1、全等三角形（復習）,一、全等三角形,1.什么是全等三角形？一個三角形經過哪些變化可以得到它的全等形？,2：全等三角形有哪些性質？,能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。一個三角形經過平移、翻折、旋轉可以得到它的全等形,（1）全等三角形的對應邊相等、對應角相等。 （2）全等三角形的周長相等、面積相等。 （3）全等三角形的對應邊上的對應中線、角平分線、高線分別相等。,2.全等三角形的判定:,一般三角形全等的判定：,SAS、ASA、AAS、SSS,直角三角形全等的判定：,SAS、ASA、AAS、SSS、HL,一般三角形 全等的條件：,1.定義（重合）法；,2.SSS；,3.SAS；,4.ASA；,

2、5.AAS.,直角三角形 全等特有的條件：,HL.,包括直角三角形,不包括其它形狀的三角形,3.三角形全等的證題思路：,1.證明兩個三角形全等，要結合題目的條件和結論，選擇恰當?shù)呐卸ǚ椒?2.全等三角形，是證明兩條線段或兩個角相等的重要方法之一，證明時 要觀察待證的線段或角，在哪兩個可能全等的三角形中。 分析要證兩個三角形全等，已有什么條件，還缺什么條件。 有公共邊的，公共邊一定是對應邊， 有公共角的，公共角一定是對應角，有對頂角，對頂角也是對應角 總之，證明過程中能用簡單方法的就不要繞彎路。,例題選講,1：如圖，D在AB上，E在AC上，且B =C，那么補充下列一具條件后，仍無法判定ABEAC

3、D的是( ) AAD=AE B AEB=ADC CBE=CD DAB=AC,B,2：已知：如圖，CDAB，BEAC，垂足分別為D、E，BE、CD相交于O點，1=2，圖中全等的三角形共有( ) A1對 B2對 C3對 D4對,D,3.如圖：在ABC中，C =900，AD平分 BAC，DEAB交AB于E，BC=30，BD：CD=3：2，則DE= 。,12,c,A,B,D,E,4 已知： ACBC，BDAD，AC=BD. 求證：BC=AD.,5:下面條件中, 不能證出RtABCRtA BC的是 (A.)AC=AC , BC=BC (B.)AB=AB , AC=AC (C.) AB=BC , AC=A

4、C (D.)B=B , AB=AB,C,6：如圖，在ABC 中，AD BC，CE AB，垂足分別為D、E，AD、CE交于點H，請你添加一個適當?shù)臈l件： ，使ADBCEB。,BE=BD,BA=BC,DA=EC,7：求證：三角形一邊上的中線小于其他兩邊之和的一半。,已知：如圖，AD是ABC 的中線，求證：,E,證明：,中線延長它一倍,課堂練習,1.已知BDCD，ABDACD，DE、DF分別垂直于AB及AC交延長線于E、F，求證：DEDF,2.點A、F、E、C在同一直線上，AFCE，BE = DF，BEDF，求證：ABCD。,證明：,4.已知，ABC和ECD都是等邊三角形，且點B，C，D在一條直線上

5、求證：BE=AD,3.已知，ABC和ECD都是等邊三角形，且點B，C，D在一條直線上求證：BE=AD,變式：以上條件不變，將ABC繞點C順時針旋轉一定角度，以上的結論還成立嗎？,當順時針旋轉10時，,3.已知，ABC和ECD都是等邊三角形，且點B，C，D在一條直線上求證：BE=AD,變式：以上條件不變，將ABC繞點C順時針旋轉一定角度，以上的結論還成立嗎？,當順時針旋轉60時，,3.已知，ABC和ECD都是等邊三角形，且點B，C，D在一條直線上求證：BE=AD,變式：以上條件不變，將ABC繞點C順時針旋轉一定角度，以上的結論還成立嗎？,當順時針旋轉120時，,3.已知，ABC和ECD都是等邊三

6、角形，且點B，C，D在一條直線上求證：BE=AD,變式：以上條件不變，將ABC繞點C順時針旋轉一定角度，以上的結論還成立嗎？,當順時針旋轉180時，,3.已知，ABC和ECD都是等邊三角形，且點B，C，D在一條直線上求證：BE=AD,變式：以上條件不變，將ABC繞點C順時針旋轉一定角度，以上的結論還成立嗎？,當順時針旋轉240時，,4.已知，ABC和ECD都是等邊三角形，當ABC繞點C順時針旋轉時，連接BE，DA；結論BE=AD還成立嗎？若成立請加以證明。,引申：.已知，ABC和ECD都是等邊三角形，且點B，C，D在一條直線上，AC與BE相交于M，CE與AD相交于N，試判定的形狀,解：是等邊三

7、角形,證明：,（）先證ACE,（）證明BCEACDBECADC,（）在證MCENCDCM=CN,5：如圖，已知E在AB上，1=2， 3=4，那么AC等于AD嗎？為什么？,解：AC=AD,6：如圖，已知，ABDE，AB=DE，AF=DC。請問圖中有那幾對全等三角形？請任選一對給予證明。,答：,ABCDEF,證明：, ABDE A=D AF=DC AF+FC=DC+FC AC=DF 在ABC和DEF中 AC=DF A=D AB=DE ABCDEF （SAS）,7：如圖，已知，EGAF，請你從下面三個條件中，再選出兩個作為已知條件，另一個作為結論，推出一個正確的命題。（只寫出一種情況）AB=AC D

8、E=DF BE=CF 已知： EGAF 求證：,高,8.如圖，在等邊ABC中，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，CA上的點，（不是中點）且ADBECF，圖中全等三角形有那些？,解：共六個,BEHCFI,BHBCICAG,BEBCFCAD,HFBIDCGE,BFBCDCAE,8引申如圖，在等邊ABC中，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，CA上的點，（不是中點）且DEF也是等邊三角形，圖中（）除已知相等的邊外，還有那些相等的線段？（）你所證明的相等的線段，可以通過怎樣的變化相互得到？寫出變化過程,解：（）AE=BF=CD,AF=BD=CE,（2）這些相等的線段可以看出平移 旋轉而得到，如AE和BF，把AE繞這

9、A點沿順時針方向選旋轉，再沿著AB方向平移使點A至點F即可得到BF，其余類同,8引申如圖，在等邊ABC中，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，CA上的點，（不是中點）且DEF也是等邊三角形，圖中（）除已知相等的邊外，還有那些相等的線段？（）你所證明的相等的線段，可以通過怎樣的變化相互得到？寫出變化過程,解：（）AE=BF=CD,AF=BD=CE,（2）這些相等的線段可以看出平移 旋轉而得到，如AE和BF，把AE繞這A點沿順時針方向選旋轉，再向下然后再向左平移使點A至點F即可得到BF，其余類同,.閱讀理解,（）如果兩個三角形均為直角三角形，顯然它們全等,1閱讀：,我們知道，兩邊及其中一邊的對角分別對應相

10、等的兩個三角形不一定全等，那么在什么情況下，它們會全等。,（）如果兩個三角形均為鈍角三角形，可證它們全等,（）如果兩個三角形均為銳角三角形，可證它們全等,2證明：,請你從（）（）選擇一個加以證明,（）如果兩個三角形均為銳角三角形，可證它們全等,已知：ABC和ABC均為銳角，且AB=AB，AC=AC，B=B，求證：ABCABC，,已知：ABC和ABC均為銳角，且AB=AB，AC=AC，B=B，求證：ABCABC，,D,D,證明：分別作B，B兩點作BDCA于D，BDCA于D，,先證：ABDABD,再證：ABCABC,（3）由此你得出一個什么結論：,結論：兩邊及其中一邊的對邊分別相等的兩個銳角（直角

11、三角形或者鈍角三角形）三角形是全等三角形,10 已知命題：如圖點A，D，B，E在同一條直線上，且ADBE，A=FDE，則ABCDEF，判定這個命題是真命題還是假命題，如果是真命題請加以證明；如果是假命題，請 添加一個適當?shù)臈l件使它稱為真命題，并加以證明,解答：題設命題是假命題；可以下添加一個條件均可證明三角形全等,（1）當ACDF,（）CBAE,（）CF,證明：略,1 已知：如圖線段AC與BD 相交與點O，連接AB，DC，E為OB的中點，F(xiàn)為OC的中點，連接EF；,（1）添加條件A=D，OEF=OFE，求證：ABDC,（）分別將AD記為；OEFOFE記為；AB=DC記為；添加條件，以為結論構成

12、命題1；添加條件，以為結論構成命題2，命題1是命題；命題2是命題（選“真”或“假”）,證明：（1）略,（）命題1為真命題；可以AAS證明；命題2是假命題，此命題的條件為SSA，不能證明全等,13 已知點A，E，F(xiàn)，C在同一條直線上，且AECF，過EF兩點分別作DEAC，BFAC，且ABCD，（）求證：BD平分 EF（2）若將DEC的邊EC沿AC方向移動，變化為2時，其余條件不變，上述結論是否成立，說明理由,E,證明：在DC上截取DEDB，連接AE,。如圖在三角形ABC中，BC上的高為AD，且B=2C 求證：CD=ABBD,15 已知AFD和CEB中，點A，E，F(xiàn)，C在同一條直線上，有如下四個論

13、斷：（1）ADCB（）AECF （3）B=D（4)AD /BC ,請用其中三個作為條件，余下一個作為結論，編一道數(shù)學問題，并寫出解答過程。,其中的組合是錯誤的，無法證明,解：由（1）（2）（3）為條件（4）為結論,由（1）（2）（4）為條件（3）為結論,由（1）（3）（4）為條件（2）為結論,由（2）（3）（4）為條件（1）為結論,下面我們以為例寫出已知，求證，并進行證明 已知：AECF ，B=D，AD /BC 求證：AD=BC,證明：略,16 在正方形ABCD中，E是AD是中點，F(xiàn)是BA的延長線的一點，AF=AE，已知ABE,（）在圖中可以通過平移，翻折，旋轉中的哪一種方法，使ABE變到的位

14、置,（）線段BE與DF有什么位置關系？證明你的結論,解：圖中通過繞A點按逆時針方向旋轉，使ABE變到的位置（圖）,理由：延長BE交DF于點G，,G,ABE,ABE=ADF,又AEB=DEG,DGB=DAB,BEDF,17。如圖在三角形ABC中，BAC=90，AB=AC，AE是過點A的一條直線，且BC兩點在AE的異側，BDAE于D，CEAE于點E,求證：（）=DE +CE,提示證明：ABDACE（AAS）,證明：,17。如圖在三角形ABC中，BAC=90，AB=AC，AE是過點A的一條直線，且BC兩點在AE的異側，BDAE于D，CEAE于點E,求證：（）=DE +CE,（）若直線AE繞點A旋轉到

15、右圖位置時，（BDCE），其余條件不變，問BD與DE和CE的關系如何？請直接寫出結果，不需證明,提示證明：ABDACE（AAS）得到BD=DE-CE,17。如圖在三角形ABC中，BAC=90，AB=AC，AE是過點A的一條直線，且BC兩點在AE的異側，BDAE于D，CEAE于點E,求證：（）=DE +CE,（）若直線AE繞點A旋轉到右圖位置時，（BDCE），其余條件不變，問BD與DE和CE的關系如何？請直接寫出結果，不需證明,（）若直線AE繞點A旋轉到右圖位置時，（BDCE），其余條件不變，問BD與DE和CE的關系如何？請直接寫出結果，不需證明,提示證明：ABDACE（AAS）得到BD=DE-

16、CE,17。如圖在三角形ABC中，BAC=90，AB=AC，AE是過點A的一條直線，且BC兩點在AE的異側，BDAE于D，CEAE于點E,求證：（）=DE +CE,（）若直線AE繞點A旋轉到右圖位置時，（BDCE），其余條件不變，問BD與DE和CE的關系如何？請直接寫出結果，不需證明,（）若直線AE繞點A旋轉到右圖位置時，（BDCE），其余條件不變，問BD與DE和CE的關系如何？請直接寫出結果，不需證明,（）歸納（）（）（）請用簡潔的語言表達BD，DE和CE的關系,歸納：當B，C在AE的異側時，BDDE+CE； 當B，C在AE的同側時，BD=DE-CE,拓展題,1.如圖,已知A=D,AB=DE

17、,AF=CD,BC=EF. 求證:BCEF,2.已知AB=AE,AC=AD,ACAD,ABAE;,E,C,A,B,2,1,D,(2)怎樣變換ABC和AED中的一個位置,可使它們重合?,(3)觀察ABC和AED中對應邊有怎樣的位置關系?,(4)試證EDBC,(1)觀察圖中有沒有全等三角形?,3.如圖,已知ACBD，EA、EB分別平分CAB和DBA，CD過點E，則AB與AC+BD相等嗎？請說明理由。,要證明兩條線段的和與一條線 段相等時常用的兩種方法：,1、可在長線段上截取與兩條線段 中一條相等的一段，然后證明剩余 的線段與另一條線段相等。,2、把一個三角形移到另一位置， 使兩線段補成一條線段，再證明 它與長線段相等。（補）,線段和（差），延長（截取）證相等,4.如圖：在四邊形ABCD中，點E在邊CD上，連接AE、BE并延長AE交BC的延長線于點F，給出下列5個關系式：ADBC，DE=EC1=2，3=4，AD+BC=AB。將其中三個關系式作為已知，另外兩個作為結論，構成正確的命題。請用序號寫出兩個正確的命題：（書寫形式：如果那么）（1） ；（2） ；,5.如圖，在RABC中，ACB=450，BAC=900，AB=AC，點D是AB的中點，AFCD于H交BC于F，BEAC交AF的延長線于E，求證：BC垂直且平分DE.,6.已知：如圖：在ABC中，BE、CF分別是AC、AB兩