1、常微分方程期中考試試卷(6) 一 . 解下列方程 1. x=+y2. tgydx-ctydy=03. y-x(+)dx-xdy=04. 2xylnydx+dy=05. =6-x6. =27. 已知f(x)=1,x0,試求函數(shù)f(x)的一般表達(dá)式。8一質(zhì)量為m質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，從速度為零的時(shí)刻起，有一個(gè)和時(shí)間成正比（比例系數(shù)為）的力作用在它上面，此外質(zhì)點(diǎn)又受到介質(zhì)的阻力，這阻力和速度成正比（比例系數(shù)為）。試求此質(zhì)點(diǎn)的速度與時(shí)間的關(guān)系。 二 證明題1. 證明：如果已知黎卡提方程的一個(gè)特解，則可用初等方法求得它的通解。2 試證：在微分方程mdx+ndy=0中，如果m、n試同齊次函數(shù)，且xm+yn0,則

2、是該方程的一個(gè)積分因子。試題答案：02412-35一 . 解下列方程1 解：將方程改寫為 =+ （*） 令u= ,得到x=x+ u,則(*)變?yōu)閤 = , 變量分離并兩邊積分得 arcsinu=ln +lnc, 故方程的解為arcsin=lncx。2 解：變量分離 ctgxdy=tgydx, 兩邊積分得 ln(siny)= ln+c或sinycosx=c (*) 另外，由tgy=0或ctgx=0得 y=k(k=0、1) ，x=t+(t=0、1)也是方程的解。 tgy=0或ctgx=0的解是(*)當(dāng)c=0時(shí)的特殊情況，故原方程的解為sinycosx=c。3解：ydx-xdy-x(+)dx=0,兩

3、邊同除以+得xdx=0,即d(arctg)d=0,故原方程的解為arctg=c。4 解：=2xlny+2x , =2x,則 =,故方程有積分因子=，原方程兩邊同乘以得dx+dy=0是恰當(dāng)方程. d(lny)+ydy=0,兩邊積分得方程的解為lny+=c。5 解：1）y=0是方程的特解。2）當(dāng)y0時(shí)，令z=得=z+x. 這是線性方程，解得它的通解為z=代回原來的變量y得方程解為=；y=0.6解：令x=u+3, y=v2, 可將原方程變?yōu)?，再令z=，得到z+=，即=，分離變量并兩端積分得=+lnc即ln+2arctgz=+lnc，ln=2arctgz+lnc代回原變量得v=c所以，原方程的解為y+2=c.7 解：令f(x)=y，=，兩邊求導(dǎo)得=y，即=y，即=dx，兩邊求積得=2x+c，從而y=，故f(x)= .8 解：因?yàn)閒=ma=m，又f=，即m= (v(0)=0)，即= (v(0)=0)，解得v=+(t).二、證明題1. 解：1）先找到一個(gè)特解y=。2）令y=+z，化為n=2的伯努利方程。證明：因?yàn)閥=為方程的解，所以=p(x)+q(x)+r(x) (1)令y=+z，則有+= p(x)+q(x)+r(x) (2)(2)(1)得= p(x)+q(x)z即=2p(x)+q(x)z+p(x