1、2.4 概率的公理化定義,注意到不論是對(duì)概率的直觀理解，還是頻率定義方式，作為事件的概率，都應(yīng)具有三條基本性質(zhì)，在數(shù)學(xué)上，我們就可以從這些性質(zhì)出發(fā)，給出概率的公理化定義,1.定義(p13) 若對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)E所對(duì)應(yīng)的樣本空間中的每一事件A，均賦予一實(shí)數(shù)P(A)，集合函數(shù) P(A)滿足條件： (1) 非負(fù)性：P(A) 0； (2) 規(guī)范性： P()1； (3) 可列可加性：設(shè)A1，A2，, 是一列兩兩互不相容的事件，即AiAj，(ij), i , j1, 2, , 有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. (1.1) 則稱P(A)為事件A的概率。,2.概率的性質(zhì) P(13-15) (1)

2、 有限可加性：設(shè)A1，A2，An , 是n個(gè)兩兩互不相容的事件，即AiAj ，(ij), i , j1, 2, , n ,則有 P( A1 A2 An) P(A1) P(A2)+ P(An);,(3) 事件差 A、B是兩個(gè)事件，則 P(A-B)=P(A)-P(AB),(2) 單調(diào)不減性：若事件AB，則 P(A)P(B),特別的，A、B是兩個(gè)事件，AB，則 P(A-B)=P(A)-P(B).,(4) 加法公式：對(duì)任意兩事件A、B，有 P(AB)P(A)P(B)P(AB) 該公式可推廣到任意n個(gè)事件A1，A2，An的情形； (5) 互補(bǔ)性：P(A)1 P(A); (6) 可分性：對(duì)任意兩事件A、B

3、，有 P(A)P(AB)P(AB ) .,某市有甲,乙,丙三種報(bào)紙,訂每種報(bào)紙的人數(shù)分別占全體市民人數(shù)的30%,其中有10%的人同時(shí)定甲,乙兩種報(bào)紙.沒有人同時(shí)訂甲乙或乙丙報(bào)紙.求從該市任選一人,他至少訂有一種報(bào)紙的概率.,EX,解:設(shè)A,B,C分別表示選到的人訂了甲,乙,丙報(bào)紙，則,例1.3.2.在110這10個(gè)自然數(shù)中任取一數(shù)，求 （1）取到的數(shù)能被2或3整除的概率， （2）取到的數(shù)即不能被2也不能被3整除的概率， （3）取到的數(shù)能被2整除而不能被3整除的概率。,解:設(shè)A取到的數(shù)能被2整除; B-取到的數(shù)能被3整除,故,第三講 條件概率與乘法公式,狼來了：受騙兩次之后的村民們?cè)诘谌温牭健?/p>

4、狼來了”時(shí)，還會(huì)上山嗎？,袋中有十只球，其中九只白球，一只紅球，十人依次從袋中各取一球(不放回)，問 第一個(gè)人取得紅球的概率是多少？ 第二 個(gè)人取得紅球的概率是多少？,?,若已知第一個(gè)人取到的是白球，則第二個(gè)人取到紅球的概率是多少？,已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率稱為A條件下B的條件概率，記作P(B|A),若已知第一個(gè)人取到的是紅球，則第二個(gè)人取到紅球的概率又是多少？,一、條件概率,例1 設(shè)袋中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中任意抽取兩次，每次取一個(gè)，取后不放回， （1）已知第一次取到紅球，求第二次也取到紅球的概率; （2）求第二次取到紅球的概率 （3）求兩次均取到紅球的概率,設(shè)A第一

5、次取到紅球,B第二次取到紅球,S=,A,B,A第一次取到紅球, B第二次取到紅球,顯然，若事件A、B是古典概型的樣本空間S中的兩個(gè)事件，其中A含有nA個(gè)樣本點(diǎn),AB含有nAB個(gè)樣本點(diǎn)，則,稱為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率(p16),一般地，設(shè)A、B是S中的兩個(gè)事件，則,?,“條件概率”是“概率”嗎？,概率定義 若對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)E所對(duì)應(yīng)的樣本空間S中的每一事件A，均賦予一實(shí)數(shù)P(A)，集合函數(shù)P(A)滿足條件： P(A) 0； (2) P(S)1; (3) 可列可加性：設(shè)A1，A2，, 是一列兩兩互不相容的事件，即AiAj，(ij), i , j1, 2, , 有 P( A1 A2 ) P

6、(A1) P(A2)+. 則稱P(A)為事件A的概率。,例2.一盒中混有100只新、舊乒乓球，各有紅、白兩色，分 類如下表。從盒中隨機(jī)取出一球，若取得的是一只紅球，試求該紅球是新球的概率。,設(shè)A-從盒中隨機(jī)取到一只紅球. B-從盒中隨機(jī)取到一只新球.,A,B,二、乘法公式(p17),設(shè)A、B ，P（A）0,則 P(AB)P(A)P(B|A). (1.5.2) 式(1.5.2)就稱為事件A、B的概率乘法公式。,式(1.5.2)還可推廣到三個(gè)事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB). (1.5.3) 一般地，有下列公式： P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|

7、A1An1). (1.5.4),例3 盒子中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，每次從盒子中任取一只，觀察其顏色后放回，并再放入一只與所取之球顏色相同的球，若從盒子中連續(xù)取球4次,試求第1、2次取得白球、第3、4次取得紅球的概率。,解：設(shè)Ai為第i次取球時(shí)取到白球，i=14，則,第四講全概率公式與貝葉斯公式,例4.(p16)市場(chǎng)上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品，已知三家工廠的市場(chǎng)占有率分別為1/4、1/4、1/2，且三家工廠的次品率分別為 2、1、3，試求市場(chǎng)上該品牌產(chǎn)品的次品率。,B,定義 (p17)事件組A1，A2，An (n可為)，稱為樣本空間的一個(gè)劃分，若滿足：,A1,A2,An,B,定理1

8、、(p17) 設(shè)A1，, An是的一個(gè)劃分，且P(Ai)0，(i1，n)， 則對(duì)任何事件B 有,式(1.4.5)就稱為全概率公式。,例5 有甲乙兩個(gè)袋子，甲袋中有兩個(gè)白球，1個(gè)紅球，乙袋中有兩個(gè)紅球，一個(gè)白球這六個(gè)球手感上不可區(qū)別今從甲袋中任取一球放入乙袋，攪勻后再從乙袋中任取一球，問此球是紅球的概率？,解：設(shè)A1從甲袋放入乙袋的是白球； A2從甲袋放入乙袋的是紅球； B從乙袋中任取一球是紅球；,甲,乙,定理2 (p18) 設(shè)A1，, An是S的一個(gè)劃分，且P(Ai) 0，(i1，n)，則對(duì)任何事件BS，有,式(1.4.6)就稱為貝葉斯公式。,思考：上例中，若已知取到一個(gè)紅球，則從甲袋放入乙袋

9、的是白球的概率是多少？,答:,(P22) 商店論箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含 0，1，2只次品的概率分別為0.8, 0.1, 0.1，某顧客選中一箱，從中任選4只檢查，結(jié)果都是好的，便買下了這一箱.問這一箱含有一個(gè)次品的概率是多少？,解:設(shè)A:從一箱中任取4只檢查,結(jié)果都是好的. B0, B1, B2分別表示事件每箱含0，1，2只次品,已知:P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.1,由Bayes公式:,例6(p18)數(shù)字通訊過程中，信源發(fā)射0、1兩種狀態(tài)信號(hào)，其中發(fā)0的概率為0.55，發(fā)1的概率為0.45。由于信道中存在干擾，在發(fā)0的時(shí)候，接收端分別以概率0.9、

10、0.05和0.05接收為0、1和“不清”。在發(fā)1的時(shí)候，接收端分別以概率0.85、0.05和0.1接收為1、0和“不清”?，F(xiàn)接收端接收到一個(gè)“1”的信號(hào)。問發(fā)端發(fā)的是0的概率是多少?,0.067,解：設(shè)A-發(fā)射端發(fā)射0， B- 接收端接收到一個(gè)“1”的信號(hào),0 (0.55),0 1 不清,(0.9) (0.05) (0.05),1 (0.45),1 0 不清,(0.85) (0.05) (0.1),狼來了：假定孩子喊“狼來了”是半真半假。孩子說假話時(shí)，狼真的來了的概率是0.3；孩子說真話時(shí)，狼真的來了的概率是0.75，受騙兩次之后的村民們?cè)诘谌温牭健袄莵砹恕睍r(shí)，還會(huì)上山嗎？,解：設(shè)Ai-第i

11、次孩子說的是假話， 即狼沒來他說狼來了，i=1,2,3. B- 狼沒有來則P(Ai)=0.5,說明狼沒有來，小孩,條件概率,條件概率 小 結(jié),縮減樣本空間,定義式,乘法公式,全概率公式,貝葉斯公式,1.5 事件的獨(dú)立性一、兩事件獨(dú)立,(P19) 定義1 設(shè)A、B是兩事件，P(A) 0,若 P(B)P(B|A) (1.5.1) 則稱事件A與B相互獨(dú)立。 式(1.5.1)等價(jià)于： P(AB)P(A)P(B) (1.5.2),從一副52張的撲克牌中任意抽取一張，以A表示抽出一張A，以B表示抽出一張黑桃，問A與B是否獨(dú)立？,定理、以下四件事等價(jià)： (1)事件A、B相互獨(dú)立；(2)事件A、B相互獨(dú)立；

12、(3)事件A、B相互獨(dú)立；(4)事件A、B相互獨(dú)立。,二、多個(gè)事件的獨(dú)立,定義2、(p20) 若三個(gè)事件A、B、C滿足： (1) P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), 則稱事件A、B、C兩兩相互獨(dú)立；,若在此基礎(chǔ)上還滿足： (2) P(ABC)P(A)P(B)P(C), (1.5.3) 則稱事件A、B、C相互獨(dú)立。,一般地，設(shè)A1，A2，An是n個(gè)事件，如果對(duì) 任意k (1kn), 任意的1i1i2 ik n，具有等式 P(A i1 A i2 A ik)P(A i1)P(A i2)P(A ik) (1.5.4) 則稱n個(gè)事件A1，A2，An相互獨(dú)立。,思考： 1.設(shè)事件A、B、C、D相互獨(dú)立，則,2. 一顆骰子擲4次至少得一個(gè)六點(diǎn)與兩顆骰子擲24次至少得一個(gè)雙六，這兩件事，哪一個(gè)有更多的機(jī)會(huì)遇到？,答:0.518, 0.496,三、事件獨(dú)立性的應(yīng)用,1、加法公式的簡(jiǎn)化：若事件A1，A2，An相互獨(dú)立, 則 (1.5.5),2、在可靠性理論上的應(yīng)用 P23, 24如圖，1、2、3、4、5表示繼電器觸點(diǎn),假設(shè)每個(gè)觸點(diǎn)閉合的概率為p,且各繼電器接點(diǎn)閉合與否相互獨(dú)立，求L至R是通路的概率。,設(shè)A-L至R為通路,Ai-第i個(gè)繼電器通,i=1,2,5,