1、高等流體力學(xué),4 流體力學(xué)基本方程,4 流體力學(xué)基本方程,流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律遵循物理學(xué)三大守恒定律，即：質(zhì)量守恒定律、動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律。流體動(dòng)力學(xué)基本方程組就是這三大定律對(duì)流體運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)描述。但是，流體力學(xué)基本方程組是不封閉的，要使其封閉還需增加輔助的物性關(guān)系，如：密度、比熱、粘性系數(shù)和熱傳導(dǎo)系數(shù)隨溫度、壓強(qiáng)的變化關(guān)系等。目前尚不能求得這一方程組的解析解，但研究這一方程組的性質(zhì)卻具有極其重要的意義，因?yàn)閷?shí)際流體的流動(dòng)過程遵循這一基本方程組。,4.1 系統(tǒng)和控制體的概念,4.1.1 系統(tǒng) 包含著確定不變的物質(zhì)的任何集合，稱之為系統(tǒng)，系統(tǒng)以外的一切，統(tǒng)稱為外界。系統(tǒng)的邊界是把系統(tǒng)和外界分開的

2、真實(shí)或假想的表面。在流體力學(xué)中，系統(tǒng)就是指由確定的流體質(zhì)點(diǎn)所組成的流體團(tuán)。,4.1.1 系統(tǒng),流體系統(tǒng)的邊界有如下特點(diǎn)：系統(tǒng)的邊界隨著流體一起運(yùn)動(dòng)。系統(tǒng)的體積邊界面的形狀和大小可以隨時(shí)間變化；在系統(tǒng)的邊界處沒有質(zhì)量交換，即沒有流體進(jìn)入或跑出系統(tǒng)的邊界；在系統(tǒng)的邊界上，受到外界作用在系統(tǒng)上的表面力；在系統(tǒng)邊界上可以有能量交換，即可以有能量(熱或功)通過邊界進(jìn)入或離開系統(tǒng)。,4.1.1 系統(tǒng),如果我們使用系統(tǒng)來研究連續(xù)介質(zhì)的流動(dòng)，那就意味著采用拉格朗日觀點(diǎn)，即以確定的流體質(zhì)點(diǎn)所組成的流體團(tuán)作為研究的對(duì)象。但是對(duì)大多數(shù)實(shí)際的流體力學(xué)問題來說，采用歐拉觀點(diǎn)更為方便，與此相應(yīng)，必須引進(jìn)控制體的概念。,4

3、.1 系統(tǒng)和控制體的概念,4.1.2 控制體 被流體所流過的相對(duì)于某個(gè)坐標(biāo)系來說是固定不變的任何體積稱之為控制體?？刂企w的邊界面，稱之為控制面。它總是封閉表面。占據(jù)控制體的諸流體質(zhì)點(diǎn)是隨著時(shí)間而改變的。,4.1.2 控制體,控制面有如下待點(diǎn)：控制體的邊界(控制面)相對(duì)于坐標(biāo)系是固定的；在控制面上可以有質(zhì)量交換，即有流體跑進(jìn)或跑出控制面；在控制面上受到控制體以外物體加在控制體之內(nèi)物體上的力；在控制面上可以有能量交換，即可以有能量(內(nèi)能、動(dòng)能、熱或功)跑進(jìn)或跑出控制面。,4.2 連續(xù)性方程,連續(xù)性方程是質(zhì)量守恒定律在運(yùn)動(dòng)流體中的數(shù)學(xué)表達(dá)式。連續(xù)性方程是運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，它與力無關(guān)，所以既適用于理想流體也

4、適用于粘性流體。 在流動(dòng)空間中，考察一微元控制體，其體積為dxdydz，對(duì)某一固定參考系統(tǒng)，它是固定在空間中的，如下圖所示。,4.2 連續(xù)性方程,質(zhì)量守恒定律可表述如下：控制體內(nèi)流體質(zhì)量的減少量應(yīng)等于從控制體凈流出的流體質(zhì)量。,4.2 連續(xù)性方程,(1) 控制體內(nèi)流體質(zhì)量的變化 dt時(shí)間中控制體內(nèi)流體密度的變化為 dt時(shí)間中控制體內(nèi)流體質(zhì)量的減少量為,4.2 連續(xù)性方程,(2) 通過控制面凈流出控制體的流體質(zhì)量 dt時(shí)間內(nèi)在x方向通過左右兩個(gè)側(cè)面(控制面)凈流出的流體質(zhì)量為 同理，dt時(shí)間中在y、z方向通過相應(yīng)控制面凈流出的流體質(zhì)量分別為,4.2 連續(xù)性方程,(3) 流體流動(dòng)的連續(xù)性方程 根據(jù)

5、質(zhì)量守恒定律，由上述分析可得出 對(duì)于單位時(shí)間單位體積空間而言 這就是直角坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程式，將之寫成向量形式即得,使用恒等式 ，連續(xù)性方程可寫成,4.2 連續(xù)性方程,按求和約定，連續(xù)性方程可表示成,展開,其中：,有源匯時(shí),有擴(kuò)散時(shí),或,其中 ，,4.2 連續(xù)性方程,兩種流體混合在一起流動(dòng)時(shí)的連續(xù)方程,4.2 連續(xù)性方程,對(duì)于定常流動(dòng)， ，連續(xù)性方程變成 按求和約定，上式表示成 它表示了單位時(shí)間流出單位體積空間的質(zhì)量等于流入該體積空間的質(zhì)量，也可以說微元控制體內(nèi)的流體密度不隨時(shí)間而改變。,4.2 連續(xù)性方程,對(duì)于不可壓縮流體的流動(dòng)問題， ，不可壓縮流體流動(dòng)的連續(xù)性方程為 按求和約定，上式表示

6、成 上式說明，由于流體微團(tuán)的密度和質(zhì)量在流動(dòng)過程中都不變，所以流體微團(tuán)的體積在運(yùn)動(dòng)中也不會(huì)改變。,積分形式的連續(xù)方程,4.2 連續(xù)性方程,在流場中取一封閉控制面A,設(shè)n為控制面的外法線,則單位時(shí)間內(nèi)凈流出控制面的質(zhì)量為:,此處 為控制面A上的法向分速,cs指控制面。根據(jù)質(zhì)量守恒定律和流動(dòng)連續(xù)性,凈流出控制面的質(zhì)量,必須使控制體內(nèi)質(zhì)量減少,單位時(shí)間控制體內(nèi)質(zhì)量的減少量為:,此處cv為控制體。故積分形式的連續(xù)方程為:,定常流動(dòng),不可壓縮流動(dòng),或,說明單位時(shí)間內(nèi)流出控制面的質(zhì)量等于流入控制面的質(zhì)量,說明單位時(shí)間內(nèi)流出控制面的流體體積等于流入控制面的流體體積,圓柱坐標(biāo)系(r,z)中，流體流動(dòng)的連續(xù)性方

7、程,， ，質(zhì)量流速,1、通過外表面積流入流出導(dǎo)致的質(zhì)量變化,微元體中心 P點(diǎn),坐標(biāo) ，流速 ，質(zhì)量流速,（1）徑向方向上（r坐標(biāo)），流體流入流出質(zhì)量差，,微元體中心,坐標(biāo) ，,質(zhì)量流速,內(nèi)側(cè)中心,坐標(biāo),質(zhì)量流速,質(zhì)量流量,外側(cè)中心,左側(cè)面流入質(zhì)量:,右側(cè)面流出質(zhì)量:,r軸軸方向上，流入流出質(zhì)量差，流體質(zhì)量增量,坐標(biāo),質(zhì)量流速,質(zhì)量流量,內(nèi)側(cè),外側(cè),內(nèi)側(cè)面流入質(zhì)量：,外側(cè)面流出質(zhì)量：,徑向方向上，流入流出質(zhì)量差，流體質(zhì)量增量,（2）切向方向上坐標(biāo)，流體流入流出質(zhì)量差,微元體中心,坐標(biāo) ，,質(zhì)量流速,后側(cè)面中心,坐標(biāo),質(zhì)量流速,質(zhì)量流量,前側(cè)面中心,后側(cè)面流入質(zhì)量,前側(cè)面流出質(zhì)量,軸軸方向上，流入

8、流出質(zhì)量差，流體質(zhì)量增量,坐標(biāo),質(zhì)量流速,質(zhì)量流量,后側(cè),前側(cè),后側(cè)面流入質(zhì)量：,前側(cè)面流出質(zhì)量：,切向方向上，流入流出質(zhì)量差，流體質(zhì)量增量,（3）軸向方向上z坐標(biāo)，流入流出質(zhì)量差,微元體中心,坐標(biāo) ，,質(zhì)量流速,下側(cè)中心,坐標(biāo),質(zhì)量流速,質(zhì)量流量,上側(cè)中心,下側(cè)面流入質(zhì)量,上側(cè)面流出質(zhì)量,z軸軸方向上，流入流出質(zhì)量差，流體質(zhì)量增量,坐標(biāo),質(zhì)量流速,質(zhì)量流量,下側(cè),上側(cè),下側(cè)面流入質(zhì)量：,上側(cè)面流出質(zhì)量：,軸向方向上，流入流出質(zhì)量差，流體質(zhì)量增量,Dt時(shí)間內(nèi)，由于流入流出，微團(tuán)內(nèi)流體質(zhì)量變化,2、因微團(tuán)內(nèi)流體密度變化而導(dǎo)致的質(zhì)量變化,t時(shí)刻,流體密度,微團(tuán)內(nèi)流體質(zhì)量,時(shí)刻,流體密度,微團(tuán)內(nèi)流體

9、質(zhì)量,時(shí)間內(nèi)，由于流體密度微團(tuán)內(nèi)流體密度變化而導(dǎo)致的質(zhì)量變化,3、根據(jù)質(zhì)量守恒定律,定常流動(dòng),不可壓縮流動(dòng),在球坐標(biāo)系(r,)中，流體流動(dòng)的連續(xù)性方程,定常流動(dòng),不可壓縮流動(dòng),4.3應(yīng)力狀態(tài),1、流場中任一點(diǎn)M的應(yīng)力,過M點(diǎn)且法向?yàn)閚 的單位微元面積A上所受表面力P,其中：,A分界面上包含M點(diǎn)的微元面積，外法線方向?yàn)?PA上作用的表面力,為矢量，其大小和方向不僅取決于M點(diǎn)在空間的位置 ，而且取決于微元面積A在空間的方位，即A的外法線方向 ，一般情況下， 與 方向不相同。,M點(diǎn)的應(yīng)力,4.3應(yīng)力狀態(tài),應(yīng)力的定義,過M點(diǎn)可做無數(shù)個(gè)不同方向 的微元面積A，因而M點(diǎn)上可作用有無數(shù)個(gè) ，故不可能用一個(gè)應(yīng)

10、力矢量 來描述運(yùn)動(dòng)流體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，必須尋找新的物理量。,雖然過同一點(diǎn)的不同微元面積上所作用的應(yīng)力各不相等，但它們并非互無聯(lián)系，包含M點(diǎn)在內(nèi)的法向?yàn)?的微元面積 上的應(yīng)力 ，可由包含同一點(diǎn)M的三個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)的微元面積上的應(yīng)力 線性地表示出來。,流場中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),運(yùn)動(dòng)的粘性流體內(nèi)任取一體積為V的微元四面體，其微元側(cè)面MBC、MAC、MAB分別與x、y、z軸相垂直，由于微元線段MA、MB、MC長度可任取，故斜面ABC具有任意的外法線方向 ，斜面ABC可標(biāo)記為 ，與x、y、z軸相垂直的三個(gè)微元側(cè)面MBC、MCA、MAB分別標(biāo)記為 、,、 ， 表示作用面方向，不表示應(yīng)力方向,第一個(gè)下標(biāo)表示作

11、用面的法線方向，第二個(gè)下標(biāo)表示應(yīng)力的投影分量,面,應(yīng)力,在三個(gè)坐標(biāo)方向上的投影,應(yīng)力之間的關(guān)系,微元體受力分析,表面力,面（ABC）上：,面（MBC）上：,面（MCA）上：,面（MAB）上：,體積力(質(zhì)量力),加速度,在所有力的合力作用下，微元四面體產(chǎn)生加速度，,根據(jù)牛頓第二定律,其中：,三階小量,二階小量,略去三階小量，可得,整理，得到,其中， 為方向余弦,外法向?yàn)?的微元面積 上的應(yīng)力 ，可由包圍同一點(diǎn)的三個(gè)互相垂直的坐標(biāo)平面內(nèi)的微元面積上的應(yīng)力 線性的表示出來,2、應(yīng)力張量,由于,因此 的分量，,由于 只取決于M點(diǎn)的空間坐標(biāo) 以及時(shí)間 t ，而與 無關(guān)，所以三個(gè)矢量的組合（九個(gè)分量）完全

12、描述了該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),P為應(yīng)力張量，即要找的描述運(yùn)動(dòng)的粘性流體內(nèi)任一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的物理量,P只是位置與時(shí)間的函數(shù)，而與微元面積的方位無關(guān)，某一時(shí)刻某一位置是完全確定的，雖然應(yīng)力張量P各分量的值依賴于坐標(biāo)的選擇，但P本身并不依賴于坐標(biāo)的選擇,P為二階張量，由動(dòng)量矩定理可以證明,因而P為對(duì)稱張量,二階對(duì)稱張量性質(zhì),（1）應(yīng)力張量的幾何表示為應(yīng)力二次曲面,在某微元面積 的法線n與應(yīng)力二次曲面的交點(diǎn)處作曲面的法線n,則該微元面積上的應(yīng)力 方向?qū)⑴cn平行。,應(yīng)力二次曲面,，法向主應(yīng)力，,在與主軸方向垂直的面上，只有法向應(yīng)力，切向應(yīng)力為零。若流體為各向同性，則可得，主應(yīng)力方向與主變形速度方向一致,（2）應(yīng)力

13、張量有三個(gè)互相垂直的主軸(即上述應(yīng)力二次曲面的主軸)方向，（二次曲面主軸），在主軸坐標(biāo)系中，應(yīng)力張量可寫成,（3）應(yīng)力張量有三個(gè)不變量,在主軸坐標(biāo)系中,這三個(gè)不變量可寫成:,在法線方向n上的投影可表示為,代入后整理得,由該式可知,當(dāng)n改變時(shí), 便改變,因而法向應(yīng)力 的大小也改變。這說明,運(yùn)動(dòng)粘性流體內(nèi)的法向應(yīng)力的大小與作用面的方位有關(guān)。而在運(yùn)動(dòng)理想流體和靜止流體內(nèi)則不然。,4.3 本構(gòu)方程,一般而言，所謂本構(gòu)方程是指描述物質(zhì)對(duì)所受力的力學(xué)響應(yīng)的方程。對(duì)運(yùn)動(dòng)的粘性流體而言，應(yīng)力與變形速度之間的關(guān)系稱為本構(gòu)方程。 4.3.1 流體的表面應(yīng)力張量 為了建立流體動(dòng)力學(xué)方程，需要分析流體微團(tuán)上所受到的各

14、種作用力。流體微團(tuán)受到的作用力可以分為兩大類：一類是質(zhì)量力，它是作用在流體所有質(zhì)點(diǎn)上的非接觸力，如重力、慣性力、電磁力等；另一類是表面力，它是作用在流體微團(tuán)界面上的接觸力，如壓力、摩擦力等?，F(xiàn)只考慮表面力。,4.3.1 流體的表面應(yīng)力張量,如右圖所示的正六面體流體微團(tuán)，在垂直于x軸的左右兩個(gè)側(cè)表面上，分別作用有合應(yīng)力 px 和,4.3.1 流體的表面應(yīng)力張量,此處的下標(biāo)x表示應(yīng)力向量作用在與x軸垂直的微元面上。由此可得到作用在垂直于x軸的微元面上的表面力的合力為 同理，作用在垂直于y軸和z軸的微元面上的表面力的合力分別為,4.3.1 流體的表面應(yīng)力張量,綜和上述結(jié)果，可得到作用于單位體積流體的

15、表面力的合力 上式中px、py和pz都是向量，可以將它們沿三個(gè)坐標(biāo)方向分解，即分解成垂直于各微元面的正應(yīng)力和平行于各微元面的切應(yīng)力，例如上面圖中作用于與x軸垂直的微元面上的應(yīng)力px可分解成 同理,4.3.1 流體的表面應(yīng)力張量,下標(biāo)規(guī)定：第一個(gè)下標(biāo)代表應(yīng)力所在平面的外法線方向，第二個(gè)下標(biāo)代表應(yīng)力的方向。例如，xy表示作用在與x軸垂直的平面上沿y方向的切應(yīng)力。 由上述分析可見，要完全描述微元體上的應(yīng)力，則需要九個(gè)分量，這九個(gè)分量就組成了應(yīng)力張量，應(yīng)力張量可表示成,4.3.1 流體的表面應(yīng)力張量,可以證明，應(yīng)力張量是二階對(duì)稱張量。正應(yīng)力的正方向?yàn)樽饔妹嫱夥ň€方向；對(duì)于切應(yīng)力，當(dāng)作用面的外法線沿坐標(biāo)

16、軸的正方向時(shí)，取沿坐標(biāo)軸正方向的切應(yīng)力為正，當(dāng)作用面的外法線沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向時(shí)，取沿坐標(biāo)軸負(fù)方向的切應(yīng)力為正。 這樣，單位體積流體的表面力可寫成,應(yīng)力張量,，,，,，,應(yīng)變速率張量,，,體變形直線變形速率分量,角變形剪切變形速率分量,尋找應(yīng)力張量 與變形速度張量 之間的聯(lián)系本構(gòu)方程,4.3.2 牛頓流體的本構(gòu)方程,物質(zhì)所受到的應(yīng)力與運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)之間存在著一定的關(guān)系。在彈性力學(xué)中，這種關(guān)系是由虎克定律表示的，即彈性固體中應(yīng)力與應(yīng)變成正比(=，式中E為常數(shù)，稱為彈性模量或楊氏模量常數(shù))；在流體力學(xué)中，不同性質(zhì)的流體這種關(guān)系有不同的類型，對(duì)于水、空氣和潤滑油等化學(xué)結(jié)構(gòu)比較簡單的低分子流體，應(yīng)力與變形速

17、率成正比，也就是說，應(yīng)力與變形速率之間存在著線性關(guān)系，服從這種線性關(guān)系的流體稱為牛頓流體。,4.3.2 牛頓流體的本構(gòu)方程,牛頓提出了關(guān)于粘性流體作直線層狀運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩流體層間的切應(yīng)力的假設(shè)。認(rèn)為切應(yīng)力與層間速度梯度成正比，即 為動(dòng)力粘性系數(shù)， 其值取決于流體的 物理性質(zhì)。通常稱 上式為牛頓內(nèi)摩擦 定律。,4.3.2 牛頓流體的本構(gòu)方程,根據(jù)變形率張量和應(yīng)力張量，上式左邊對(duì)應(yīng)于平面直線運(yùn)動(dòng)特殊情況下的應(yīng)力張量的一個(gè)切向分量，右邊的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)于變形率張量的一個(gè)分量。因此，可以理解為yx與yx成正比例,4.3.2 牛頓流體的本構(gòu)方程,斯托克斯將牛頓內(nèi)摩擦定律推廣到粘性流體的任意流動(dòng)情形中去，假設(shè)：

18、1) 流體是連續(xù)的，其應(yīng)力張量是變形率張量的線性函數(shù)。,切向應(yīng)力的每一個(gè)分量都與相應(yīng)的剪切變形速度成比例,應(yīng)力張量 與變形速度張量 之間為線性關(guān)系,反映了切向應(yīng)力與剪切變形速度之間的關(guān)系,法向應(yīng)力與直線變形速度之間的關(guān)系？,本構(gòu)方程,2) 流體是各向同性的，即它的性質(zhì)與方向無關(guān)。因此，無論坐標(biāo)系如何選取，它的應(yīng)力與變形率的關(guān)系是相同的。,流體內(nèi)每一點(diǎn)變形速度主軸均與應(yīng)力主軸重合,對(duì)于各向同性流體，其物理參數(shù)與方向無關(guān)，只是坐標(biāo)的函數(shù)，因而，應(yīng)力張量與變形速度之間的關(guān)系也與方向無關(guān),主軸方向,對(duì)于各向同性流體，每兩個(gè)主應(yīng)力之差與相應(yīng)的主相對(duì)直線變形速度之差的比值均相等，且等于,3) 當(dāng)流體靜止，

19、即變形率為零時(shí)，流體中的應(yīng)力就是流體靜壓力。,主應(yīng)力主應(yīng)變,流體內(nèi)每一點(diǎn)平均法向應(yīng)力由以下兩部分構(gòu)成,靜壓不依賴于變形速度,附加應(yīng)力與體變形速率成正比例,靜止流體中，切應(yīng)力為零，正應(yīng)力數(shù)值上等于流體靜壓,其中：,第二粘性系數(shù)（體積粘性系數(shù)）,即得到法向應(yīng)力與直線變形速率之間關(guān)系,整合,其中， 為粘性應(yīng)力張量,不可壓縮流體,靜止流體,理想流體,運(yùn)動(dòng)粘性流體內(nèi)應(yīng)力與應(yīng)變速度關(guān)系(粘性流體本構(gòu)方程),法向應(yīng)力與直線變形速率之間關(guān)系的三式疊加,粘性流體內(nèi)一點(diǎn)平均壓強(qiáng),，應(yīng)力不變量定義粘性流體內(nèi)一點(diǎn)平均壓強(qiáng)。用 定義 是因?yàn)?是應(yīng)力張量中，在坐標(biāo)變換中的不變量。,單原子氣體,體積粘性系數(shù) ，,多原子氣體

20、,不為零但很小，Stokes假設(shè)認(rèn)為， ，,靜止流體,，,，,理想流體,無論靜止、流動(dòng)， ，,不可壓縮流體,，,粘性流體內(nèi)一點(diǎn)平均壓強(qiáng),4.3.2 牛頓流體的本構(gòu)方程,或者 式中的負(fù)號(hào)表示壓力的方向總是與微元體表面外法線方向相反，I為單位張量 實(shí)驗(yàn)證明，對(duì)大多數(shù)常見的液體和氣體，上述假設(shè)是對(duì)的。,4.3.2 牛頓流體的本構(gòu)方程,根據(jù)應(yīng)力張量與變形率張量是線性關(guān)系以及流體是各向同性的假設(shè)，可以將應(yīng)力張量與變形率張量的線性關(guān)系式寫成 式中的系數(shù)a和b應(yīng)該是標(biāo)量。 由于關(guān)系式是線性的，因此系數(shù)a不可能與張量和中的分量有關(guān)，而應(yīng)該與流體運(yùn)動(dòng)形態(tài)無關(guān)，它是取決于流體的物理屬性的系數(shù)。參照牛頓內(nèi)摩擦定律，

21、令,4.3.2 牛頓流體的本構(gòu)方程,至于系數(shù)b，由于在應(yīng)力張量與變形率張量線性關(guān)系式中右邊第二項(xiàng)是b與單位張量I的乘積，要保持該式的線性關(guān)系，b只能由張量與的分量線性地組成。又由于b是標(biāo)量，因此它應(yīng)該由張量與的分量中，那些當(dāng)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換時(shí)其值不變的分量組合來構(gòu)成。對(duì)二階張量而言，主對(duì)角線上三個(gè)分量的和為它的線性不變量(即第一不變量)。,4.3.2 牛頓流體的本構(gòu)方程,對(duì)于應(yīng)力張量的線性不變量為 對(duì)于變形率張量的線性不變量為 通過上述分析，可以寫出標(biāo)量b的一般關(guān)系式 式中的b1、b2、b3為待定常數(shù)。,4.3.2 牛頓流體的本構(gòu)方程,將標(biāo)量b的表達(dá)式代入應(yīng)力張量與變形率張量線性關(guān)系式中，得 取等式

22、兩邊主對(duì)角線上三個(gè)分量之和，可得 歸并同類項(xiàng)后，得 在靜止?fàn)顟B(tài)下， ，而且 ，因此，上式可以寫成,4.3.2 牛頓流體的本構(gòu)方程,由于b1、b3均為常數(shù)，而且要求在靜壓力p0值為任意情況下均成立，則只有 而 這三個(gè)系數(shù)確定以后，就可得出應(yīng)力張量與變形率張量之間的一般線性關(guān)系式,4.3.2 牛頓流體的本構(gòu)方程,對(duì)于非粘性流體，一點(diǎn)的壓強(qiáng)在各個(gè)方向是相等的，此處引入平均壓強(qiáng)的概念，即 對(duì)于粘性流體來講，類似地采用這樣的平均法向應(yīng)力，有 如果待定常數(shù)b2記為，則 通常稱上式為廣義牛頓內(nèi)摩擦定律，稱為膨脹粘性系數(shù)。,4.3.2 牛頓流體的本構(gòu)方程,如以u(píng)i和xi (i1,2,3)分別代替ux,uy,u

23、z和x,y,z，則可以寫出在直角坐標(biāo)系中應(yīng)力張量與變形率張量各分量之間的關(guān)系式,4.3.2 牛頓流體的本構(gòu)方程,對(duì)于不可壓縮流體， 則,4.3.2 牛頓流體的本構(gòu)方程,廣義牛頓內(nèi)摩擦定律建立了在一般情況下應(yīng)力張量與變形率張量之間的關(guān)系，它是粘性流體力學(xué)的個(gè)理論基礎(chǔ)。雖然在推廣的過程中采用了一些無法用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的不很嚴(yán)格的假定，但是根據(jù)這一關(guān)系所得出的粘性流體力學(xué)方程組對(duì)許多問題的解，均被實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。因此間接地證明了這些推廣的可靠性。,直角坐標(biāo)系,圓柱坐標(biāo)系,球坐標(biāo)系,4.4 粘性流體運(yùn)動(dòng)方程,運(yùn)動(dòng)方程(動(dòng)量方程)是動(dòng)量守恒定律對(duì)于運(yùn)動(dòng)流體的表達(dá)式。在充滿運(yùn)動(dòng)流體的空間中，任取一控制閉曲面A，其所

24、包圍的流體體積為V。根據(jù)動(dòng)量守恒定律，該體積流體的動(dòng)量變化率等于作用在該體積流體上的質(zhì)量力和表面力之和。設(shè)單位質(zhì)量流體的質(zhì)量力為f，當(dāng)質(zhì)量力僅為重力時(shí)，fg。單位面積上的表面力為n，對(duì)粘性流體來講可以有切向分量與法向分量。 作用在該流體上的質(zhì)量力和表面力之和為 而動(dòng)量的變化率為,4.4 粘性流體運(yùn)動(dòng)方程,根據(jù)動(dòng)量定理有 根據(jù)張量運(yùn)算的高斯公式(體積積分與面積積分的關(guān)系)，上式右邊可改寫成 式中 為應(yīng)力張量的散度。再根據(jù)隨體導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式 這樣，就有,4.4 粘性流體運(yùn)動(dòng)方程,由于被積函數(shù)連續(xù)，且體積V是任意選取的，因此 此即為粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程式。在直角坐標(biāo)系中可寫成,4.4 粘性流體運(yùn)動(dòng)方

25、程,在質(zhì)量力已知的情況下，對(duì)于不可壓縮流體有12個(gè)未知量：3個(gè)速度分量及9個(gè)應(yīng)力分量，而僅有4個(gè)方程(3個(gè)分量的動(dòng)量方程和連續(xù)性方程)，不足以解12個(gè)未知數(shù)(至于可壓縮流體雖然又多了一個(gè)未知量密度，但可以多一個(gè)熱力學(xué)方程，不影響上述分析)。因此，需要運(yùn)用廣義牛頓內(nèi)摩擦定律，將應(yīng)力張量用變形率張量來表示。,4.4 粘性流體運(yùn)動(dòng)方程,廣義牛頓內(nèi)摩擦定律為 所以 這就是向量形式的運(yùn)動(dòng)微分方程式，在此方程式中則僅包括四個(gè)未知數(shù)：三個(gè)速度分量及一個(gè)壓強(qiáng)p。由此也可以進(jìn)一步體會(huì)到廣義牛頓內(nèi)摩擦定律在粘性流體力學(xué)中的重要意義。,4.4 粘性流體運(yùn)動(dòng)方程,根據(jù)變形率張量的表達(dá)式，可以將上式等號(hào)右邊的最后一項(xiàng)加

26、以變換。為簡單起見，限在直角坐標(biāo)系中討論。對(duì)于 的第一分量為 對(duì)于第二、第三個(gè)分量，也可以得到類似的結(jié)果，即,4.4 粘性流體運(yùn)動(dòng)方程,因此，在直角坐標(biāo)系中，粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程式可寫成,直角坐標(biāo)系下,（1）、流體微團(tuán)受力與運(yùn)動(dòng)分析,x方向,表面力,法向,切向,體積力,牛頓第二定律,同理， y、z方向,（2）、NS方程,代入本構(gòu)方程,，若取 時(shí)，則有,當(dāng) 時(shí),矢量表示,幾種正交曲線坐標(biāo)系中的形式,（1）N-S方程在柱坐標(biāo)中的表達(dá)式,（2）N-S方程在球坐標(biāo)中的表達(dá)式,4.4 粘性流體運(yùn)動(dòng)方程,對(duì)于不可壓縮流體， ，而且粘性系數(shù)可以近似地看作常數(shù)，因此向量形式的運(yùn)動(dòng)微分方程式可簡化為 方程右端

27、最后一項(xiàng) 的三個(gè)分量分別為,4.4 粘性流體運(yùn)動(dòng)方程,考慮到不可壓縮流體的連續(xù)性方程 ，則 不可壓縮流體的動(dòng)量方程可寫成 不可壓縮實(shí)際流體的動(dòng)量微分方程式，通常稱之為納維爾-斯托克斯(Navier-Stokes)方程，簡稱N-S方程。,4.4 粘性流體運(yùn)動(dòng)方程,在直角坐標(biāo)系中，不可壓縮流體的動(dòng)量方程可以寫成,4.4 粘性流體運(yùn)動(dòng)方程,在圓柱坐標(biāo)系(r,z)中，不可壓縮流體的動(dòng)量方程可以寫成,特殊情況,定常流動(dòng),理想流體,退化為歐拉方程,粘性不可壓縮流體NS方程性質(zhì),（1）、理想（無粘）不可壓縮流體勢流解,無粘， ，右端粘性項(xiàng)消失，退化為歐拉方程,無旋，則有勢，存在速度勢函數(shù) ， ，不可壓縮無旋

28、流， ， ，右端粘性項(xiàng)消失，退化為歐拉方程，此時(shí)，無滑移邊界條件一般不滿足（固壁運(yùn)動(dòng)例外）,（2）、粘性流動(dòng)的精確解,簡單情形下，具有解析解,（3）、粘性流動(dòng)的近似解,粘性很大，,慣性項(xiàng)/粘性項(xiàng)很小，粘性力慣性力，用以描述速度很慢的流動(dòng)，緩慢流、爬流， 忽略慣性項(xiàng)，退化為線性方程，方程階數(shù)未降，仍滿足邊界條件,粘性很小，,慣性項(xiàng)/粘性項(xiàng)很大，粘性力慣性力， 若忽略粘性項(xiàng)，方程降階，不滿足邊界條件，但邊界以外的流動(dòng)仍然符合得很好，,解決方案： 外部解：歐拉方程 內(nèi)部解：邊界層,NS方程的幾種簡化,一、二維不可壓縮流動(dòng)渦量輸運(yùn)方程,連續(xù)性方程,運(yùn)動(dòng)方程,旋轉(zhuǎn)速度,即渦量輸運(yùn)方程,引入流函數(shù),即流函

29、數(shù)的Poisson泊松方程,渦量輸運(yùn)方程又可寫為,非線性四階偏微分方程，數(shù)值求解,二、理想不可壓縮流體渦量方程,歐拉方程,求旋,理想不可壓縮流體渦量方程,三、伯努利方程,理想（無粘）不可壓縮流體勢流解,歐拉方程,無旋， ，則有勢，,穩(wěn)定流,無旋流動(dòng)；沿流線運(yùn)動(dòng)；沿渦線運(yùn)動(dòng)；螺旋運(yùn)動(dòng)；靜止,伯努利方程,4.5 能量方程,能量方程是能量守恒定律對(duì)于運(yùn)動(dòng)流體的表達(dá)式。 在充滿運(yùn)動(dòng)流體的空間中，任取一閉曲面A(控制面)，其所包圍的流體體積為V(控制體)。根據(jù)能量守恒定律，該體積內(nèi)流體動(dòng)能的變化率等于單位時(shí)間內(nèi)質(zhì)量力和表面力所做的功與單位時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)所增加的熱量之和。,4.5 能量方程,該體積內(nèi)流體的動(dòng)能

30、包括：宏觀流體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能和微觀分子運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能(內(nèi)能)，對(duì)于單位質(zhì)量流體而言分別為(uu/2u2/2)和e。因此，總能量的變化率為 而單位時(shí)間內(nèi)質(zhì)量力和表面力所做的功為,4.5 能量方程,單位時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)所增加的熱量包括兩部分：一部分是熱傳導(dǎo)；另一部分是熱輻射以及化學(xué)反應(yīng)、燃燒或其它物理原因等傳入的熱量。 單位時(shí)間內(nèi)通過控制面A傳入控制體V的且由于熱傳導(dǎo)所增加的熱量，可以根據(jù)傅里葉定律求得 如以q表示由于熱幅射或其它原因在單位時(shí)間內(nèi)傳入單位質(zhì)量流體的熱量，則傳入體積為V的控制體的熱量為,4.5 能量方程,于是，根據(jù)能量守恒定律可以寫出 根據(jù)隨體導(dǎo)數(shù)的恒等關(guān)系式，有,4.5 能量方程,利用高斯公式，

31、可得 能量守恒關(guān)系可寫成,4.5 能量方程,由于控制體體積V是任意選取的，而且被積函數(shù)連續(xù)，因此 這就是流體流動(dòng)的能量微分方程式。 下面將它改寫成另一種形式。 根據(jù)張量與向量分析，可以獲得如下等式 式中 為應(yīng)力張量與變形率張量的標(biāo)量乘積，結(jié)果是二階張量。,4.5 能量方程,對(duì)于實(shí)際流體運(yùn)動(dòng)微分方程 可以看成單位體積流體所受力的平衡關(guān)系，現(xiàn)將其等式兩邊各點(diǎn)乘以速度向量u，得到的是功的平衡關(guān)系。 或者 因而有,4.5 能量方程,將上式代入流體流動(dòng)的能量微分方程式，得 上式簡化后，得 這就是用內(nèi)能表示的流體運(yùn)動(dòng)能量微分方程式。 它的物理意義是： 在單位時(shí)間內(nèi)，單位體積流體內(nèi)能的增加等于單位體積內(nèi)由于

32、流體變形運(yùn)動(dòng)時(shí)表面力所做的功 ，也可以說是應(yīng)力張量所做的功，加上熱傳導(dǎo)及由于熱輻射等其它原因傳入控制體內(nèi)流體的熱量 。,能量守恒定律：系統(tǒng)能量的增加=外界對(duì)系統(tǒng)做功+流入系統(tǒng)熱量之和,一、能量方程的推導(dǎo),微元體能量,，內(nèi)能+動(dòng)能,1、時(shí)間累積,時(shí)刻，,時(shí)刻，,增量,2、遷移（流入流出）,，流入，,，流出，,X方向：,Y方向：,Z方向：,代數(shù)和,3、熱傳遞,，單位面積上熱流矢量,，外法向，流出，則外界流入熱量,Dt時(shí)間內(nèi)整個(gè)控制面上,，流入，,，流出，,X方向，,Y方向，,Z方向，,傅里葉熱傳導(dǎo)公式,代數(shù)和,4、外力做功,（1）體積力,（2）表面力,微元體中心應(yīng)力,控制面上的應(yīng)力,X方向,y方向

33、,z方向,代數(shù)和,能量守恒定律,耗散項(xiàng),二、能量方程的一般形式,1、氣體,根據(jù)連續(xù)性方程：,對(duì)于完全氣體,，定壓比熱,若熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù),2、不可壓縮流體,對(duì)于不可壓縮流體，,，定容比熱,若熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù),4.6 流體力學(xué)基本方程組及其定解條件,4.6.1 基本方程組及其封閉性 為了討論和分析方便，將流體力學(xué)基本方程寫在一起，構(gòu)成基本方程組。為簡單起見，只在直角坐標(biāo)系下探討不可壓縮流體的流動(dòng)問題。,4.6.1 基本方程組及其封閉性,流體力學(xué)基本方程的分量形式,4.6.1 基本方程組及其封閉性,方程組獨(dú)立的未知物理量有ux、uy、uz、p、T、e共六個(gè)，方程的個(gè)數(shù)為五個(gè)。為使方程組封閉，須補(bǔ)充

34、內(nèi)能表達(dá)式 (cv為定容比熱)。 需要指出的是：因連續(xù)性方程、運(yùn)動(dòng)方程與能量方程不耦合，可以由連續(xù)性方程與運(yùn)動(dòng)方程聯(lián)立求出ux、uy、uz、p，然后再由能量方程解出T。,4.6.1 基本方程組及其封閉性,上述不可壓縮流體流動(dòng)的基本方程組，是二階非線性偏微分方程組。從數(shù)學(xué)角度看，在得到反映物理現(xiàn)象的微分方程組后，就要分析它是否正確，即所謂的適定問題。符合下列三個(gè)條件的微分方程組才是適定的(適定三條件)：存在解；解必須唯一；解必須穩(wěn)定。,4.6.1 基本方程組及其封閉性,關(guān)于流體力學(xué)基本方程組解的存在性與唯一性問題(特別是存在性問題)至今尚未能從理論上予以論證。但是，對(duì)于解決工程實(shí)際問題而言，人們

35、并不過份追究其數(shù)學(xué)上的嚴(yán)格性，因而往往可以不考慮這兩個(gè)問題，也就是說認(rèn)為方程組的解是存在的，而且在定解條件下解是唯一的。不過解的穩(wěn)定性問題需要給予重視。,4.6.2 定解條件,僅由封閉的流體力學(xué)基本方程組還不能確定具體的流動(dòng)形態(tài)，流動(dòng)問題還與流動(dòng)的初始情況和邊界情況密切相關(guān)。也就是說，一個(gè)封閉的微分方程組，加上恰當(dāng)規(guī)定的初始條件和邊界條件，才可能確定具體的解，才構(gòu)成一個(gè)定解問題。初始條件和邊界條件統(tǒng)稱為定解條件。在流體流動(dòng)問題中，只有非定常流才需要初始條件。,4.6.2 定解條件,所需邊界條件的數(shù)目取決于基本方程的類型和偏微分方程的階數(shù)。如果過多地給出邊界條件和初始條件，將會(huì)導(dǎo)致方程無解；如果

36、給出的邊界條件和初始條件不足，則將導(dǎo)致方程的解不唯一。,4.6.2 定解條件,根據(jù)偏微分方程理論，可按方程組的數(shù)學(xué)性質(zhì)將其分為不同的類型。以下為擬線性二階偏微分方程的一般形式 式中的系數(shù)A、B、C和D可能是x、y、 、 /x和 /y的非線性函數(shù)，但不包含 的二階偏導(dǎo)數(shù)。,4.6.2 定解條件,上述方程在某一點(diǎn)及其鄰近區(qū)域的性質(zhì)由系數(shù)判別式 B2 - 4AC 在該點(diǎn)的符號(hào)決定：,4.6.2 定解條件,對(duì)于橢圓型方程：以Laplace方程 為代表的橢圓型方程，只能給定邊界條件，這就是所謂的邊值問題。,4.6.2 定解條件,對(duì)于拋物型方程，以擴(kuò)散方程(熱傳導(dǎo)方程) 為代表的拋物型方程，應(yīng)給定一個(gè)初始

37、條件和邊界條件，這就是所謂的邊值混合問題。,4.6.2 定解條件,對(duì)于雙曲型方程，以波動(dòng)方程 為代表的雙曲型方程，除給定邊界條件外，還應(yīng)給定兩個(gè)初始條件，這就是所謂的初值問題。,4.6.2 定解條件,由于N-S方程組比上述擬線性二階偏微分方程復(fù)雜得多，其定解條件的提法問題并沒有完全解決，也沒有處理這一問題的完整的理論，這與至今未能完全認(rèn)識(shí)N-S方程組的數(shù)學(xué)性質(zhì)有關(guān)。為了規(guī)定N-S方程組的定解條件，只能依賴物理方面的理由，并依靠已知的數(shù)學(xué)結(jié)果，以及對(duì)物理問題的正確判斷來綜合解決。,4.6.2 定解條件,(1) 初始條件 所謂初始條件，就是在初始時(shí)刻，封閉方程組的解應(yīng)等于該時(shí)刻給定的函數(shù)值。在數(shù)學(xué)

38、上可以表示為 tt0時(shí) 式中的u0、p0、0、T0為t0時(shí)刻的已知函數(shù)。,4.6.2 定解條件,(2) 邊界條件 在運(yùn)動(dòng)流體的邊界上，封閉方程組的解所應(yīng)滿足的條件稱為邊界條件。邊界條件隨具體問題而定，一般來講可能有以下三種情況： 邊界為固體壁面(包括可滲透壁面, 但應(yīng)注意,通常假設(shè)為剛體) 不同流體的分界面(包括自由液面、氣液界面、液液界面) 流動(dòng)的入口和出口斷面。,4.6.2 定解條件, 流體與固體接觸面上的邊界條件 a.運(yùn)動(dòng)學(xué)邊界條件 當(dāng)固體壁面不可滲透時(shí)，粘性流體質(zhì)點(diǎn)將粘附于固體壁面上，即滿足所謂無滑移條件。此時(shí) uf與uw是在固體壁面處流體的速度與固體壁面運(yùn)動(dòng)的速度。對(duì)于靜止固體壁面，

39、則 當(dāng)固體壁面可滲透時(shí)，應(yīng)根據(jù)滲透速度來確定其邊界條件，一般可假定uf t0，uf n 0。,4.6.2 定解條件,b.動(dòng)力學(xué)邊界條件 當(dāng)固體壁面不可滲透時(shí)，流體作用在固體壁面上任意一點(diǎn)處(該處壁面的法線方向?yàn)閚)的應(yīng)力，與固體壁面在同一點(diǎn)處對(duì)流體作用的應(yīng)力大小相等、方向相反，具體表示為 或者 當(dāng)固體壁面可滲透時(shí)，流體邊界上的應(yīng)力也應(yīng)具有這樣的條件，不過此時(shí)的情況要比不可滲透壁面時(shí)復(fù)雜。,4.6.2 定解條件,c.熱力學(xué)邊界條件 當(dāng)固體壁面不可滲透時(shí)，通常采用無溫度突躍邊界條件，即 式中Tf與Tw是在固體壁面處流體的溫度與固體壁面的溫度。 也可給出固體壁面處的溫度梯度作為邊界條件 式中qw為通

40、過單位面積傳導(dǎo)的熱量(壁面熱流量)；T /n是壁面外法線方向上的溫度梯度，通常定義從固體壁面向流體傳導(dǎo)的熱量為正。,4.6.2 定解條件, 不同流體分界面上的邊界條件 一般包括兩種不同液體的分界面，液體與蒸汽的分界面，液體與大氣的分界面(即所謂自由液面)。不同流體分界面上可能出現(xiàn)質(zhì)量、動(dòng)量及熱量的交換，其情形較為復(fù)雜。 a.不同液體的分界面 根據(jù)分子運(yùn)動(dòng)論與實(shí)驗(yàn)證實(shí)，在一般情況下，兩種液體的分界面上的速度、壓強(qiáng)和溫度都是連續(xù)的，即,運(yùn)動(dòng)學(xué)條件,動(dòng)力學(xué)條件,熱力學(xué)條件,4.6.2 定解條件,b.液體與蒸汽的分界面 如果不考慮液面上飽和蒸汽區(qū)中的動(dòng)量、熱量和質(zhì)量交換，則可以將汽液分界面上的邊界條件

41、寫為,4.6.2 定解條件,b.液體與蒸汽的分界面 其中unl是液體在平均液面的垂直方向上的速度，h是液面在垂直于平均液面方向的高度。這一邊界條件表示，在液面上，液體在平均液面的垂直方向上的速度等于液面的垂直波動(dòng)速度。 此外，可以近似認(rèn)為 大氣壓強(qiáng)， 動(dòng)量通量， 熱量通量 當(dāng)液面上為大氣壓時(shí)，是上述情況的特例。實(shí)際上，應(yīng)該注意到，對(duì)于汽液分界面來講，有時(shí)必須考慮到汽液的動(dòng)量、熱量及質(zhì)量的交換。,4.6.2 定解條件, 流道入口和出口斷面上的邊界條件 流動(dòng)入口和出口斷面上的物理參數(shù)，如速度、壓強(qiáng)、溫度等的分布，就是邊界條件。這里所指的流動(dòng)入口和出口斷面，可以是固體通道的截面，也可以是平直流線所形成的流道斷面。前者是內(nèi)流情況，后者是外流(繞流)的情況。,4.7 實(shí)際流體流動(dòng)的相似律,實(shí)際流體流動(dòng)基本方程是一組非線性偏微分方程式。在某些簡單情況下才可以求出準(zhǔn)確解，但這類問題是為數(shù)不多的。非線性