1、10.2 二項式定理,高考理數(shù),考點二項式定理的應用 1.二項式定理 (a+b)n=an+an-1b1+an-rbr+bn(nN*). 2.幾個基本概念 (1)二項展開式:二項式定理中的公式右邊的多項式叫做(a+b)n的二項展開式. (2)項數(shù):二項展開式中共有n+1項. (3)二項式系數(shù):在二項展開式中各項的系數(shù)(r=0,1,2,n)叫做 二項式系數(shù). (4)通項:在二項展開式中的an-rbr叫做二項展開式的通項,用Tr+1表示,即,知識清單,通項為展開式的第r+1項:Tr+1=an-rbr(r=0,1,n). 3.在二項式定理中,如果設a=1,b=x,則得到公式:(1+x)n=1+x+x2

2、+x3 +xn.若a=1,b=-x,則得到公式:(1-x)n=1+(-1)1x+x2+(-1)nxn. 4.二項式系數(shù)的性質 (1)對稱性 與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等,事實上,這一性質可直接由公式=得到. (2)增減性 =,當k時,二項式系數(shù)逐漸增大,由對稱性知后半 部分是逐漸減小的.,(3)最大值 當n為偶數(shù)時,中間一項的二項式系數(shù)最大,最大值為 ; 當n為奇數(shù)時,中間兩項的二項式系數(shù)相等,且同時 取得最大值,最大值為或. 5.各二項式系數(shù)的和: (a+b)n的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于2n,即+=2n. 二項展開式中,奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和,即+

3、=+=2n-1.,求展開式中的指定項或特定項,求二項展開式的特定項問題,實質是考查通項Tk+1=an-kbk的特點,一般 需要建立方程求k,再將k的值代回通項求解,注意k的取值范圍(k=0,1,2,n). (1)第m項:此時k+1=m,直接代入通項; (2)常數(shù)項:即這項中不含“變元”,令通項中“變元”的冪指數(shù)為0建立方程; (3)有理項:令通項中“變元”的冪指數(shù)為整數(shù)建立方程. 特定項的系數(shù)問題及相關參數(shù)值的求解等都可依據(jù)上述方法求解.,方法技巧,解題導引,例1(2017安徽合肥二模,15)在的展開式中,常數(shù)項為.,解析的展開式中的通項為Tr+1=(-1)4-r(r=0,1,2,3,4).

4、當r=0時,T1=1, 當r0時,的通項為Tk+1=xr-k=(-1)kxr-2k(k=0,r), 令r-2k=0,即r=2k.r=2,k=1;r=4,k=2. 常數(shù)項=1-+1=-5.,答案-5,1.二項式系數(shù)與項的系數(shù)是不同的兩個概念,二項式系數(shù)是指, ,它只與各項的項數(shù)有關,而與a,b的值無關;而項的系數(shù)是指該項中除 變量外的常數(shù)部分,它不僅與各項的項數(shù)有關,也與a,b的值有關,如(a+bx)n的展開式中,第k+1項的二項式系數(shù)是,而項的系數(shù)是an-kbk. 2.形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,cR)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和,常用賦值法,只需令x=1即可;形如(

5、ax+by)n(a,bR)的式子求其展開式各項系數(shù)之和,只需令x=y=1即可. 3.一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+anxn,則f(x)中各項系數(shù)之和為f(1),奇數(shù)項系數(shù)之和為a0+a2+a4+=,偶數(shù)項系數(shù)之和為a1+a3+a5+=,二項式系數(shù)與項的系數(shù),. 例2(1)(2017湖南三湘名校聯(lián)盟三模,7)在(x2-4)的展開式中,x5 的系數(shù)為(D) A.36B.-144C.60D.-60 (2)(2017遼寧實驗中學四模)若(1-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,則|a0|-|a1|+|a2|-|a3|+|a4|-|a5|=(A) A.0B.1C.32D.-1,解題導引,解析(1)(x2-4)=(x2-4)(x9+x7+x5+x3+x+x-9), 展開式中x5的系數(shù)為-4=84-144=-60,故選D. (2)Tr+1=(-x)r=(-1)rxr(r=0,1,2,3,4,5), 當r為奇數(shù)時,ar0, |a0|-|a1|+|a2|-|a3|+|a4|-|a5|=a0+a1+a