1、第五節(jié) 曲面及其方程,一、曲面方程的概念 二、旋轉(zhuǎn)曲面 三、柱面 四、二次曲面,水桶的表面、臺(tái)燈的罩子面等,曲面在空間解析幾何中被看成是點(diǎn)的幾何軌跡,曲面方程的定義：,曲面的實(shí)例：,一、曲面方程的概念,2,以下給出幾例常見的曲面.,解,根據(jù)題意有,所求方程為,特殊地：球心在原點(diǎn)時(shí)方程為,3,解,根據(jù)題意有,所求方程為,4,根據(jù)題意有,化簡(jiǎn)得所求方程,解,5,例4 方程 的圖形是怎樣的？,根據(jù)題意有,圖形上不封頂，下封底,解,6,以上幾例表明研究空間曲面有兩個(gè)基本問題：,（2）已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀,（討論旋轉(zhuǎn)曲面）,（討論柱面、二次曲面）,（1）已知曲面作為點(diǎn)的軌跡時(shí)，求曲面方程,7

2、,8,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線分別稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。,9,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。,10,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。,11,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。,12,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義：以一條平

3、面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。,13,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。,14,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。,15,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。,16,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一

4、周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。,17,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。,18,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。,19,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。,20,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲

5、線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。,21,例5 證明以oz軸為旋轉(zhuǎn)軸，yoz坐標(biāo)面上的已知曲線,為母線所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)曲面S的方程為：,證明：,旋轉(zhuǎn)曲面如圖,設(shè)M(x, y, z)為旋轉(zhuǎn)曲面S上任意一點(diǎn)，,顯然，M一定是由母線C上某點(diǎn)M1(0, y1, z1)旋轉(zhuǎn)得到，,代入母線方程即得證明。,即,22,注意：,1. yoz平面上的母線 繞oz軸旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)曲面,2. yoz平面上的母線 繞oy軸旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)曲面,3. xoy平面上的母線 繞ox軸旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)曲面,例6 將下列各曲線繞對(duì)應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程,23,這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.,旋轉(zhuǎn)橢球面,旋轉(zhuǎn)拋物面,24,特點(diǎn)

6、：,曲面方程 中若除一個(gè)變量外，另外兩個(gè)變量能寫成平方和的形式，則該曲面是旋轉(zhuǎn)曲面,例：,25,解,圓錐面方程,26,27,播放,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過程:,沿定曲線C 移動(dòng)的動(dòng)直線L 所形成的曲面稱為柱面。,這條定曲線C 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L叫柱面的母線。,28,定義,三、柱面,沿定曲線C 移動(dòng)的動(dòng)直線L 所形成的曲面稱為柱面。,這條定曲線C 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L叫柱面的母線。,觀察柱面的形成過程:,29,定義,三、柱面,沿定曲線C 移動(dòng)的動(dòng)直線L 所形成的曲面稱為柱面。,這條定曲線C 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L叫柱面的母線。,觀察柱面的形成過程:,30,定義,三、柱面,沿定曲線C

7、 移動(dòng)的動(dòng)直線L 所形成的曲面稱為柱面。,這條定曲線C 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L叫柱面的母線。,觀察柱面的形成過程:,31,定義,三、柱面,沿定曲線C 移動(dòng)的動(dòng)直線L 所形成的曲面稱為柱面。,這條定曲線C 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L叫柱面的母線。,觀察柱面的形成過程:,32,定義,三、柱面,沿定曲線C 移動(dòng)的動(dòng)直線L 所形成的曲面稱為柱面。,這條定曲線C 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L叫柱面的母線。,觀察柱面的形成過程:,33,定義,三、柱面,沿定曲線C 移動(dòng)的動(dòng)直線L 所形成的曲面稱為柱面。,這條定曲線C 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L叫柱面的母線。,觀察柱面的形成過程:,34,定義,三、柱面,沿定曲線C 移動(dòng)的

8、動(dòng)直線L 所形成的曲面稱為柱面。,這條定曲線C 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L叫柱面的母線。,觀察柱面的形成過程:,35,定義,三、柱面,沿定曲線C 移動(dòng)的動(dòng)直線L 所形成的曲面稱為柱面。,這條定曲線C 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L叫柱面的母線。,觀察柱面的形成過程:,36,定義,三、柱面,沿定曲線C 移動(dòng)的動(dòng)直線L 所形成的曲面稱為柱面。,這條定曲線C 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L叫柱面的母線。,觀察柱面的形成過程:,37,定義,三、柱面,沿定曲線C 移動(dòng)的動(dòng)直線L 所形成的曲面稱為柱面。,這條定曲線C 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L叫柱面的母線。,觀察柱面的形成過程:,38,定義,三、柱面,沿定曲線C 移動(dòng)的動(dòng)直線L

9、 所形成的曲面稱為柱面。,這條定曲線C 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L叫柱面的母線。,觀察柱面的形成過程:,39,柱面舉例,拋物柱面,平面,40,母線平行于 z 軸的柱面方程為：,一般地，已知準(zhǔn)線方程,注意：方程中缺z，表示z可以任意取值，所以方程 表示母線平行于z軸的柱面。,一般地，在空間直角坐標(biāo)下,（缺z），,表示母線？，準(zhǔn)線為？的柱面。,（缺y），,表示母線？，準(zhǔn)線為？的柱面。,（缺x），,表示母線？，準(zhǔn)線為？的柱面。,41,問：,（1） 表示什么曲面？,（2） 表示什么曲面？,回顧,1. 三元方程 F(x,y,z)=0表示空間的一張曲面S。,2. 表示一張球面。,3. 表示空間的一張平面。,4

10、. yoz平面上的母線 繞oz軸旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)曲面,42,四、二次曲面,三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面。,目的：利用截痕法討論二次曲面的形狀。,即：用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌。,5. xoy平面上的準(zhǔn)線方程 母線平行于 z 軸的,柱面方程為：,其基本類型有:,橢球面、拋物面、雙曲面、錐面,43,（一）橢球面,橢球面與三個(gè)坐標(biāo)面的交線：,橢球面與平面 的交線為橢圓,同理與平面x=x1和y=y1 的交線也是橢圓,44,橢球面的幾種特殊情況：,旋轉(zhuǎn)橢球面,由橢圓 或 繞z軸旋轉(zhuǎn)而成。,球面,方程可寫為,45,（二）拋物面,（

11、p與q同號(hào)）,（1）橢圓拋物面,用截痕法討論：,（1）用坐標(biāo)面 xoy (z=0) 去截；,設(shè)p與q都大于零。,（2）用平面 去截；,（3）用坐標(biāo)面 xoz 或 yoz 去截；,（4）用平面 去截；,46,橢圓拋物面的圖形如下：,特殊地：當(dāng)p=q時(shí)，方程變?yōu)?旋轉(zhuǎn)拋物面,47,（2）雙曲拋物面（馬鞍面）,( p與q同號(hào) ),用截痕法討論：,設(shè),48,（三）雙曲面,單葉雙曲面,（1）,橢圓.,時(shí), 截痕為,(實(shí)軸平行于x 軸；,虛軸平行于z 軸）,平面,上的截痕情況:,雙曲線:,虛軸平行于x 軸）,時(shí), 截痕為,時(shí), 截痕為,(實(shí)軸平行于z 軸;,相交直線:,雙曲線:,51,雙葉雙曲面,（2）,單葉雙曲面,雙葉雙曲面,注意,(四） 橢圓錐面,橢圓,在平面 x0 或 y0 上的截痕為過原點(diǎn)的兩直線 .,可以證明, 橢圓上任一點(diǎn)與原點(diǎn)的連線均在曲面上.,(橢圓