1、排隊論,排隊論,引言 生滅過程和Poisson過程 M/M/s等待制排隊模型,第一節(jié) 引言,一、排隊系統(tǒng)的特征及排隊論,排隊論(Queuing Theory)，又稱隨機服務(wù)系統(tǒng)理論 (Random Service System Theory),是一門研究擁擠 現(xiàn)象(排隊、等待)的科學(xué)。具體地說，它是在研究各 種排隊系統(tǒng)概率規(guī)律性的基礎(chǔ)上，解決相應(yīng)排隊系統(tǒng) 的最優(yōu)設(shè)計和最優(yōu)控制問題。,排隊是我們在日常生活和生產(chǎn)中經(jīng)常遇到的現(xiàn)象。例如，上、下班搭乘公共汽車；顧客到商店購買物品；病員到醫(yī)院看病；旅客到售票處購買車票；學(xué)生去食堂就餐等就常常出現(xiàn)排隊和等待現(xiàn)象。,除了上述有形的排隊之外，還有大量的所謂“

2、無形”排隊現(xiàn)象，如幾個顧客打電話到出租汽車站要求派車，如果出租汽車站無足夠車輛、則部分顧客只得在各自的要車處等待，他們分散在不同地方，卻形成了一個無形隊列在等待派車。,排隊的不一定是人，也可以是物：,例如，通訊衛(wèi)星與地面若干待傳遞的信息；生產(chǎn)線上的原料、半成品等待加工；因故障停止運轉(zhuǎn)的機器等待工人修理；碼頭的船只等待裝卸貨物；要降落的飛機因跑道不空而在空中盤旋等等。,顯然，上述各種問題雖互不相同，但卻都有要求得到某種服務(wù)的人或物和提供服務(wù)的人或機構(gòu)。,排隊論里把要求服務(wù)的對象統(tǒng)稱為“顧客”,而把提供服務(wù)的人或機構(gòu)稱為“服務(wù)員”或“服務(wù)機構(gòu)”。,實際的排隊系統(tǒng)可以千差萬別，但都可以一般地描述如下

3、：,顧客為了得到某種服務(wù)而到達系統(tǒng)、若不能立即獲得服務(wù)而又允許排隊等待，則加入等待隊伍，待獲得服務(wù)后離開系統(tǒng)，見圖10-1至10-4,圖10-1 單服務(wù)臺排隊系統(tǒng),圖10-2 單隊列S個服務(wù)臺并聯(lián)的排隊系統(tǒng),圖10-3 S個隊列S個服務(wù)臺的并聯(lián)排隊系統(tǒng),圖10-4 單隊多個服務(wù)臺的串聯(lián)排隊系統(tǒng),類似地還可畫出許多其他形式的排隊系統(tǒng)，如串并混聯(lián)的系統(tǒng)，網(wǎng)絡(luò)排隊系統(tǒng)等,盡管各種排隊系統(tǒng)的具體形式不同，但都可以由圖10-5加以描述,圖10-5 隨機服務(wù)系統(tǒng),通常稱上圖表示的系統(tǒng)為一隨機聚散服務(wù)系統(tǒng)，任一排隊系統(tǒng)都是一個隨機聚散服務(wù)系統(tǒng)。 這里，“聚”表示顧客的到達，“散”表示顧客的離去。,所謂隨機性

4、則是排隊系統(tǒng)的一個普遍特點，是指顧客的到達情況(如相繼到達時間間隔)與每個顧客接受服務(wù)的時間往往是事先無法確切知道的，或者說是隨機的。,一般來說，排隊論所研究的排隊系統(tǒng)中，顧客到來的時刻和服務(wù)臺提供服務(wù)的時間長短都是隨機的，因此這樣的服務(wù)系統(tǒng)被稱為隨機服務(wù)系統(tǒng),小結(jié),排隊系統(tǒng)又稱隨機服務(wù)系統(tǒng) 有請求服務(wù)的人或物； 有為顧客服務(wù)的人或物； 顧客到達時間與接受服務(wù)時間是隨機的。 結(jié)構(gòu)： 顧客到達 - 排隊 - 服務(wù)機構(gòu)服務(wù) - 顧客離去,二、排隊系統(tǒng)的描述,實際中的排隊系統(tǒng)各有不同，但概括起來都由三個基本部分組成：,1 輸入過程； 2 排隊及排隊規(guī)則 3 服務(wù)機制,1輸入過程 這是指要求服務(wù)的顧客

5、是按怎樣的規(guī)律到達排隊系統(tǒng)的過程，有時也把它稱為顧客流 一般可以從3個方面來描述一個輸入過程。,(1)顧客總體數(shù) 又稱顧客源、輸入源。這是指顧客的來源。顧客源可以是有限的，也可以是無限的。 例如，到售票處購票的顧客總數(shù)可以認為是無限的，而車間內(nèi)停機待修得機器顯然是有限的。,(2)顧客到達方式 這是描述顧客是怎樣來到系統(tǒng)的，他們是單個到達，還是成批到達。 病人到醫(yī)院看病是顧客單個到達的例子。在庫存問題中如將生產(chǎn)器材進貨或產(chǎn)品入庫看作是顧客，那么這種顧客則是成批到達的。,(3)顧客流的概率分布，或稱相繼顧客到達的時間間隔的分布。 這是求解排隊系統(tǒng)有關(guān)運行指標(biāo)問題時，首先需要確定的指標(biāo)。這也可以理解

6、為在一定的時間間隔內(nèi)到達K個顧客(K=1、2、)的概率是多大。 顧客流的概率分布一般有定長分布、二項分布、泊松流(最簡單流)、愛爾朗分布等若干種。,2排隊及排隊規(guī)則,排隊 排隊分為有限排隊和無限排隊兩類。 有限排隊是指排隊系統(tǒng)中的顧客數(shù)是有限的，即系統(tǒng)的空 間是有限的，當(dāng)系統(tǒng)被被占滿時，后面再來的顧客將不能 進入系統(tǒng)； 無限排隊是指系統(tǒng)中顧客數(shù)可以是無限的，隊列可以排到 無限長，顧客到達系統(tǒng)后均可進入系統(tǒng)排隊或接受服務(wù)， 這類系統(tǒng)又稱為等待制排隊系統(tǒng)。,有限排隊系統(tǒng),損失制排隊系統(tǒng),混合制排隊系統(tǒng),（排隊空間為0的系統(tǒng)）,（允許排隊，但又不允許隊列無限長）,這是指如果顧客到達排隊系統(tǒng)時，所有服

7、務(wù)臺都已被先來的顧客占用，那么他們就自動離開系統(tǒng)永不再來。典型例子是，如電話拔號后出現(xiàn)忙音，顧客不愿等待而自動掛斷電話，如要再打，就需重新拔號，這種服務(wù)規(guī)則即為損失制。,損失制排隊系統(tǒng),（排隊空間為0的系統(tǒng)）,混合制排隊系統(tǒng) 這是等待制與損失制相結(jié)合的一種服務(wù)規(guī)則，一般是指允許排隊，但又不允許隊列無限長下去。具體說來，大致有三種：, 隊長有限。當(dāng)排隊等待服務(wù)的顧客人數(shù)超過規(guī)定數(shù)量時，后來的顧客就自動離去，另求服務(wù)，即系統(tǒng)的等待空間是有限的。 如旅館的床位是有限的。, 等待時間有限。即顧客在系統(tǒng)中的等待時間不超過某一給定的長度T，當(dāng)?shù)却龝r間超過T 時，顧客將自動離去，并不再回來。 如顧客到飯館就

8、餐，等了一定時間后不愿再等而自動離去另找飯店用餐。,（允許排隊，但又不允許隊列無限長）, 逗留時間(等待時間與服務(wù)時間之和)有限。例如用高射炮射擊敵機，當(dāng)敵機飛越高射炮射擊有效區(qū)域的時間為t 時，若在這個時間內(nèi)未被擊落，也就不可能再被擊落了。,不難注意到，損失制和等待制可看成是混合制的特殊情形，如記s為系統(tǒng)中服務(wù)臺的個數(shù)，則當(dāng)K=s時，混合制即成為損失制；當(dāng)K=時，混合制即成為等待制。(K為系統(tǒng)中可容納的顧客數(shù)),(2)排隊規(guī)則 當(dāng)顧客到達時，若所有服務(wù)臺都被占用且又允許排隊，則該顧客將進入隊列等待。例如，排隊等待售票，故障設(shè)備等待維修等。服務(wù)臺對顧客進行服務(wù)所遵循的規(guī)則通常有：,先到先服務(wù)（

9、FCFS） 后到先服務(wù)（LCFS） 優(yōu)先權(quán)（PS） 隨機服務(wù),倉庫中迭放的鋼材，后迭放上去的都先被領(lǐng)走，就屬于這種情況。,即當(dāng)服務(wù)臺空閑時，不按照排隊序列而隨意指定某個顧客去接受服務(wù)，如電話交換臺接通呼叫電話就是一例。,3服務(wù)機制,排隊系統(tǒng)的服務(wù)機制可以從以下3方面來描述：,服務(wù)臺數(shù)量及構(gòu)成形式。 從數(shù)量上說，服務(wù)臺有單服務(wù)臺和多服務(wù)臺之分。從構(gòu)成 形式上看，服務(wù)臺有：,單隊單服務(wù)臺式； 單隊多服務(wù)臺并聯(lián)式； 多隊多服務(wù)臺并聯(lián)式； 單隊多服務(wù)臺串聯(lián)式； 單隊多服務(wù)臺并串聯(lián)混合式 以及多隊多服務(wù)臺并串聯(lián)混合式等等。,(2) 服務(wù)方式。,這是指在某一時刻接受服務(wù)的顧客數(shù)，它有單個服務(wù)和成批服務(wù)兩種

10、。如公共汽車一次就可裝載一批乘客就屬于成批服務(wù)。,(3) 服務(wù)時間的分布,一般來說，在多數(shù)情況下，對每一個顧客的服務(wù)時間是一隨機變量，其概率分布有定長分布、負指數(shù)分布、K階愛爾朗分布、一般分布(所有顧客的服務(wù)時間都是獨立同分布的)等等。,三、排隊系統(tǒng)的符號表示,肯道爾（D.G.Kendall）分類：X / Y / Z / A / B /C 其中： X 顧客到達的分布； Y 服務(wù)時間的分布； Z 服務(wù)臺數(shù)； A 系統(tǒng)容量； B 顧客源的個體數(shù)。 C 服務(wù)規(guī)則 表示分布的符號： M-負指數(shù)分布或泊松輸入；D-定長分布； Ek-k階愛爾朗分布；GI-一般獨立隨機分布；G-一般隨機分布,例如：某排隊問

11、題為MMSFCFS，則表示顧客到達間隔時間為負指數(shù)分布(泊松流)；服務(wù)時間為負指數(shù)分布；有s(s1)個服務(wù)臺；系統(tǒng)等待空間容量無限(等待制)；顧客源無限，采用先到先服務(wù)規(guī)則。,某些情況下，排隊問題僅用上述表達形式中的前3個、4個、5個符號。如不特別說明則均理解為系統(tǒng)等待空間容量無限；顧客源無限，先到先服務(wù)，單個服務(wù)的等待制系統(tǒng),四、排隊系統(tǒng)的主要數(shù)量指標(biāo) 評價排隊系統(tǒng)的優(yōu)劣。,下面給出的這些數(shù)量指標(biāo)一般都是和系統(tǒng)運行的時刻有關(guān)的隨機變量，求這些隨機變量的瞬時分布一般是很困難的。為了分析上的簡便，并注意到相當(dāng)一部分排隊系統(tǒng)在運行了一定時間后，都會趨于一個平衡狀態(tài)(或稱平穩(wěn)狀態(tài))。在平衡狀態(tài)下，隊

12、長的分布、等待時間的分布和忙期的分布都和系統(tǒng)所處的時刻無關(guān)，而且系統(tǒng)的初始狀態(tài)的影響也會消失。因此，我們在本章中將主要討論與系統(tǒng)所處時刻無關(guān)的性質(zhì)，即統(tǒng)計平衡性質(zhì)。,1、隊長與排隊長 (1)隊長: 系統(tǒng)中的顧客數(shù)（n）； N(t)-N-L (2)排隊長: 系統(tǒng)中排隊等待服務(wù)的顧客數(shù); Nq(t)- Nq-Lq,2、逗留時間與等待時間 (1)逗留時間: 指一個顧客在系統(tǒng)中的全部停留時間； T(t)-T-W (2)等待時間: 指一個顧客在系統(tǒng)中的排隊等待時間； Tq(t)- Tq-Wq,這四項主要性能指標(biāo)(又稱主要工作指標(biāo))的值越小，說明系統(tǒng)排隊越少，等待時間越少，因而系統(tǒng)性能越好。顯然，它們是顧

13、客與服務(wù)系統(tǒng)的管理者都很關(guān)注的。,2、忙期和閑期 (1)忙期: 是指從顧客到達空閑著的服務(wù)機構(gòu)起，到服務(wù)機構(gòu)再次 成為空閑止的這段時間，即服務(wù)機構(gòu)連續(xù)忙的時間。 (2)閑期: 與忙期相對的是閑期，即服務(wù)機構(gòu)連續(xù)保持空閑的時間。,在排隊系統(tǒng)中，忙期和閑期總是交替出現(xiàn)的。,3、其他相關(guān)指標(biāo) (1)忙期服務(wù)量：指一個忙期內(nèi)系統(tǒng)平均完成 服務(wù)的顧客數(shù)； (2)損失率: 指顧客到達排隊系統(tǒng)，未接受服務(wù) 而離去的概率; （對損失制或系統(tǒng)容量有限而言） (3)服務(wù)強度： = /s ；,根據(jù)前面的約定，我們將主要分析系統(tǒng)的平穩(wěn)分布。于是記：,Pn ：當(dāng)系統(tǒng)達到統(tǒng)計平衡時處于狀態(tài)n的概率（pn(t)）,n :當(dāng)

14、系統(tǒng)處于狀態(tài)n時，新來顧客的平均到達率(單位 時間內(nèi)來到系統(tǒng)的平均顧客數(shù)),n：當(dāng)系統(tǒng)處于狀態(tài)n時，整個系統(tǒng)的平均服務(wù)率。 （單位時間內(nèi)可以服務(wù)完的顧客數(shù)）,當(dāng)n為常數(shù)時，記為；當(dāng)每個服務(wù)臺的平均服務(wù)率為常數(shù)時，記每個服務(wù)臺的服務(wù)率為。,S表示系統(tǒng)中并行的服務(wù)臺數(shù),則當(dāng)ns時，有ns ,于是令 = /s ， 稱為服務(wù)強度 （traffic intensity）,負指數(shù)分布,密度函數(shù),均值,方差,隨機變量 T,分布函數(shù),fT(t) 是一個嚴格下降函數(shù),第二節(jié) 生滅過程和Poisson過程,一、生滅過程簡介,一類非常重要其廣泛存在的排隊系統(tǒng)是生滅過程排隊系統(tǒng)。 生滅過程是一類特殊的隨機過程，在生物

15、學(xué)、物理學(xué)、運籌學(xué)中有廣泛的應(yīng)用。,定義1 設(shè)N(t)，t0 為一個隨機過程。 如N(t)的概率分布具有以下性質(zhì)： （1）假設(shè)N(t)= n，則從時刻 t 起到下一個顧客到達時刻止的時 間服從參數(shù)為n 的負指數(shù)分布，n=0，1，2，。 （2）假設(shè)N(t)= n，則從時刻 t 起到下一個顧客離去時刻止的時間服從參數(shù)為n的負指數(shù)分布，n=0，1，2，。 （3）同一時刻只有一個顧客到達或離去。 則稱設(shè)N(t)， t0 為一個生滅過程。,顧客到達“生”； 顧客離開“滅”,顧客到達,顧客離去,生滅過程示意圖：,一般說來，得到 是比較困難的，因此通常是求當(dāng)系統(tǒng)達到平穩(wěn)狀態(tài)后的狀態(tài)分布，記為 , n=0,1

16、,2,各種方式發(fā)生概率表,方式1，2，3，4互不相容且完備，于是：,t2項都變?yōu)榱?對上式求導(dǎo)有：,當(dāng)n=0時，只有方式1和3，4發(fā)生，且方式1中無離去的概率為1，則:,我們假設(shè)系統(tǒng)是穩(wěn)態(tài)的，即與時刻無關(guān)，于是可得：,繼續(xù)迭代：,記,則平穩(wěn)狀態(tài)的分布為：,如何求P0?,由概率分布的要求：,有：,于是：,小結(jié),系統(tǒng)達到平穩(wěn)狀態(tài)后的狀態(tài)分布-Pn,舉例,某小型超市有一個收款臺。交款顧客以每小時30人的負指數(shù)分布到達。當(dāng)收款臺前只有一名顧客時，有一名收款員單獨服務(wù)，收款時間為平均1.5min的負指數(shù)分布；當(dāng)有2名或以上顧客時，將增加一名助手共同為顧客服務(wù)，收款時間將縮短至平均1min的負指數(shù)分布。

17、求 收款臺前有n 名顧客的概率Pn,解：,n=1,2.,則有,由級數(shù)可知：,當(dāng)|q| 1時， 其和為,由,可知：,二、Poission過程和負指數(shù)分布,Poission過程（又稱為Poisson流，最簡流）是排隊論中經(jīng)常用來描述顧客到達的特殊隨機過程。實際上它是一個純生過程，與概率論中的Poisson分布和負指數(shù)分布有密切的聯(lián)系。,下面結(jié)合排對論的術(shù)語，給出Poisson過程的定義：,定義2 設(shè)N(t)為時間 0, t 內(nèi)到達系統(tǒng)的顧客數(shù)，如果滿足下面三個條件：,（1）平穩(wěn)性： 在t, t + t內(nèi)有一個顧客到達的概率為,即 其中常數(shù)0稱為過程N(t)的強度，而o(t)為當(dāng)t-0時關(guān)于t 的高

18、階無窮小。,注：,（2） 獨立性 任意兩個不相交區(qū)間內(nèi)顧客到達情況相互獨立,（3） 普通性 在 t, t+t 內(nèi)多于一個顧客到達的概率為,亦即對于充分小的t，在 t, t+t 內(nèi)出現(xiàn)2個或2個以上質(zhì)點的概率與出現(xiàn)一個質(zhì)點的概率相比可以忽略不計。,則稱 N(t), t 0 為Poisson過程（強度為 ）。,定理1 設(shè)N(t)為時間 0, t 內(nèi)到達系統(tǒng)的顧客數(shù)，則 N(t), t 0 為Poisson過程的充分必要條件是：,n=1,2,定理1說明，如果顧客的到達為Poisson流的話，則到達顧客數(shù)的分布恰為Poisson分布。,舉例,顧客按泊松流到達餐廳，平均每小時20人，在上午11：07餐廳

19、內(nèi)有18人 試求：到11：12餐廳內(nèi)有20名顧客的概率,分析： 依題意知 20 （人/小時）,由公式,可知：,在（1/12）h內(nèi)到達顧客2人的概率為：,但無論是從Poisson過程的定義，還是根據(jù)其概率分布去對顧客的到達情況進行分析，都有許多不便之處。,實際問題中比較容易得到和進行分析的往往是顧客相繼到達系統(tǒng)的時刻，或相繼到達的時間間隔。,定理2 設(shè)N(t)為時間 0, t 內(nèi)到達系統(tǒng)的顧客數(shù)，則 N(t), t 0 為參數(shù)為的Poisson過程的充分必要條件是：相續(xù)到達時間間隔服從相互獨立的參數(shù)為的負指數(shù)分布。,定理2說明，顧客相續(xù)到達時間間隔服從相互獨立的參數(shù)為的負指數(shù)分布，與到達過程為參

20、數(shù)的Poisson過程是等價的。,舉例,某排隊系統(tǒng)，顧客到達為泊松流，平均1人/h。假如有一名顧客于中午12點到達該排隊系統(tǒng)情況下。試求：下一名分別于下午1點前、12點間、2點后到達的概率。,分析：因顧客到達為泊松流，則說明顧客到達時間間隔T服從負指數(shù)分布，故T的概率密度fT(t)為：,（1）因下一名顧客在下午1:00前到達，有 0 T 1,則,（2）下一名顧客在下午1:002:00之間達到，即 1 T 2,（1）因下一名顧客在下午2:00以后到達，即 T 2,則,第三節(jié) M/M/s等待制排隊模型,一、單服務(wù)臺模型,M/M/1/ 是指：顧客的相繼到達時間服從參數(shù)為的負指數(shù)分布，服務(wù)臺數(shù)為1，服

21、務(wù)時間服從參數(shù)為的負指數(shù)分布，系統(tǒng)空間無限，允許無限排隊。,1、隊長的分布,由n =( n=0，1，2，) n =( n=0，1，2，) 記 = / 并設(shè) 1 (否則隊列將排至無限遠)， 則,n= 1,2,.,n= 1,2,.,而,因此,n=0,1,2,10.9,10.10,公式10.10給出了在平衡條件下系統(tǒng)中顧客數(shù)為n的概率。,公式10.9不難看出， 是系統(tǒng)中至少有一個顧客的概率，也就是服務(wù)臺處于忙的狀態(tài)的概率，因而也稱為服務(wù)強度，它反映了系統(tǒng)繁忙的程度。,2、幾個主要數(shù)量指標(biāo),對單服務(wù)臺等待排隊系統(tǒng)，由已得到的平穩(wěn)狀態(tài)下隊長的分布，可以得到平均隊長L為：,平均排隊長Lq為：,利用Litt

22、le公式可求得：,平均逗留時間W為：,平均等待時間Wq為：,關(guān)于顧客在系統(tǒng)中的逗留時間T,可說明它服從 的負指數(shù)分布 ,即有,小結(jié), = / ,n=0,1,2,舉例,某修理店只有一個修理工，來修理的顧客到達過程為Poisson流，平均4人/h; 修理時間服從負指數(shù)分布，平均需要6min。 試求： （1）修理店空閑的概率 （2）店內(nèi)恰有3個顧客的概率 （3）店內(nèi)至少有1個顧客的概率 （4）在店內(nèi)的平均顧客數(shù) （5）每位顧客在店內(nèi)的平均逗留時間 （6）等待服務(wù)的平均顧客數(shù) （7）每位顧客平均等待服務(wù)時間 （8）顧客在店內(nèi)等待時間超過10min的概率,解 本例可看成一個M/M/1/排隊問題，其中,（

23、1）修理店空閑的概率,（2）店內(nèi)恰有3個顧客的概率,（3）店內(nèi)至少有1個顧客的概率,（4）在店內(nèi)的平均顧客數(shù),（5）每位顧客在店內(nèi)的平均逗留時間,（人）,（6）等待服務(wù)的平均顧客數(shù),（人）,（7）每位顧客平均等待服務(wù)的時間,（8）顧客在店內(nèi)逗留時間超過10min的概率,由于逗留時間服從參數(shù) 的負指數(shù)分布，即分布函數(shù)為,則,注：對于： 1小時 10 人 則 1分鐘 10/60=1/6(人)。同理,某車間的工具倉庫只有一個管理員，平均有4人/h來領(lǐng)工具，到達過程為Poisson流；領(lǐng)工具的時間服從負指數(shù)分布，平均為6min。 試求,（1）倉庫內(nèi)沒有人領(lǐng)工具的概率 （2）倉庫內(nèi)領(lǐng)工具的工人的平均數(shù)

24、（3）排隊等待領(lǐng)工具的工人的平均數(shù) （4）工人在系統(tǒng)中的平均花費時間 （5）工人平均排隊時間,解：本題屬于M/M/1系統(tǒng),（1）倉庫內(nèi)沒有人領(lǐng)工具的概率,（2）倉庫內(nèi)領(lǐng)工具的工人的平均數(shù),（3）排隊等待領(lǐng)工具的工人的平均數(shù),（4）工人在系統(tǒng)中的平均花費時間,（5）工人平均排隊時間,某音樂廳設(shè)有一個售票處，營業(yè)時間為8時到16時，假定顧客流和服務(wù)時間均為負指數(shù)分布，且顧客到來的平均間隔時間為2.5分鐘，窗口為每位顧客服務(wù)平均需要1.5分鐘，,試求：(1)顧客不需要等待的概率；(2)平均隊長L；(3)顧客在系統(tǒng)內(nèi)平均逗留時間W； (4)平均排隊等待人數(shù)Lq；(5)平均排隊等待時間Wq；(6)系統(tǒng)內(nèi)顧客人數(shù)超過4個的概率p(L 4)；(7)在六天工作日內(nèi)系統(tǒng)中沒有顧客的小時數(shù)； (8)若決定當(dāng)顧客平均逗留時間超過半個小時時，就應(yīng)增加一個售票窗口，試問這相當(dāng)于要求顧客的平均到達率是原有的幾倍？,舉例,解：按題意可知,=24人/小時， =40人/小時， = / =0.6,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,（7）因每天系統(tǒng)內(nèi)沒有顧客的小時數(shù)為8p0=3.2小時,故一周六天工作日內(nèi)沒有顧客的小時數(shù)為6*3.2=19.2小時.,（8）當(dāng),1=38,于是,3、忙期和閑期,在平衡狀態(tài)下，忙期B和閑期I一般均為隨機變量，求它們的分