1、計算固體力學(xué),64學(xué)時 研510 周二、周四9、10、11節(jié),第五章 單元構(gòu)造與分析,5.1 單元形狀與節(jié)點數(shù),三節(jié)點三角形單元 CST(常應(yīng)變單元) 線性三角形單元,六節(jié)點三角形單元 線性應(yīng)變?nèi)切?二次三角形單元,八節(jié)點四邊形單元,三角形單元網(wǎng)格劃分簡單； 常應(yīng)變?nèi)切螁卧獙τ趶澢?，過剛；加密網(wǎng)格時可以收斂，收斂很慢；對于平面應(yīng)變問題網(wǎng)格可能鎖定；線性應(yīng)變?nèi)切卧鑼憦澢阅苓h(yuǎn)優(yōu)于CST單元 四邊形單元剖分比較困難(但平面問題總的來說,剖分單元已可解決得很好) 四節(jié)點四邊形單元屬于Lagrange插值. 八節(jié)點四邊形單元非完全二次元,屬于Serendipty單元,四節(jié)點四邊形單元 雙線性位

2、移場,第五章 單元構(gòu)造與分析,5.1 單元形狀與節(jié)點數(shù),四節(jié)點四面體單元 線性位移場 常應(yīng)變,十節(jié)點四面體單元 完全二次位移場 線性應(yīng)變場,八節(jié)點四面體單元 Lagrange插值,二十節(jié)點Serendipity單元,四面體單元劃分網(wǎng)格簡單，八面體單元劃分網(wǎng)格困難得多，仍為研究前沿。,5.2 插值函數(shù),記場函數(shù)(如位移u,v,w)為，采用多項式插值函數(shù),計算該函數(shù)在單元節(jié)點的值，記為,實現(xiàn)了用場函數(shù)在節(jié)點的值和形函數(shù)來表示場函數(shù)在單元內(nèi)的分布,矩形單元Lagrange族和Serendipty族,Lagrange插值法 一維單元Lagrange插值法 線性單元 二次單元,二維矩形四節(jié)點及九節(jié)點單元

3、可用下列方式。,類似可推出16節(jié)點元,未知數(shù)太多,帶寬不等；可以推廣至三維問題；,非完全二次函數(shù),非完全四次函數(shù),相應(yīng)于中間點的形函數(shù)是個泡泡函數(shù),內(nèi)部自由度,Lagrange插值法 一維單元Lagrange插值法 線性單元 二次單元,三維六面體八節(jié)點及二十七節(jié)點單元可用下列方式。,可以推廣至三維問題；,非完全三次函數(shù),非完全六次函數(shù),相應(yīng)于中間點的形函數(shù)是個泡泡函數(shù),內(nèi)部自由度,利用性質(zhì),矩形單元Lagrange族和Serendipty族,Serendipty族單元 內(nèi)部沒有節(jié)點,但邊界有中間點，有比較巧妙的構(gòu)造方法,類似可推出12節(jié)點元,未知數(shù)太多,帶寬不等,改進(jìn)三角形單元,角點有旋轉(zhuǎn)自由

4、度單元：應(yīng)用于只有角節(jié)點的三角形單元；比CST單元性能好，比LST單元未知數(shù)少（每個單元9個未知數(shù)）為了和梁，板，殼連接需要，對于折板等計算特別有效。 構(gòu)造角點有自由度的單元可以從LST單元退化而來，設(shè)想角點i和j發(fā)生旋轉(zhuǎn),i,j,k,m,非協(xié)調(diào)元,6非協(xié)調(diào)元，有六個形函數(shù)，但是只有四個節(jié)點；二個形函數(shù)相當(dāng)在邊界的泡泡函數(shù)，相應(yīng)的四個未知數(shù)相應(yīng)于內(nèi)賓自由度，和其它相鄰單元無關(guān)。相鄰單元因此變形不協(xié)調(diào)，只在單元頂點聯(lián)結(jié)。結(jié)構(gòu)變形時，可以在單元間出現(xiàn)裂縫或迭合；,x,y,2a,2b,這樣的單元比柔順，因此雖然不協(xié)調(diào)，但給出的結(jié)果更好； 其結(jié)果從上面趨于真解；（協(xié)調(diào)元從下面趨于真解）,5.3 等參單

5、元,坐標(biāo)插值,位移插值,等參單元的要點是：將任意物理空間坐標(biāo)的單元變換到數(shù)學(xué)的自然坐標(biāo)系中，采用的變換函數(shù)和描寫場函數(shù)的單元形函數(shù)相同。如果位移映射的形函數(shù)階數(shù)高，則稱次參單元，否則稱超參單元。,等參單元使得我們可以處理非矩形、具有曲邊的單元，能夠使有限元模型更適應(yīng)形狀復(fù)雜的物體，等參元覆蓋所有的有限元類型。,單元剛度陣,應(yīng)變矩陣,注意:1.需要雅可比矩陣及其逆陣;2.積分已經(jīng)不可能解析地求得，必須數(shù)值積分；積分方法和精度成為討論的一個新問題；雖然某些情況可得到解析解，但公式繁瑣，編程復(fù)雜，特別是，計算的工作量可能不比數(shù)值積分的小.,數(shù)值積分,Gauss積分：,(1)一維Gauss積分,Hi為

6、Gauss權(quán)系數(shù),i為Gauss積分點,對于線性函數(shù)，一點積分給出精確結(jié)果 對于二次函數(shù)，二點積分給出精確結(jié)果 對于三次函數(shù)，三點積分給出精確結(jié)果,四點積分：f1+f2+f3+f4,九點積分： 25(f1+f3+f7+f9)/81+40(f2+f4+f6+f8)/81+64f5/81,(3)三維Gauss積分,對于矩形單元、平面四邊形單元、四面體單元和六面體單元（如果單元側(cè)面是平面），則剛度陣的被積函數(shù)是多項式，可以用適當(dāng)階數(shù)的數(shù)值積分求得精確的積分值。 對于具有曲邊曲面的單元，被積函數(shù)不是多項式，而是有理式，無法用有限階的數(shù)值積分得到準(zhǔn)確的積分值。提高積分階數(shù)當(dāng)然可以提高積分精度，但是，計算工作量增加很大。從計算工作量考慮，選擇低階積分是必要的。 選擇低階積分公式更重要的原因是：實踐發(fā)現(xiàn)，精確的單元剛度陣太剛，采用低階積分可以低估單元剛度，反而使計算更精確。但是，太低階數(shù)的積分會使單元剛度陣具有零能模式