1、5.1 頻率特性 5.2 對數(shù)坐標圖 5.3 極坐標圖 5.4 用頻率法辨識線性定常系統(tǒng)的數(shù)學模型 5.5 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù) 5.6 相對穩(wěn)定性分析 5.7 頻域性能指標與時域性能指標之間的關系,第五章 頻率響應法,5.5 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù),系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件？,思 考,對于一個自動控制系統(tǒng)，其開環(huán)數(shù)學模型易于獲取，同時它包含了閉環(huán)系統(tǒng)所有環(huán)節(jié)的動態(tài)結構和參數(shù)。如果知道了開環(huán)特性，要研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性？,奈奎斯特（Nyquist）穩(wěn)定判據(jù)。 Nyquist穩(wěn)定判據(jù)是奈奎斯特于1932年提出的，是頻率法的重要內(nèi)容，簡稱奈氏判據(jù)。,一、輻角原理,對于一個復變函數(shù),式中 -zi(i =1,2,m)

2、為F(s)的零點， -pj(j =1,2,n)為F(s)的極點。,柯西輻角原理：s平面上不通過F(s)任何奇異點的封閉曲線Cs包圍s平面上F(s)的 Z 個零點和 P 個極點。當s以順時針方向沿封閉曲線Cs 移動一周時，在F(s)平面上映射的封閉曲線CF 將以順時針方向繞原點旋轉(zhuǎn) N 圈。N，Z，P的關系為：N = ZP。,若N為正，表示CF順時針運動，包圍原點；,若N為0， 表示CF順時針運動，不包圍原點；,若N為負，表示CF逆時針運動，包圍原點。,函數(shù)F(s)是復變量s的單值函數(shù)，s可以在整個s平面上變化，對于其上的每一點，除有限(n)個極點外，函數(shù)F(s)都有唯一的一個值與之對應。,對于

3、一個復變函數(shù),例設：,F(s)的值域構成的復平面稱為F(s)平面。其中s平面上的全部零點都映射到F(s)平面上的原點；s平面上的極點映射到F(s)平面上時都變成了無限遠點。除了s平面上的零、極點之外的普通點，映射到F(s)平面上是除原點之外的有限點。,注意，雖然函數(shù)F(s)從s平面到F(s)平面的映射是一一對應的，然而逆過程往往并非如此。例如已知,這個函數(shù)在有限的s平面上除s = 0,1, 2以外均解析，除此三點外，s平面上的每一個s值在F(s)平面只有一個對應點，但是F(s)平面上的每一個點在s平面上卻有三個映射點。,現(xiàn)考慮s平面上一點s1映射到F(s)平面上的點F(s1)可以用一個向量來表

4、示，即當,向量的幅值為,向量的相角為,Re,Im,s 平面,F(s)平面,當s平面上動點s從s1經(jīng)過某曲線CS到達s2，映射到F(s)平面上也將是一段曲線CF ，該曲線完全由F(s)表達式和s平面上的曲線Cs決定。若只考慮動點s從s1到達s2相角的變化量，則有,例,例設： ，當s平面上的動點沿平行于虛軸的直線，從(-1，j1)到(-1，j0) ，映射到F(s)平面上的點將沿某曲線從(0，-j1)到(-1，-j0) ，相角的變化為：,現(xiàn)考慮s平面上既不經(jīng)過零點也不經(jīng)過極點的一條封閉曲線Cs 。當變點s沿Cs順時針方向繞行一周，連續(xù)取值時，則在F(s)平面上也映射出一條封閉曲線CF 。在s平面上，

5、用陰影線表示的區(qū)域，稱為Cs的內(nèi)域。由于我們規(guī)定沿順時針方向繞行，所以內(nèi)域始終處于行進方向的右側(cè)。在F(s)平面上，由于Cs映射而得到的封閉曲線CF的形狀及位置，嚴格地決定于Cs 。,在這種映射關系中，有一點是十分重要的，即：不需知道圍線Cs的確切形狀和位置，只要知道它的內(nèi)域所包含的零點和極點的數(shù)目，就可以預知圍線CF是否包圍坐標原點和包圍原點多少次；反過來，根據(jù)已給的圍線CF是否包圍原點和包圍原點的次數(shù)，也可以推測出圍線Cs的內(nèi)域中有關零、極點數(shù)的信息。,1. 圍線Cs既不包圍零點也不包圍極點,如圖所示，在s平面上當變點s沿圍線Cs按順時針方向運動一周時，我們來考察F(s)中各因子項的輻角的

6、變化規(guī)律。,現(xiàn)以圖中未被包圍的零點-2為例。當變點s沿Cs繞行一周后，因子(s+2)的輻角a的變化為0。,同理，對未被包圍的極點也是一樣，因子項(s+0) 的輻角b在變點s沿Cs繞行一周后的變化也等于0。,于是，映射到F(s)平面上，當變點F(s)沿CF繞行一周后的輻角變化也應等于0。這表明，圍線CF此時不包圍原點。,2. 圍線Cs只包圍零點不包圍極點,如圖所示圍線Cs包圍一個零點z = -2，先考察因子(s+2)輻角a，當變點s沿Cs順時針繞行一周時，a 的變化為-360。映射到F(s)平面上對應變點F(s)沿CF繞行一周后的輻角變化也應等于-360,同理，當圍線Cs的內(nèi)域包含Z個零點時(但

7、不包含極點)， CF應順時針包圍原點Z次。, 圍線Cs只包圍極點不包圍零點,這種情況如圖所示，如果圍線Cs包圍一個極點 ，則當變點s沿Cs順時針繞行一周時，因子(s+0)-1的輻角-b將變化360。映射到 F(s)平面上，圍線CF應逆時針包圍原點一次。,同理，當圍線Cs的內(nèi)域只包含P個極點時， CF應逆時針包圍原點P次，或者說， CF順時針包圍原點-P次。, 圍線Cs包圍Z個零點和P個極點,由上述討論顯然可知，當變點s沿Cs順時針繞行一周時，CF應順時針包圍原點ZP次。亦即CF順時針包圍原點次數(shù)N = ZP。 這就是所謂輻角原理。,柯西輻角原理：s平面上不通過F(s)任何奇異點的封閉曲線Cs包

8、圍s平面上F(s)的 Z 個零點和 P 個極點。當s以順時針方向沿封閉曲線Cs 移動一周時，在F(s)平面上映射的封閉曲線CF 將以順時針方向繞原點旋轉(zhuǎn)N圈。N，Z，P的關系為：N = ZP。,二、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù),奈奎斯特巧妙地應用了輻角原理得到了奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)。設系統(tǒng)結構圖如圖所示,令：,顯然，令復變函數(shù)等于零即是閉環(huán)特征方程。復變函數(shù)的階數(shù)為n階，且分子分母同階。則復變函數(shù)可寫成以下形式：,。式中， 為F(s)的零、極點。,由上頁(a)、(b)及(c)式可以看出： F(s)的極點為 F(s)的零點為,開環(huán)傳遞函數(shù)的極點；,閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點；,奈奎斯特為了應用柯西輻角原理研究閉環(huán)系統(tǒng)的

9、穩(wěn)定性，因此設想：,如果有一個s平面的封閉曲線能包圍整個s右半平面，則根據(jù)柯西輻角原理知：該封閉曲線在F(s)平面上的映射包圍原點的次數(shù)應為： N =F(s)的右半零點數(shù)F(s)的右半極點數(shù) =閉環(huán)系統(tǒng)右半極點數(shù)開環(huán)系統(tǒng)右半極點數(shù),當已知開環(huán)右半極點數(shù)時，便可由 N 判斷閉環(huán)右極點數(shù)。,這里需要解決兩個問題： 1、如何構造一個能夠包圍整個s右半平面的封閉曲線，并且它是滿足柯西輻角條件的？ 2、如何確定相應的映射F(s)對原點的包圍次數(shù)N，并將它和開環(huán)頻率特性Gk(jw)相聯(lián)系？, 正虛軸：,第1個問題：先假設F(s)在虛軸上沒有零、極點。按順時針方向做一條曲線Cs包圍整個s右半平面，這條封閉曲

10、線稱為奈奎斯特路徑。如下圖所示。它可分為三部分：, 右半平面上半徑為無窮大的半圓：, 負虛軸：,F(s)平面上的映射是這樣得到的：, 以 s=Rejq 代入F(s)，令R，q : ，得第二部分的映射；,得到映射曲線后，就可由柯西輻角定理計算 N = ZP，式中Z、P是F(s)在s右半平面的零點數(shù)和極點數(shù)。,若已知P，并能確定N，可求出Z = N + P 。當Z = 0時，系統(tǒng)穩(wěn)定；否則不穩(wěn)定。, 以 s = jw 代入F(s)，令w 從0變化，得第一部分的映射；, 以 s = jw 代入F(s)，令w從0 ，得第三部分的映射。,F(s)對原點的包圍，相當于Gk(s)對(-1,j0)的包圍；即映

11、射曲線F(s)對原點的包圍次數(shù)N與Gk(s)對(-1,j0)點的包圍的次數(shù)一樣。,第部分的映射是Gk(jw)曲線向右移1；,F(s)的極點就是Gk(s)的極點，因此F(s)在右半平面的極點數(shù)就是Gk(s)在右半平面的極點數(shù)。,由Gk(jw)可求得F(jw) ，而Gk(jw)是開環(huán)頻率特性。,第2個問題：如何確定相應的映射F(s)對原點的包圍次數(shù)N，并將它和開環(huán)頻率特性Gk(jw)相聯(lián)系？,奈奎斯特所構造的的F(s)1Gk(s)，Gk(s)為開環(huán)傳遞函數(shù)。,第部分的映射，一般在Gk(s)中，分母階數(shù)比分子階數(shù)高，所以當s=ejq 時， Gk(s)0，即F(s)=1。若分母階數(shù) = 分子階數(shù)，則G

12、k(s)K(零極點形式的開環(huán)增益)，即F(s)=1+K。,第部分的映射是第部分的映射關于實軸的對稱。,根據(jù)上面的討論，如果將柯西輻角定理中的封閉曲線取奈奎斯特路徑，則可將柯西輻角定理用于判斷閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。就是下面所述的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)。,奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)：若系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面上有P個極點，且開環(huán)頻率特性曲線對(1，j0)點包圍的次數(shù)為N，（N 0順時針，N 0 逆時針），則閉環(huán)系統(tǒng)在右半平面的極點數(shù)為：Z = N + P。若 Z = 0 ，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。,奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的另一種描述： 設開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)Gk(s)在右半s平面上的極點數(shù)為P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分

13、必要條件為：在 Gk(s)平面上的開環(huán)頻率特性曲線及其鏡象當w從變化到+時，將以逆時針的方向圍繞(1，j0)點P圈。 對于開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的情況，P = 0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是開環(huán)頻率特性曲線及其鏡象不包圍(1，j0)點。 不穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面的極點數(shù)為：Z = N + P。,例 開環(huán)傳遞函數(shù)為： ，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解：,當參數(shù)K，T1 和T2為任何正值時， P = 0 。,開環(huán)系統(tǒng)的奈氏圖如右。在s右半平面的極點數(shù)為0，繞(1，j0)點的圈數(shù)N = 0，則閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面的個數(shù)： Z = N + P = 0 。故閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,奈氏圖,例5-6,系

14、統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,試用奈氏判據(jù)確定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。,解：,（1） 求 P = 1,（2）繪制 G(jw)H(jw) 曲線,GH曲線按逆時針方向圍 繞(-1, j0)點旋轉(zhuǎn)一周。,則 K 1,上面討論的奈奎斯特判據(jù)和例子，都是假設虛軸上沒有開環(huán)極點，即開環(huán)系統(tǒng)都是0型的，這是為了滿足柯西輻角定理的條件。但是對于I、II型的開環(huán)系統(tǒng)，由于在虛軸上（原點）有極點，因此不能使用柯西輻角定理來判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為了解決這一問題，需要重構奈奎斯特路徑。,設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：,可見，在原點有v重0極點。也就是在s = 0點，Gk(s)不解析，若取奈氏路徑同上時(通過虛軸的包圍整個s右半平面

15、的半圓)，不滿足柯西輻角定理。為了使奈氏路徑不經(jīng)過原點而仍然能包圍整個s右半平面，重構奈氏路徑如下：,以原點為圓心，半徑為無窮小做右半圓。這時的奈氏路徑由以下四部分組成：,三、開環(huán)傳遞函數(shù)在虛軸上有極點,(b)對于型系統(tǒng)：將奈氏路徑中的點 代入 中得：,所以這一段的映射為：半徑為 ，角度從 變到 的整個圓（順時針）。,所以這一段的映射為：半徑為 ，角度從 變到 的右半圓。,第C2部分： (a)對于型系統(tǒng)：將奈氏路徑中的點 代入 中得：,結論用上述形式的奈氏路徑，將C2部分在GH平面上的映射曲線與奈氏曲線在 w = j0+和 w = j0- 處相連接，就組成了一條封閉的曲線。這樣奈氏判據(jù)仍可應用

16、于I、II型系統(tǒng)。,例,系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,試判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解：由于該系統(tǒng)為I型系統(tǒng)，它在坐標原點處有一個開環(huán)極點。因而在s平面上的所取的奈氏路徑如圖所示。,該圖的C2部分在GH平面上的映射曲線為一半徑無窮大的半圓，它與奈氏曲線G(jw)H(jw)相連接后的圍線如下圖所示。,由圖可見，N = 0，而系統(tǒng)的P = 0，因而 Z = 0，即閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,例：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,則系統(tǒng)不穩(wěn)定,解：由開環(huán)傳遞函數(shù)得,所以 Z = 2,例：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,分析時間常數(shù)T1和T2對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。,解：由開環(huán)傳遞函數(shù)得,1）當T1 T2時， G(jw)H(jw) 曲線如圖

17、所示。,G(jw)H(jw) 曲線不包圍(-1, j0)，則 P=0，說明系統(tǒng)穩(wěn)定。,2）當T1 = T2時， G(jw)H(jw) 曲線如圖所示。,G(jw)H(jw) 曲線通過點(-1, j0)，說明閉環(huán)有極點位于 jw 軸上，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。,3）當T1 T2時， G(jw)H(jw) 曲線如圖所示。,G(jw)H(jw)曲線以順時針方向包圍(-1, j0)點旋轉(zhuǎn)兩周，這意味著有兩個閉環(huán)極點位于s的右半平面，說明系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,四、奈氏判據(jù)在對數(shù)坐標圖上的應用,與繪制系統(tǒng)奈奎斯特曲線相比，開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線的繪制更為簡單、方便。,博德圖是否也適用于奈氏判據(jù) ？,1. 奈氏圖與博德圖之間

18、的對應關系,在G(j)平面上，|G(j)|=1的單位圓的圓周，對應于對數(shù)幅頻特性的0分貝線； 單位圓外部如 (-,-1)區(qū)段，對應L () 0dB，單位圓內(nèi)部對應L() 0dB。 G(j)平面上的負實軸，對應于對數(shù)相頻特性上的 () = -180。 (-1, j0)點的向量表達式為1-180，對應于博德圖上穿過0分貝線，并同時穿過() = -180的點。,2. 穿越的概念,1）奈氏圖中的穿越：是指G(jw)H(jw)曲線包圍(-1, j0)點一周,正穿越：曲線以逆時針方向包圍(-1, j0)點一周，從上而下穿過負實軸一次。,穿越：在L()0dB的頻率范圍內(nèi)，相頻特性曲線穿過-180；在L()0dB的頻率范圍內(nèi)，相頻特性曲線穿過-180不是穿越。 正穿越N+：產(chǎn)生正的相位移，相頻特性應穿越-180線。 負穿越N-：產(chǎn)生負的相位移，相頻特性應穿越-180線 。,2）博德圖中的穿越：,負穿越：曲線以順時針方向包圍(-1, j0)點一周，則次曲線將由下向上穿越負實軸一次。,3.對數(shù)幅頻特性曲線的奈氏判據(jù),在博德圖上使用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)時，就是在L() 0dB的頻率范圍內(nèi)，根據(jù)相頻曲線穿越-180的相位線的次數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性做出判定。,對數(shù)頻率特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的奈氏穩(wěn)定判據(jù):,設開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平