1、7.4基本不等式及其應(yīng)用,基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí),課時作業(yè),題型分類深度剖析,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí),(1)基本不等式成立的條件： . (2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng) 時取等號.,知識梳理,a0，b0,ab,2.幾個重要的不等式,(1)a2b2 (a，bR).,2ab,2,(3)ab (a，bR).,以上不等式等號成立的條件均為ab.,設(shè)a0，b0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為 ，幾何平均數(shù)為 ，基本不等式可敘述為兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).,3.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù),4.利用基本不等式求最值問題,已知x0，y0，則 (1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng) 時，xy有最 值 .(簡記

2、：積定和最小),xy,小,(2)如果和xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng) 時，xy有最 值 .(簡記：和定積最大),xy,大,不等式的恒成立、能成立、恰成立問題 (1)恒成立問題：若f(x)在區(qū)間D上存在最小值，則不等式f(x)A在區(qū)間D上恒成立 ；若f(x)在區(qū)間D上存在最大值，則不等式f(x)A成立 ；若f(x)在區(qū)間D上存在最小值，則在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式f(x)B成立 .,f(x)minA(xD),f(x)maxB(xD),f(x)maxA(xD),f(x)minB(xD),(3)恰成立問題：不等式f(x)A恰在區(qū)間D上成立f(x)A的解集為D；不等式f(x)B恰在區(qū)間D上成立f(x)B

3、的解集為D.,判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”),1.(教材改編)設(shè)x0，y0，且xy18，則xy的最大值為 A.80 B.77 C.81 D.82,考點(diǎn)自測,答案,解析,2.已知f(x)x 2(x0)，則f(x)有 A.最大值為0 B.最小值為0 C.最大值為4 D.最小值為4,答案,解析,3.若a0，b0，且ab4，則下列不等式恒成立的是,答案,解析,4.(教材改編)已知x，y均為正實(shí)數(shù)，且x4y1，則xy的最大值為 _.,答案,解析,5.(教材改編)若把總長為20 m的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是_ m2.,答案,解析,25,題型分類深度剖析,題型一利用基本不

4、等式求最值,命題點(diǎn)1通過配湊法利用基本不等式,答案,解析,1,答案,解析,答案,解析,例2已知a0，b0，ab1，則 的最小值為_.,命題點(diǎn)2通過常數(shù)代換法利用基本不等式,答案,解析,4,引申探究,解答,解答,解答,思維升華,(1)應(yīng)用基本不等式解題一定要注意應(yīng)用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所謂“一正”是指正數(shù)，“二定”是指應(yīng)用基本不等式求最值時，和或積為定值，“三相等”是指滿足等號成立的條件. (2)在利用基本不等式求最值時，要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式. (3)條件最值的求解通常有兩種方法：一是消元法，即根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關(guān)系，

5、然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)“1”代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子，然后利用基本不等式求解最值.,跟蹤訓(xùn)練1 (1)若正數(shù)x，y滿足x3y5xy，則3x4y的最小值是_.,答案,解析,5,3x4y的最小值是5.,當(dāng)且僅當(dāng)y 時等號成立，(3x4y)min5.,(2)已知x，y(0，)，2x3( )y，若 (m0)的最小值為3，則m_.,答案,解析,4,由2x3( )y得xy3，,解得m4.,題型二基本不等式的實(shí)際應(yīng)用,例3(2017淄博質(zhì)檢)某工廠某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元，每生產(chǎn)x千件，需另投入成本為C(x)，當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時，C(x) x21

6、0 x(萬元).當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時，C(x)51x 1 450(萬元).每件商品售價為0.05萬元.通過市場分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完. (1)寫出年利潤L(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式；,解答,因?yàn)槊考唐肥蹆r為0.05萬元，則x千件商品銷售額為0.051 000 x萬元，依題意得：當(dāng)0x80時，,L(x)1 000 x0.05( x210 x)250, x240 x250；,當(dāng)x80時， L(x)1 000 x0.05(51x 1 450)250 1 200(x ).,(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？,解答,思維升華,(1)設(shè)變量時

7、一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù). (2)根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值. (3)在求函數(shù)的最值時，一定要在定義域(使實(shí)際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解.,跟蹤訓(xùn)練2(1)某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元.若每批生產(chǎn)x件，則平均倉儲時間為 天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲費(fèi)用為1元.為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品_件.,答案,解析,80,(2)某公司購買一批機(jī)器投入生產(chǎn)，據(jù)市場分析，每臺機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤y(單位：萬元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時間x(單位：年)的關(guān)系為yx218x25(xN*)，則每

8、臺機(jī)器為該公司創(chuàng)造的年平均利潤的最大值是_萬元.,8,答案,解析,題型三基本不等式的綜合應(yīng)用,命題點(diǎn)1基本不等式與其他知識交匯的最值問題,例4(1)(2016菏澤一模)已知直線axbyc10(b，c0)經(jīng)過圓x2y22y50的圓心，則 的最小值是 A.9 B.8 C.4 D.2,答案,解析,圓x2y22y50化成標(biāo)準(zhǔn)方程， 得x2(y1)26，所以圓心為C(0,1). 因?yàn)橹本€axbyc10經(jīng)過圓心C， 所以a0b1c10，即bc1.,因?yàn)閎，c0，,(2)(2016山西忻州一中等第一次聯(lián)考)設(shè)等差數(shù)列an的公差是d，其前 n項(xiàng)和是Sn，若a1d1，則 的最小值是_.,答案,解析,命題點(diǎn)2求參

9、數(shù)值或取值范圍,答案,解析,m12，m的最大值為12.,答案,解析,設(shè)g(x)x ，xN*，則g(2)6，g(3) .,對任意xN*，f(x)3恒成立，即 3恒成立， 即知a(x )3.,思維升華,(1)應(yīng)用基本不等式判斷不等式是否成立：對所給不等式(或式子)變形，然后利用基本不等式求解. (2)條件不等式的最值問題：通過條件轉(zhuǎn)化成能利用基本不等式的形式求解. (3)求參數(shù)的值或范圍：觀察題目特點(diǎn)，利用基本不等式確定相關(guān)成立條件，從而得參數(shù)的值或范圍.,跟蹤訓(xùn)練3(1)(2016福建四地六校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)x 2的值域?yàn)?，04，)，則a的值是,答案,解析,幾何畫板展示,答案,解析,由各

10、項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an滿足a7a62a5，可得a1q6a1q52a1q4， 所以q2q20， 解得q2或q1(舍去).,因?yàn)?4a1，所以qmn216，,所以2mn224，所以mn6.,又mn6，解得m2，n4，符合題意.,利用基本不等式求最值,現(xiàn)場糾錯系列9,利用基本不等式求最值時要注意條件：一正二定三相等；多次使用基本不等式要驗(yàn)證等號成立的條件.,錯解展示,現(xiàn)場糾錯,糾錯心得,返回,解析(1)x0，y0，,返回,課時作業(yè),1.已知a，bR，且ab0，則下列結(jié)論恒成立的是,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,答案,解析,2.下列不等式一定成立的是,答案,解析,

11、1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,運(yùn)用基本不等式時需保證“一正”“二定“三相等”，而當(dāng)xk，kZ時，sin x的正負(fù)不定，故選項(xiàng)B不正確； 由基本不等式可知，選項(xiàng)C正確；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,A.最小值1 B.最大值1 C.最小值2 D.最大值2,答案,解析,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12

12、,13,14,5.(2016平頂山至陽中學(xué)期中)若函數(shù)f(x)x (x2)在xa處取最小值，則a等于,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,6.已知x0，y0，且4xyx2y4，則xy的最小值為,答案,解析,答案,解析,A.1 B.6 C.9 D.16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,8.(2016唐山一模)已知x，yR且滿足x22xy4y26，則zx24y2的取值范圍為_.,答案,解析,4

13、,12,9.(2016濰坊模擬)已知a，b為正實(shí)數(shù)，直線xya0與圓(xb)2(y1)22相切，則 的取值范圍是_.,答案,解析,(0，),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,xya0與圓(xb)2(y1)22相切，,ab12，即ab1，,又a，b為正實(shí)數(shù)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,4,答案,解析,*11.(2017東莞調(diào)研)函數(shù)yloga(x3)1(a0，且a1)的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mxny10上，其中m，n均大于0，則 的最小值為_.,答案,解

14、析,8,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,12.已知x0，y0，且2x5y20. (1)求ulg xlg y的最大值；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,此時xy有最大值10. ulg xlg ylg(xy)lg 101. 當(dāng)x5，y2時，ulg xlg y有最大值1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,x0，y0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

15、,11,12,13,14,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,13.經(jīng)市場調(diào)查，某旅游城市在過去的一個月內(nèi)(以30天計)，第t天(1t30，tN*)的旅游人數(shù)f(t)(萬人)近似地滿足f(t)4 ，而人均消費(fèi)g(t)(元)近似地滿足g(t)120|t20|. (1)求該城市的旅游日收益W(t)(萬元)與時間t(1t30，tN*)的函數(shù)關(guān)系式；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,(2)求該城市旅游日收益的最小值.,解答,14.如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1 km，某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn).已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程ykx (1k2)x2(k0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān).炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo). (1)求