1、最新資料推薦巧用旋轉(zhuǎn)法解幾何題將一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)一個角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的連線所組成的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。旋轉(zhuǎn)法是在圖形具有公共端點的相等的線段特征時， 可以把圖形的某部分繞相等的線段的公共端點， 旋轉(zhuǎn)另一位置的引輔助線的方法，主要用途是把分散的元素通過旋轉(zhuǎn)集中起來，從而為證題創(chuàng)造必要的條件。旋轉(zhuǎn)方法常用于等腰三角形、等邊三角形及正方形等圖形中?，F(xiàn)就旋轉(zhuǎn)法在幾何證題中的應(yīng)用舉例加以說明，供同學(xué)們參考。例 1 如圖 , 在 rt abc中， c=90， d是 ab 的中點， e，f 分別 ac和 bc上，且 de df，求證： ef2=a

2、e2+bf2分析：從 所證的結(jié)論來看，令人聯(lián)想到勾股定理，但注意到ef， ae， bf 三條線段不在同一個三角形中，由于 d 是中點，我們可以考慮以d 為旋轉(zhuǎn)中心，將bf 旋轉(zhuǎn)到和 ae相鄰的位置，構(gòu)造一個直角三角形，問題便迎刃而解。證明：延長 fd到 g，使 dg=df，連接 ag， eg ad=db， adg= bdfc adg bdf（ sas） dag=dbf， bf=agef ag bc c=90 eag=90adb22222 eg=ae +ag=ae+bf de dfg eg=ef2 2 ef =ae +bf2例 2，如圖 2，在 abc中， acb=90， ac=bc， p 是

3、abc內(nèi)一點，且pa=3， pb=1， pc=2，求bpc的度數(shù) .分析：題目已知條件中給出了三條線段的長度和一個直角，但已知的三條線段不在同一三角形中，故可考慮通過旋轉(zhuǎn)變換移至一個三角形中，由于acb是等腰直角三角形，宜以直角頂點c 為旋轉(zhuǎn)中心。解：作 mc cp，使 mc=cp，連接 pm， bm1最新資料推薦 acb=90， pcm=90 1= 2 ac=bc， cap cbm（ sas） mb=ap=3 pc=mc， pcm=90 mpc=45mc由勾股定理 pm= pc 2mc 2=2pc 2=2 2 ，222 ）222p在 mpb中， pb +pm=（2+1 =9=bm mpb是直

4、角三角形ab bpc=cpm+ mpb=45 +90 =135例 3，如圖 3，直角三角形 abc中， ab=ac， bac=90 , eaf=45，求證： ef2=be2+cf2分析：本題求證的結(jié)論和例1 十分相似，無法直接用勾股定理，可通過旋轉(zhuǎn)變換將be， cf轉(zhuǎn)移到同一個直角三角形中，由于bac是等腰直角三角形，不妨以a 為旋轉(zhuǎn)中心，將bae和 caf合在一起，取零為整。證明：過a 作 ap ae交 bc的垂線 cp于 p，連結(jié) pfa eap=90， eaf=45 paf=45 bac=90 bae= pac ab=ac， b= acb=acp=45 abe acp（ asa） pc=

5、ae，ap=ae aef apf（ sas） ef=pf222222故在 rt pcf中， pf =cf+pc, 即 ef =cf+ae例 4，如圖 4，正方形 abcd中， e，f 分別在 ad，dc上，且 ebf=45， bm ef 于 m，求證： ba=bm分析 : 本題與例 3相同之處在于直角三角形家夾有45角，可利用相同的方法，將abe和 cbf“化散為整”來構(gòu)造全等三角形。n證明：延長 fc到 n，使 cn=ae，連結(jié) bnbcf2aed最新資料推薦四邊形abcd是正方形 ab=ac， bac=90 ebf=45 abe+ cbf=45由 abe cbn知 be=bn， cbn=

6、abe cbn+ cbf=45，即 ebf= nbf又 be=bn，bf=bf ebf nbf（ sas） bm=bcbm=ba例 5、如圖 6，五邊形 abcde中， ab ae， bc de cd， abc aed 180。求證： ade adc。解析：條件中有共點且相等的邊ae和 ab，可將 ade以點 a 為中心，順時針方向旋轉(zhuǎn)bae的角度到 afb的位置，如圖7。這就使已知條件abc aed 180和 bc de cd 通過轉(zhuǎn)化得到集中，使解題思路進(jìn)一步明朗。由 ade afb，得 aed abf， ade afb， ed bf， af ad。由 abc aed 180，得 abc

7、abf 180。所以 c、 b、 f 三點共線。又 cd bcde bcbf cf，故 cfd cdf。由 af ad，得到 dfafda。 ade afb cfd dfa cdf fda adc 。例 6、如圖， p 是等邊三角形 abc內(nèi)的一個點， pa=2， pb=2 3 ，pc=4，求 abc的邊長。分析： pa、pb、 pc比較分散，可利用旋轉(zhuǎn)將pa、 pb、 pc放在一個三角形中，為此可將bpa繞 b點逆時針方向旋轉(zhuǎn)60可得 bhc。解：把 bpa繞 b 點逆時針方向旋轉(zhuǎn)60得到 bhc。因為 bp=bh， pbh=60所以 bph是等邊三角形所以 bph=60，所以bp=ph 2

8、3又因為 hc=pa=2， pc=4所以所以 hcp是 rt ，所以 chp=903最新資料推薦又因為 hc=2， pc=4所以 hpc=30又因為 bph=60，所以 cpb=90在 rt bpc中，=12+16=28,bc2 7 ，那么 abc的邊長為 2 7 。例 7、如圖 2， o是等邊三角形abc內(nèi)一點，已知：aob=115， boc=125，則以線段oa、 ob、oc為邊構(gòu)成三角形的各角度數(shù)是多少？解：可將 boc繞 b點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60可得 bma。因為 bo=bm， mbo=60所以 bom是等邊三角形，所以 1=2=60又因為 aob=115，所以 moa=55又因為 a

9、mb= cob=125所以 amo=65又因為 am=oc， mo=bo所以 amo正好是以ao、 oc、bo為邊組成的三角形，所以 mao=180（ 55 +65） =180 120 =60即：以線段 oa、 ob、oc為邊構(gòu)成三角形的各角的度數(shù)分別為55、 65、 60。例 8、如圖 4，p 是正方形 abcd內(nèi)一點，將 abp繞點 b 順時針方向旋轉(zhuǎn)能與cbp 重合，若pb=3，求 pp 的長。分析：將 abp繞點 b 順時針方向旋轉(zhuǎn)能與cbp 重合，實際上就是把abp順時針方向旋轉(zhuǎn)90可得cbp ，即pbp90。解：因為 bpbp ,pbp90。所以pp bp 2p b232323 2

10、 。4最新資料推薦例 9、如圖 5， p 為正方形 abcd內(nèi)一點，且 pa：pb： pc=1： 2： 3，求 apb的度數(shù)。分析： pa：pb： pc=1： 2： 3，不妨設(shè) pa=1，pb=2，pc=3，而這些條件較分散，可設(shè)法把pa、pb、pc相對集中起來即把bcp繞 b點順時針方向旋轉(zhuǎn)90得到 bae。解：因為 bp=be， pbe=90所以 pe 22222 ，所以 pe22又在 ape中， aecp 3, pa2pe 2ae 2即 12(22) 232所以 ape=90即 apb=90 +45 =135所以 apb=135。例 10、如圖，正方形 abcd的邊長為 1，ab、 ad上各存一點 p、q，若 apq的周長為 2，求 pcq的度數(shù)。解：把 cdq繞點 c旋轉(zhuǎn) 90到 cbf的位置， cq=cf。因為 aq+ap+qp=2又 aq+qd+ap+pb=2所以 qd+bp=qp又 dq=bf，所以 pq=pf所以qcpfcp所以 qcp= fcp又因為 qcf=90，所以 pcq=45