1、1,華南農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系,線性代數(shù),多媒體教學(xué)課件,Liner Algebra,2,教學(xué)基本要求,1、提前預(yù)習(xí)，積極聽課；,2、認(rèn)真完成作業(yè)，計(jì)入平時成績；,3、隨機(jī)點(diǎn)名考勤，考勤結(jié)果計(jì)入平時成績；,5、聯(lián)系電話 e-mail：,4、總評成績=平時（占30%）+期末（占70%）,3,引 言,線性代數(shù)是以行列式、矩陣為工具，研究線性變量之間關(guān)系的一門數(shù)學(xué)分科，它包括求值、求解及性質(zhì)的討論。 密切相關(guān)學(xué)科：運(yùn)籌學(xué)（線性規(guī)劃）,4,第一章 矩陣,第四章 向量的內(nèi)積與二次型,第六章 Matlab 軟件的應(yīng)用,第二章 向量與線性方程組,第五章 線性空間與線性變換,第三章

2、 矩陣的特征與特征向量,教 學(xué) 計(jì) 劃,10學(xué)時,6學(xué)時,4學(xué)時,8學(xué)時,4學(xué)時,略,5,第一章 矩 陣,1 矩陣及其運(yùn)算,3 行列式,2 矩陣的初等變換與初等矩陣,4 行列式和逆矩陣的應(yīng)用,6,矩陣及其運(yùn)算,第一節(jié),引例一,某企業(yè)生產(chǎn)4種產(chǎn)品，各種產(chǎn)品的季度產(chǎn)值 （單位：萬元）如下表：,數(shù) 表,抽象,描述各種產(chǎn)品各季度的產(chǎn)值 揭示產(chǎn)值隨季度的變化規(guī)律、 年產(chǎn)量等,引例二,某航空公司在A，B，C，D四城市之間開辟了若干航線，右圖表示了四城市之間的航班圖，若從A到B有航班，則用帶箭頭的線連接A與B：,數(shù) 表,抽象,反映四城市之間的交通連接情況,1.1.1 線性方程組與矩陣的概念,m個方程， n個

3、未知數(shù),線性方程組的一般形式為,數(shù) 表,定義1.1 (P2),由mn個數(shù)aij (i=1,2,m; j=1,2,n) 排成的m行n列的數(shù)表,第一行,第二行,第一列,第二列,行矩陣：只有一行的矩陣 也稱為行向量,列矩陣：只有一列的矩陣 也稱為列向量,元素全是零的矩陣叫做零矩陣，簡記為Omn,特例,行數(shù)與列數(shù)相等的矩陣，稱為方陣。 有n行n列的矩陣稱為n階方陣或n階矩陣,特例,13,幾種特殊形式的方陣,上三角形矩陣,下三角形矩陣,三角形矩陣,14,數(shù)量矩陣,對角陣,單位矩陣,幾種特殊形式的方陣,diagonal,15,行數(shù)、列數(shù)分別相等的矩陣，稱為同型矩陣。,同型矩陣,如：,只有矩陣 與矩陣 同型

4、,16,定義1.2（P4),那么就稱矩陣A與矩陣B相等，記作A=B,相等矩陣,17,(1),(2),(3),判斷下列各組矩陣是否相等,課堂練習(xí),設(shè) ，已知A=B，,求 的值,解 由A=B，可知,解得,一、 矩陣的加減法,定義1.3（P4),那么矩陣A與矩陣B的和矩陣記作A+B,規(guī)定為,對應(yīng)位置上的元素相加,1.1.2 矩陣的基本運(yùn)算及性質(zhì),注意：只有同型矩陣才能相加,20,矩陣的加法滿足下列運(yùn)算規(guī)律 (P4),（i）A+B=B+A (交換律）,（ii) (A+B)+C=A+(B+C) (結(jié)合律）,(iii) A+O=O+A=A,-A稱為矩陣A的負(fù)矩陣，顯然有,A+(-A)=(-A)+A=O,定

5、義矩陣的減法：A-B=A+(-B),對應(yīng)位置上的元素相減,二、 矩陣的數(shù)乘運(yùn)算,定義1.4 (P5),矩陣的每一個元素 都要乘以這個數(shù),運(yùn)算率 (P5),22,設(shè)兩個商店銷售三種電視機(jī)的 數(shù)量（百臺）由矩陣A表示,長虹,康佳,創(chuàng)維,百佳,華潤,三種電視機(jī)的零售單價 （千元）由矩陣B表示,長虹,康佳,創(chuàng)維,三、 矩陣的乘法,則兩商場銷售電視機(jī)所得收益分別是多少？,定義1.5 (P5),三、 矩陣的乘法,設(shè)矩陣A=(aij)ml的列數(shù)與矩陣B=(bij)ln的行數(shù)相等, 則由元素 構(gòu)成的mn矩陣C=(cij)mn稱為矩陣A與矩陣B的乘積，記作C=AB,矩陣乘法運(yùn)算的注意事項(xiàng)：,（1） 兩矩陣相乘時

6、，前矩陣（居左）每一行（如第i行）的各元素與后矩陣（居右）每一列（如第j列）中順次對應(yīng)的各元素相乘再相加，從而得到乘積矩陣（第i行第j列）的元素。,為保證規(guī)則（1），左矩陣的列數(shù)應(yīng)與右矩陣的的行數(shù)相等，否則兩矩陣不能相乘。,（3） 乘積矩陣的行數(shù)與左矩陣相同，乘積矩陣的列數(shù)與右矩陣相同。,25,例 計(jì)算下列矩陣的乘積，并觀察結(jié)果，探討性質(zhì),（1）設(shè),，求AB和BA。,求AB、BA和BC。,例,設(shè),，求AB。,矩陣與矩陣相乘不滿足交換律，AB有意義， 但BA不一定有意義,解,例,設(shè),AB,求AB和BA,BA,AB和BA都意義，但不同型，故ABBA.,解,例,求AB、BA和BC,AB,BA,(1)

7、 AB與BA都有意義，且同型，但AB與BA不相等 (2) 兩個非零矩陣相乘可能是零矩陣 (3) BA=BC,但AC,可見，矩陣乘法不滿足消去率,BC,解,ABBA , BA=BC,例,求AB和BA,AB,BA,AB =BA,如果同階方陣A和B滿足AB=BA,則稱A與B可交換,解,矩陣的乘法雖不滿足交換律、消去率， 但滿足下列運(yùn)算率（P6）：,(),(),(),(),記,則線性方程組(1)可通過矩陣的乘法表示成矩陣形式,系數(shù)矩陣,未知數(shù)列矩陣,常數(shù)列矩陣,矩陣A表示兩車間生產(chǎn)三種產(chǎn)品的數(shù)量,矩陣B表示三種產(chǎn)品的單位產(chǎn)品消耗兩種原料的數(shù)量,車間一,車間二,面包,蛋糕,餅干,面包,蛋糕,餅干,糖,面

8、粉,則如何用矩陣表示兩車間需要消耗的原材料的數(shù)量？,方陣的冪,設(shè)A是n階方陣，k為正整數(shù)，則,表示,k個A連乘, 如,顯然，只有方陣的冪才有意義,四、轉(zhuǎn)置矩陣 (Transpose),行、列對調(diào),例,運(yùn) 算 律,可推廣到有限多個的情形,定義1.6 (P6) 把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到一個新矩陣,叫做的A轉(zhuǎn)置矩陣，記作 或,對稱矩陣,如果方陣A滿足,就稱A為對稱矩陣,例如,定義1.7 (P10),設(shè)A為n階方陣,AB=BA=I,就稱為A可逆矩陣，,如果存在n階方陣B，使得,并稱B為A的逆矩陣（簡稱A的逆),記作,定理1.1,如果A是可逆矩陣，則A的逆矩陣是唯一的,證明,設(shè)B和C都是A的逆矩陣

9、，,則AB=BA=I, AC=CA=I,B,=BI,=B(AC),=(BA)C,=IC,=C,1.1.4 逆矩陣,證明 (1),相似可證,性質(zhì)1.2,（3）如果A為可逆矩陣，則A-1也可逆，且,性質(zhì)1.3,如果A和B為同階可逆矩陣，則AB可逆，且,證明,故由推論1便知AB可逆，且,可推廣到有限個情形,39,逆矩陣的性質(zhì)（P10-P11）,1、逆矩陣是唯一存在的。,6、若A可逆，則A-1也可逆，且 .,3、若A可逆，數(shù) ，則,4、若A、B為同階可逆矩陣，則,5、若A可逆，則,（此性質(zhì)可將定義簡化）,40,1.1.3 分塊矩陣及其運(yùn)算,用穿過矩陣的橫線和豎線將矩陣A分割成若干個子塊，以這些子塊為元

10、素的矩陣A稱為分塊矩陣。,例如,則A可記作,稱A為以子塊A11、A12、A13、A21、A22、A23為元素的分塊矩陣。,41,如：, 分塊矩陣,42,如：, 分塊矩陣,列分塊,行分塊,43,1、矩陣的分塊運(yùn)算分兩步完成，首先，視子塊為元素，按矩陣的運(yùn)算法則作第一步運(yùn)算，然后，在子塊的運(yùn)算中，再進(jìn)行實(shí)質(zhì)上的矩陣運(yùn)算。,2、在對矩陣進(jìn)行分塊時，必須遵守相應(yīng)運(yùn)算的前提條件。 如：相加減的矩陣，需采取完全相同的分塊方法；相乘時，左矩陣的列塊數(shù)必須等于右矩陣的行塊數(shù)，同時還須保證子塊運(yùn)算時的左子塊的列數(shù)必須等于右子塊的行數(shù)。,分塊矩陣的運(yùn)算：,44,分塊矩陣的加減運(yùn)算,設(shè)A、B同型，且采用完全相同的分塊方法，得,則,注意：A i j與B i j同型,45,分塊矩陣的數(shù)乘及轉(zhuǎn)置,設(shè)將A分塊得,則,46,分塊矩陣的乘法運(yùn)算,設(shè)A、B矩陣分塊得,則,其中,注意： A的列塊數(shù)=B的行塊數(shù)；A i k的列數(shù)=B k j的行數(shù),47,例8 設(shè),將A、B適當(dāng)分塊，計(jì)算AB.,解 將A、B作如下分塊：在二、三行之間插入橫線， 在二、三列之間插入豎線