1、4.1 定積分與不定積分的概念 4.2 基本積分方法 4.3 廣義積分,第4章 積 分,1.引例,a,b,x,如圖,由連續(xù)曲線y =f (x)， 直線x=a，x=b 及 x 軸圍成的 圖形稱為曲邊梯形. 下面我們求曲邊梯形的面積,4.1 定積分的概念,過(guò)每個(gè)分點(diǎn)xi (i=1,2,n) 作 y 軸的平行線，將曲邊 梯形分割成n個(gè)小曲邊梯形.,(1)分割,在(a,b)內(nèi)插入n-1個(gè)分點(diǎn),把區(qū)間a,b分成n個(gè)小區(qū)間,記每一個(gè)小區(qū)間 的長(zhǎng)度為,a,b,x,(2)近似,表示第i個(gè)小曲邊梯形的面積,在小區(qū)間 內(nèi)任取一點(diǎn) ,過(guò)點(diǎn) 作x軸的垂線與曲線交于點(diǎn) ,以 為底, 為高做矩形,以此矩形做為小曲邊梯形面

2、積的近似值,則,a,(3)求和,將所有矩形面積求和,則 即是曲邊梯形面積的近似值.,(4)取極限,記 為所有小區(qū)間中長(zhǎng)度的最大者,即 ,當(dāng) 時(shí),總和的極限就是曲邊梯形面積A,即,2.定積分的概念,定義,定積分(簡(jiǎn)稱積分),其中f(x)叫做被積函數(shù)，f(x)dx叫做被積表達(dá)式，x 叫做積分變量，a 叫做積分下限，b 叫做積分上限，a,b叫做積分區(qū)間.,根據(jù)定積分的定義，前面的引例就可以用定積分概念來(lái)描述：,曲線 、x軸及兩條直線x=a,x=b所圍成的曲邊梯形面積A等于函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的定積 分，即,關(guān)于定積分的概念，還應(yīng)注意兩點(diǎn): (1)定積分 是積分和式的極限，是一個(gè)數(shù)值，定積分值只

3、與被積函數(shù)f(x)及積分區(qū)間a,b有關(guān)，而與積分變量的記法無(wú)關(guān).即有,(2)在定積分 的定義中，總假設(shè) ，為了 今后的使用方便，對(duì)于 時(shí)作如下規(guī)定：,如果在a,b上 ，此時(shí) 由曲線y=f(x)，直線x=a，x=b及 x軸所圍成的曲邊梯形位于x軸的 下方，則定積分 在幾何 上表示上述曲邊梯形的面積是A的相反數(shù).,3 定積分的幾何意義：,如果在a,b上 ，則 在幾何上表示由曲線y=f(x)，直線x=a，x=b及 x軸所圍成的曲邊梯形的面積.,如果在a,b上f(x)既可取正值又可取負(fù)值，則定積分 在幾何上表示介于曲線y=f(x)，直線x=a，x=b及x軸之間的各部分面積的代數(shù)和.,性質(zhì)1 兩個(gè)函數(shù)代

4、數(shù)和的定積分等于它們定積分的代數(shù) 和，即,4.定積分的基本性質(zhì),設(shè)下面函數(shù)f (x)， fi (x)， g(x)在a,b上可積.,推論 有限個(gè)函數(shù)的代數(shù)和的定積分等于各函數(shù)的定積分的代數(shù)和，即,如果積分區(qū)間a,b被分點(diǎn)c分成區(qū)間a,c和c,b, 則,性質(zhì)3,性質(zhì)3表明定積分對(duì)積分區(qū)間具有可加性，這個(gè) 性質(zhì)可以用于求分段函數(shù)的定積分.,當(dāng)c在區(qū)間a,b 之外時(shí)，上面表達(dá)式也成立.,性質(zhì)2 被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外.,利用定積分的幾何意義，可分別求出,例1,解,性質(zhì)4,性質(zhì)5,推論1,推論2,性質(zhì)6 (估值定理),證明,例2,解,性質(zhì)7(定積分中值定理) 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上

5、連續(xù)，則在積分區(qū)間a,b上至少存在一個(gè)點(diǎn) ，使下式成立,證明 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值定理，f(x)在a,b上一定有最大值M和最小值m，由定積分的性質(zhì)6，有,即數(shù)值 介于f(x)在a,b上的最大值M和最小值m之間.根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理,至少存在一點(diǎn) ,使得,即,性質(zhì)7的幾何意義：,在 上至少存在一點(diǎn) ,使得曲邊梯形的面積等于同一底邊而高為 的矩形的面積.,如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，我們稱 為函數(shù)f(x)在a,b上的平均值.,如已知某地某時(shí)自0至24時(shí)天氣溫度曲線為f(t), t為時(shí)間，則 表示該地、該日的平均氣溫.,如已知

6、某河流在某處截面上各點(diǎn)的水深為h(x), (a為河流在該截面處水面之寬度)，則該河流 在該截面處的平均水深為 .,1.變上限積分,設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則對(duì)于任意的x ( )，積分 存在，且對(duì)于給定的x( ) 就有一個(gè)積分值與之對(duì)應(yīng)，所以上限為變量的積分 是上限x的函數(shù).,注意：積分上限x與被積表達(dá)式f(x)dx中的積分變量x是兩個(gè)不同的概念，在求積分時(shí)(或說(shuō)積分過(guò)程中)上限x是固定不變的，而積分變量x是在下限與上限之間,4.2 微分學(xué)基本定理,變化的，因此常記為,定理1,證明,由積分中值定理有,結(jié)論：變上限積分所確定的函數(shù) 對(duì)積分上限 x的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)f(t)在積分上限x處的

7、值f(x).,原函數(shù)不是唯一的,實(shí)際上,如果F(x)是f (x)的原函數(shù),那 么,F(x)+C也是f (x)的原函數(shù).因此原函數(shù)有無(wú)窮多個(gè).,設(shè) 和 都是 的原函數(shù),2.原函數(shù),如果F(x)的導(dǎo)數(shù)等于f(x), 則稱F(x)是f(x)的原函數(shù).,例如, 是 的原函數(shù).,則 即,即函數(shù)的任意兩個(gè)原函數(shù)之間相差一個(gè)常數(shù).,一個(gè)函數(shù)的變上限積分是這個(gè)函數(shù)的原函數(shù).,定理2 微積分學(xué)基本定理,2. 微積分學(xué)基本定理,證明,上式稱為牛頓-萊布尼茨公式，也稱為微積分基本定理.,牛頓萊布尼茨公式揭示了定積分與不定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系,并提供了計(jì)算定積分的簡(jiǎn)便的基本方法，即求定積分的值，只要求出被積函數(shù) f(x

8、)的一個(gè)原函數(shù)F(x)，然后計(jì)算原函數(shù)在區(qū)間a,b上的增量F(b)F(a)即可. 該公式把計(jì)算定積分歸結(jié)為求原函數(shù)的問(wèn)題，.,例1 求,解,例3 求,解,例2 求,解,例6計(jì)算由曲線 、直線 x =2 與x 軸圍成的圖形的面積,例4計(jì)算,，其中,解,解由定積分的幾何意義，得,4.2.3 不定積分的概念與性質(zhì),定義1 如果函數(shù)F(x)是f (x)在區(qū)間 I 上的一個(gè)原函數(shù)，那么f (x)的全體原函數(shù)F(x) C(C為任意常數(shù))稱為f (x)在區(qū)間 I 上的不定積分. 記作,其中記號(hào) 稱為積分號(hào)，f (x)稱為被積函數(shù)，f (x)dx稱為被積表達(dá)式，x 稱為積分變量，C 稱為積分常數(shù).,即,1.不

9、定積分的概念,例2 求,解,例1 求,解,例3 求,解,函數(shù)f (x)的原函數(shù)圖形稱為f (x)的積分曲線,不定積分表示的不是一個(gè)原函數(shù),而是無(wú)窮多個(gè)(全部)原函數(shù),通常說(shuō)成一族函數(shù),反映在幾何上則是一族曲線,這族曲線稱為f (x)的積分曲線族.,2.不定積分的幾何意義,在相同的橫坐標(biāo)處,所有積分曲線的斜率均為k,因此,在每一條積分曲線上,以x為橫坐標(biāo)的點(diǎn)處的切線彼此平行（如圖）.f (x)為積分曲線在(x, f (x)處的切線斜率.,3 不定積分與微分的關(guān)系,微分運(yùn)算與積分運(yùn)算互為逆運(yùn)算.,特別地，有,4. 不定積分的性質(zhì),性質(zhì)1 被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以移到積分 號(hào)的前面.,性質(zhì)2可

10、以推廣到有限多個(gè)函數(shù)的情形，即,性質(zhì)2 兩個(gè)函數(shù)的和(或差)的不定積分等于各函數(shù) 不定積分的和(或差)，即,4.1.4 不定積分的基本積分公式,例4 計(jì)算下列積分,解,例5 計(jì)算下列積分,解 (1),(2),例6 求,解,注: 逐項(xiàng)積分后，每個(gè)積分結(jié)果中均含有一個(gè)任意 常數(shù)由于任意常數(shù)之和仍是任意常數(shù)，因此只 要寫(xiě)出一個(gè)任意常數(shù)即可,例7 求,解,例8 求,解,例9 求,解,例10 求,解,解,例11 求,例12 求,解,有些積分在基本積分公式中沒(méi)有相應(yīng)的類型，但 經(jīng)過(guò)對(duì)被積函數(shù)的適當(dāng)變形，化為基本公式所列函數(shù) 的積分后，便可逐項(xiàng)積分求得結(jié)果如例912。,解 設(shè)所求的曲線方程為 ,依題意可知,

11、因此所求曲線的方程為,被積函數(shù)cos 2x與公式 中的被積函數(shù)不一樣. 如果令u=2x，則cos2x=cos u，d u=2dx，從而,4.3.1 換元積分法,例1,所以有,一、不定積分的換元法,1。第一類換元法(湊微分法),4.3 積分法,綜合上述分析，此題的正確解法如下：,解,定理1,根據(jù)不定積分的定義，則有,公式(1)稱為不定積分的第一換元積分公式，應(yīng)用第一換元積分公式計(jì)算不定積分的方法稱第一換元積分法.也稱“湊微分”法,應(yīng)用定理1求不定積分的步驟為,例2 求,解,解,例3 求,例4 求,解,例5 求,類似地，有,解,2. 第二類換元積分法,例6 求,解 作變量代換,令 ,可將無(wú)理函數(shù)化

12、為 有理函數(shù)的積分,所以有,一般的說(shuō)，若積分 不易計(jì)算可以作適當(dāng)?shù)?變量代換 ，把原積分化為 的形 式而可能使其容易積分.當(dāng)然在求出原函數(shù)后， 還要 將 代回.還原成x的函數(shù)，這就是第二換元 積分法計(jì)算不定積分的基本思想.,設(shè) 是單調(diào)可導(dǎo)的函數(shù)， 且,定理2,那么,應(yīng)用第二類換元法求不定積分的步驟為,例7 求,解,例8 求,解,二.定積分的換元法,定理 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，若 滿足下列三個(gè)條件：,上述公式稱為定積分的換元積分公式，簡(jiǎn)稱換元公式.,(2)當(dāng)t在與之間變化時(shí)， 單調(diào)變化且 連續(xù)，則,注意：,(1)定積分的換元法在換元后，積分上，下限也要作相應(yīng)的變換，即“換元必?fù)Q限”.

13、,(2)在換元之后，按新的積分變量進(jìn)行定積分運(yùn)算，不必再還原為原變量.,(3)新變?cè)姆e分限可能，也可能，但一定要求滿足 ，即 對(duì)應(yīng)于 ， 對(duì)應(yīng)于 .,例1 求,解,方法二,注: 用第一類換元法即湊微分法計(jì)算一些定積分時(shí)，可以不引入中間變量,例2 求,解,證明,上面的性質(zhì)表明了連續(xù)的奇、偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間a,a上的積分性質(zhì)，即偶函數(shù)在a,a上的積分等于區(qū)間0,a上積分的兩倍；奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分等于零，可以利用這一性質(zhì)，簡(jiǎn)化連續(xù)的奇、偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的定積分的計(jì)算.,例3 求,解,例4 證明,證明,由函數(shù)乘積的微分公式,移項(xiàng)得,對(duì)上式兩端同時(shí)積分，得,公式(1)或公式(2)稱為分部積分公式 .,或,4.3.2 分部積分法,注意：,使用分部積分公式的目的是在于化難為易，解題的關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)倪x擇u和v.,例1 求,解,例2 求,解,例3 求,解,例4 求,解,例5 求,解,例6 求,解,例7 求,解,即一般情況下，u與dv按以下規(guī)律選擇,例8 求,解,在計(jì)算積分時(shí),有時(shí)需要同時(shí)使用換元積分法與分部積分法.,例9 求,解,例10 求,解,例11 計(jì)算,解,例12 求,解,4.3.1 無(wú)窮區(qū)間的反