1、第8講曲線與方程,最新考綱1.了解方程的曲線與曲線的方程的對應(yīng)關(guān)系；2.了解解析幾何的基本思想和利用坐標(biāo)法研究曲線的簡單性質(zhì)；3.能夠根據(jù)所給條件選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ笄€的軌跡方程.,知 識 梳 理,1.曲線與方程 一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡)上點的坐標(biāo)與一個二元方程 f(x，y)0的實數(shù)解滿足如下關(guān)系： (1)曲線上點的坐標(biāo)都是_； (2)以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是_，那么這個方程叫做_，這條曲線叫做_.,這個方程的解,曲線上的點,方程的曲線,曲線的方程,2.求動點的軌跡方程的一般步驟 (1)建系建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系. (2)設(shè)點設(shè)軌跡上的任一點

2、P(x，y). (3)列式列出動點P所滿足的關(guān)系式. (4)代換依條件式的特點，將其轉(zhuǎn)化為x，y的方程式，并化簡. (5)證明證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程.,3.兩曲線的交點 設(shè)曲線C1的方程為F1(x，y)0，曲線C2的方程為F2(x，y) 0，則C1、C2的交點坐標(biāo)即為方程組_的實數(shù)解. 若此方程組_，則兩曲線無交點.,無解,診 斷 自 測,1.判斷正誤(在括號內(nèi)打“”或“”),解析由已知|MF|MB|，根據(jù)拋物線的定義知，點M的軌跡是以點F為焦點，直線l為準(zhǔn)線的拋物線.,答案D,答案橢圓或線段,4.(2016棗莊一模)已知ABC的頂點B(0，0)，C(5，0)，AB邊上的中線長

3、|CD|3，則頂點A的軌跡方程為_.,答案(x10)2y236(y0),5.(人教A選修21P37A4改編)已知O方程為x2y24，過M(4，0)的直線與O交于A，B兩點，則弦AB中點P的軌跡方程為_.,答案(x2)2y24(0 x1),考點一直接法求軌跡方程,【例1】 已知動圓過定點A(4，0)，且在y軸上截得弦MN的長為8. (1)求動圓圓心的軌跡C的方程； (2)已知點B(1，0)，設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P，Q，若x軸是PBQ的角平分線，證明：直線l過定點.,規(guī)律方法利用直接法求軌跡方程 (1)利用直接法求解軌跡方程的關(guān)鍵是根據(jù)條件準(zhǔn)確列出方程，然后進行化簡. (2

4、)運用直接法應(yīng)注意的問題 在用直接法求軌跡方程時，在化簡的過程中，有時破壞了方程的同解性，此時就要補上遺漏的點或刪除多余的點，這是不能忽視的. 若方程的化簡過程是恒等變形，則最后的驗證可以省略.,【例2】 已知圓M：(x1)2y21，圓N：(x1)2y29，動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.求C的方程.,考點二定義法求軌跡方程,規(guī)律方法(1)求軌跡方程時，若動點與定點、定線間的等量關(guān)系滿足圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義，則可直接根據(jù)定義先確定軌跡類型，再寫出其方程. (2)關(guān)鍵：理解解析幾何中有關(guān)曲線的定義是解題關(guān)鍵. (3)利用定義法求軌跡方程時，還要看所求軌跡是否是完整

5、的圓、橢圓、雙曲線、拋物線，如果不是完整的曲線，則應(yīng)對其中的變量x或y進行限制.,【訓(xùn)練2】 已知圓C與兩圓x2(y4)21，x2(y2)21外切，圓C的圓心軌跡方程為L，設(shè)L上的點與點M(x，y)的距離的最小值為m，點F(0，1)與點M(x，y)的距離為n. (1)求圓C的圓心軌跡L的方程； (2)求滿足條件mn的點M的軌跡Q的方程.,解(1)兩圓半徑都為1，兩圓圓心分別為C1(0，4)，C2(0，2)，由題意得|CC1|CC2|，可知圓心C的軌跡是線段C1C2的垂直平分線，C1C2的中點為(0，1)，直線C1C2的斜率不存在，故圓心C的軌跡是線段C1C2的垂直平分線，其方程為y1，即圓C的

6、圓心軌跡L的方程為y1.,考點三相關(guān)點法(代入法)求軌跡方程,又點B在拋物線yx2上， 所以y1x，再將式代入y1x，得(1)2x2(1)y(1)x2， (1)2x2(1)y(1)2x22(1)x2， 2(1)x(1)y(1)0. 因0，兩邊同除以(1)，得2xy10. 故所求點P的軌跡方程為y2x1.,思想方法 求軌跡方程的常用方法 1.直接法：根據(jù)題目條件，直譯為關(guān)于動點的幾何關(guān)系，再利用解析幾何有關(guān)公式(兩點距離公式、點到直線距離公式、夾角公式等)進行整理、化簡，即把這種關(guān)系“翻譯”成含x，y的等式就得到曲線的軌跡方程. 2.定義法：若動點軌跡滿足已知曲線的定義，可先設(shè)定方程，再確定其中的基本量，求出動點的軌跡方程.,3.相關(guān)點法：有些問題中，其動點滿足的條件不便用等式列出，但動點是隨著另一動點(稱之為相關(guān)點)而運動的，如果相關(guān)點所滿足的條件是明顯的，或是可分析的，這時我們可以用動點坐標(biāo)表示相關(guān)點坐標(biāo)，根據(jù)相關(guān)點所滿足的方程即可求得動點的軌跡方程. 4.參數(shù)法：動點所滿足的條件不易得出或不易轉(zhuǎn)化為等式，也沒有明顯的相關(guān)點，但卻較易發(fā)現(xiàn)(或經(jīng)過分析可發(fā)現(xiàn))這個動點的運動與某一個量或某兩個變量(角、斜率、比值、截距等)有關(guān)，可用參數(shù)法求出軌跡方程.,易錯防范 1.求軌跡方程時，要注意曲線上的點與方