)=2x+3x-7,用計算器或計算機做出函數(shù)f(x)=2x+3x-7

10、的對應(yīng)值表與圖象(3-1-2-2).x012345678f(x)-6-2310214075142273圖3-1-2-2觀察圖表可知f(1)f(2)0,說明這個函數(shù)在區(qū)間(1，2)內(nèi)有零點x0.取區(qū)間(1，2)的中點x=1.5,用計算器算得f(1.5)0.33.因為f(1)f(1.5)0,所以x0(1,1.5).再取區(qū)間(1，1.5)的中點x=1.25,用計算器算得f(1.25)-0.87.因為f(1.25)f(1.5)0,所以x0(1.25,1.5).同理,可得，x0(1.375,1.5)，x0(1.375,1.4375).由于|1.375-1.437 5|=0.06250.1,所以，原方程的

11、近似解可取為1.4375.例2利用計算器，求方程x2-2x-1=0的一個近似解(精確度0.1)活動：教師幫助學(xué)生分析:畫出函數(shù)f(x)=x2-2x-1的圖象，如圖3-1-2-3所示.從圖象上可以發(fā)現(xiàn)，方程x2-2x-1=0的一個根x1在區(qū)間(2，3)內(nèi)，另一個根x2在區(qū)間(-1，0)內(nèi).根據(jù)圖象，我們發(fā)現(xiàn)f(2)=-10，這表明此函數(shù)圖象在區(qū)間(2，3)上穿過x軸一次，即方程f(x)=0在區(qū)間(2，3)上有唯一解.圖3-1-2-3計算得f()=0，發(fā)現(xiàn)x1(2，2.5)(如圖3-1-2-3)，這樣可以進一步縮小x1所在的區(qū)間.解：設(shè)f(x)=x2-2x-1，先畫出函數(shù)圖象的簡圖，如圖3-1-2

12、-3.因為f(2)=-10，所以在區(qū)間(2，3)內(nèi)，方程x2-2x-1=0有一解，記為x1.取2與3的平均數(shù)2.5，因為f(2.5)=0.250，所以2x12.5.再取2與2.5的平均數(shù)2.25，因為f(2.25)=-0.437 50，所以2.25x12.5.如此繼續(xù)下去，得f(2)0x1(2,3),f(2)0x1(2,2.5),f(2.25)0x1(2.25,2.5),f(2.375)0x1(2.375,2.5),f(2.375)0x1(2.375,2.437 5).因為2.375與2.437 5精確到0.1的近似值都為2.4，所以此方程的近似解為x12.4.點評：利用同樣的方法，還可以求出

13、方程的另一個近似解.思路2例1利用計算器，求方程lgx=3-x的近似解(精確度0.1).活動：學(xué)生先思考或討論后再回答，教師點撥、提示并及時評價學(xué)生.分別畫出y=lgx和y=3-x的圖象，如圖3124所示.在兩個函數(shù)圖象的交點處，函數(shù)值相等.因此，這個點的橫坐標(biāo)就是方程lgx=3-x的解.由函數(shù)y=lgx與y=3-x的圖象可以發(fā)現(xiàn)，方程lgx=3-x有唯一解，記為x1，并且這個解在區(qū)間(2，3)內(nèi).圖3-1-2-4解：設(shè)f(x)=lgx+x-3，設(shè)x1為函數(shù)的零點即方程lgx=3-x的解.用計算器計算，得f(2)0x1(2,3)，f(2.5)0x1(2.5,3)，f(2.5)0x1(2.5,2

14、.75)，f(2.5)0x1(2.5,2.625)，f(2.562 5)0x1(2.562 5,2.625).因為2.562 5與2.625精確到0.1的近似值都為2.6，所以原方程的近似解為x12.6.例2求方程lnx-2x+3=0在區(qū)間1,2內(nèi)的根(精確度0.1).解：設(shè)f(x)=lnx-2x+3,則原方程的根為函數(shù)f(x)的零點.設(shè)x1為函數(shù)的零點即方程lnx-2x+3=0的解.如圖3-1-2-5,因為f(1)=1,f(2)=-0.306 852 819,所以f(1)f(2)0,f(1.812 5)=-0.030 292 8920,所以x1(1.75,1.812 5).由于|1.812

15、5-1.75|=0.062 50.1,所以區(qū)間(1.75,1.812 5)內(nèi)的每一個實數(shù)都可以作為方程lnx-2x+3=0在區(qū)間1,2內(nèi)的根.點評：先設(shè)出方程對應(yīng)的函數(shù)，畫出函數(shù)的圖象，初步確定解所在的區(qū)間,再用二分法求方程近似解.二分法,即逐漸逼近的方法.計算量較大，而且是重復(fù)相同的步驟，借助計算器或計算機完成計算比較容易.知能訓(xùn)練1.根據(jù)下表中的數(shù)據(jù)，可以斷定方程ex-x-2=0的一個根所在的區(qū)間為( )x-10123ex0.3712.277.3920.0x+212345A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)2.用二分法判斷方程2x=x2的根的個數(shù)為( )A.1

16、B.2 C.3 D.4答案:1.C.設(shè)f(x)=ex-x-2,f(1)0,即f(1)f(2)0,f(1.5)=-2.8750,所以f(x)=-x3-3x+5在區(qū)間(1,1.5)上有一個零點.又因為f(x)是(-,+)上的減函數(shù)，所以f(x)=-x3-3x+5在區(qū)間(1,1.5)上有且只有一個零點.(2)作出函數(shù)圖象(圖3-1-2-8(2),因為f(3)0,所以f(x)=2xln(x-2)-3在區(qū)間(3,4)上有一個零點.又因為f(x)=2xln(x-2)-3在(2,+)上是增函數(shù),所以f(x)在(3,4)上有且僅有一個零點.(3)作出函數(shù)圖象(圖3-1-2-8(3),因為f(0)0,所以f(x

17、)=ex-1+4x-4在區(qū)間(0,1)上有一個零點.又因為f(x)=ex-1+4x-4在(-,+)上是增函數(shù),所以f(x)在(0,1)上有且僅有一個零點.(4)作出函數(shù)圖象(圖3-1-2-8(4),因為f(-4)0,f(-2)0,f(2)0,所以f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x在(-4,-3),(-3,-2),(2,3)上各有一個零點.圖3-1-2-8(課本第91頁練習(xí))1.由題設(shè)可知f(0)=-1.40,于是f(0)f(1)0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)有一個零點x0.下面用二分法求函數(shù)f(x)=x3+1.1x2+0.9x-1.4在區(qū)間(0，1)內(nèi)的零點.取區(qū)間(0，1

18、)的中點x1=0.5,用計算器可算得f(0.5)=-0.55.因為f(0.5)f(1)0,所以x0(0.5,1).再取區(qū)間(0.5，1)的中點x2=0.75,用計算器可算得f(0.75)0.32.因為f(0.5)f(0.75)0,所以x0(0.5,0.75).同理,可得x0(0.625,0.75)，x0(0.625,0.687 5)，x0(0.656 25,0.687 5).由于|0.687 5-0.656 25|=0.031 250.1,所以原方程的近似解可取為0.656 25.2.原方程可化為x+lgx-3=0,令f(x)=x+lgx-3,用計算器可算得f(2)-0.70,f(3)0.48

19、.于是f(2)f(3)0,所以這個方程在區(qū)間(2,3)內(nèi)有一個解x0.下面用二分法求方程x=3-lgx在區(qū)間(2,3)的近似解.取區(qū)間(2,3)的中點x1=2.5,用計算器可算得f(2.5)-0.10.因為f(2.5)f(3)0,所以x0(2.5,3).再取區(qū)間(2.5,3)的中點x2=2.75,用計算器可算得f(2.75)0.19.因為f(2.5)f(2.75)0,所以x0(2.5,2.75).同理,可得x0(2.5,2.625),x0(2.562 5,2.625),x0(2.562 5,2.593 75),x0(2.578 125,2.593 75),x0(2.585 937 5,2.59

20、 375).由于|2.585 937 5-2.593 75|=0.007 812 50.01,所以原方程的近似解可取為2.593 75.(課本第92頁習(xí)題3.1)A組1.A,C點評：需了解二分法求函數(shù)的近似零點的條件.2.由x,f(x)的對應(yīng)值表可得f(2)f(3)0,f(3)f(4)0,f(4)f(5)0,又根據(jù)“如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且f(a)f(b)0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點.”可知函數(shù)f(x)分別在區(qū)間(2，3)，(3，4)，(4，5)內(nèi)有零點.3.原方程即(x+1)(x-2)(x-3)-1=0,令f(x)=(x+1)(x

21、-2)(x-3)-1,可算得f(-1)=-1,f(0)=5.于是f(-1)f(0)0,所以這個方程在區(qū)間(-1,0)內(nèi)有一個解.下面用二分法求方程(x+1)(x-2)(x-3)=1在區(qū)間(-1，0)內(nèi)的近似解.取區(qū)間(-1，0)的中點x1=-0.5,用計算器可算得f(-0.5)=3.375.因為f(-1)f(-0.5)0,所以x0(-1,-0.5).再取(-1，-0.5)的中點x2=-0.75,用計算器可算得f(-0.75)1.58.因為f(-1)f(-0.75)0,所以x0(-1,-0.75).同理,可得x0(-1,-0.875)，x0(-0.937 5,-0.875).由于|(-0.875

22、)-(-0.937 5)|=0.062 50.1,所以原方程的近似解可取為-0.937 5.4.原方程即0.8x-1-lnx=0,令f(x)=0.8x-1-lnx,f(0)沒有意義，用計算器算得f(0.5)0.59,f(1)=-0.2.于是f(0.5)f(1)0,所以這個方程在區(qū)間(0.5,1)內(nèi)有一個解.下面用二分法求方程0.8x-1=lnx在區(qū)間(0，1)內(nèi)的近似解.取區(qū)間(0.5，1)的中點x1=0.75,用計算器可算得f(0.75)0.13.因為f(0.75)f(1)0,所以x0(0.75,1).再取(0.75,1)的中點x2=0.875,用計算器可算得f(0.875)-0.04.因為

23、f(0.875)f(0.75)0,所以x0(0.75,0.875).同理,可得x0(0.812 5,0.875)，x0(0.812 5,0.843 75).由于|0.812 5-0.843 75|=0.031 250.1,所以原方程的近似解可取為0.843 75.5.由題設(shè)有f(2)-0.310,于是f(2)f(3)0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(2，3)內(nèi)有一個零點.下面用二分法求函數(shù)f(x)=lnx在區(qū)間(2，3)內(nèi)的近似解.取區(qū)間(2，3)的中點x1=2.5,用計算器可算得f(2.5)0.12.因為f(2)f(2.5)0,所以x0(2,2.5).再取(2，2.5)的中點x2=2.25,用計算

24、器可算得f(2.25)-0.08.因為f(2.25)f(2.5)0,所以x0(2.25,2.5).同理,可得x0(2.25,2.375)，x0(2.312 5,2.375),x0(2.343 75,2.375),x0(2.343 75,2.359 375),x0(2.343 75,2.351 562 5),x0(2.343 75,2.347 656 25).由于|2.343 75-2.347 656 25|=0.003 906 250.01,所以原方程的近似解可取為2.347 656 25.B組1.將系數(shù)代入求根公式x=,得x=,所以方程的兩個解分別為x1=,x2=.下面用二分法求方程的近似解

25、.取區(qū)間(1.775,1.8)和(-0.3,-0.275),令f(x)=2x2-3x-1.在區(qū)間(1.775,1.8)內(nèi)用計算器可算得f(1.775)=-0.023 75,f(1.8)=0.08.于是f(1.775)f(1.8)0.所以這個方程在區(qū)間(1.775,1.8)內(nèi)有一個解.由于|1.8-1.775|=0.0250.1,所以原方程在區(qū)間(1.775,1.8)內(nèi)的近似解可取為1.8.同理,可得方程在區(qū)間(-0.3,-0.275)內(nèi)的近似解可取為-0.275.所以方程精確到0.1的近似解分別是1.8和-0.3.2.原方程即x3-6x2-3x+5=0,令f(x)=x3-6x2-3x+5,函數(shù)圖象如下圖所示.圖3-1-2-