1、第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答,要點, 用逆解法、半逆解法求解平面彈性力學(xué)問題。,*3-1 多項式解答,*3-2 位移分量的求出,*3-3 簡支梁受均布載荷,*3-4 楔形體受重力和液體壓力,3-5 級數(shù)式解答,3-6 簡支梁受任意橫向載荷,主 要 內(nèi) 容,3-1 多項式解答,適用性：,由一些直線邊界構(gòu)成的彈性體。,目的：,考察一些簡單多項式函數(shù)作為應(yīng)力函數(shù)(x,y) ，能解決什么樣的力學(xué)問題。,逆解法,其中： a、b、c 為待定系數(shù)。,檢驗(x,y) 是否滿足雙調(diào)和方程：,顯然(x,y) 滿足雙調(diào)和方程，因而可作為應(yīng)力函數(shù)。,（1）,1. 一次多項式,（2）,（3）,對應(yīng)的應(yīng)力分量：,若體力

2、：X = Y =0，則有：,結(jié)論1：,（1）,（2）,一次多項式對應(yīng)于無體力和無應(yīng)力狀態(tài)；,在該函數(shù)(x,y)上加上或減去一個一次多項式，對應(yīng)力無影響。,2. 二次多項式,（1）,其中： a、b、c 為待定系數(shù)。,(假定：X =Y = 0 ; a 0 , b 0, c 0),檢驗(x,y) 是否滿足雙調(diào)和方程，顯然有,（2）,(可作為應(yīng)力函數(shù) ),（3）,由式（2-26）計算應(yīng)力分量：,2c,2c,2a,2a,結(jié)論2：,二次多項式對應(yīng)于均勻應(yīng)力分布。,試求圖示板的應(yīng)力函數(shù)。,例：,3. 三次多項式,（1）,其中: a、b、c 、d 為待定系數(shù)。,檢驗(x,y) 是否滿足雙調(diào)和方程，顯然有,（2

3、）,(可作為應(yīng)力函數(shù) ),(假定：X =Y = 0),（3）,由式（2-26）計算應(yīng)力分量：,結(jié)論3：,三次多項式對應(yīng)于線性應(yīng)力分布。,討論：,可算得：,圖示梁對應(yīng)的邊界條件：,可見：, 對應(yīng)于矩形截面梁的純彎曲問題應(yīng)力分布。,常數(shù) d 與彎矩 M 的關(guān)系：,(1),由梁端部的邊界條件：,(2),可見：此結(jié)果與材力中結(jié)果相同，,說明材力中純彎曲梁的應(yīng)力結(jié)果是正確的。,說明：,(1),組成梁端力偶 M 的面力須線性分布，且中心處為零，結(jié)果才是精確的。,(2),若按其它形式分布，如：,則此結(jié)果不精確，有誤差；,但按圣維南原理，僅在兩端誤差較大，離端部較遠(yuǎn)處誤差較小。,(3),當(dāng) l 遠(yuǎn)大于 h 時

4、，誤差較??；反之誤差較大。,4. 四次多項式,（1）,檢驗(x,y) 是否滿足雙調(diào)和方程,（2）,代入：,得,可見，對于函數(shù)：,其待定系數(shù)，須滿足下述關(guān)系才能作為應(yīng)函數(shù)：,（3）,應(yīng)力分量：, 應(yīng)力分量為 x、y 的二次函數(shù)。,（4）,特例：,（須滿足：a + e =0）,總結(jié)：,（多項式應(yīng)力函數(shù) 的性質(zhì)）,（1）,多項式次數(shù) n 4 時，則系數(shù)可以任意選取，總可滿足 。,多項式次數(shù) n 4 時，則系數(shù)須滿足一定條件，才能滿足 。,多項式次數(shù) n 越高，則系數(shù)間需滿足的條件越多。,（2）,一次多項式，對應(yīng)于無體力和無應(yīng)力狀態(tài)；任意應(yīng)力函數(shù)(x,y)上加上或減去一個一次多項式，對應(yīng)力無影響。,二

5、次多項式，對應(yīng)均勻應(yīng)力狀態(tài)，即全部應(yīng)力為常量；三次多項式，對應(yīng)于線性分布應(yīng)力。,（3）,（4）,用多項式構(gòu)造應(yīng)力函數(shù)(x,y) 的方法 逆解法（只能解決簡單直線應(yīng)力邊界問題）。,按應(yīng)力求解平面問題，其基本未知量為： ，本節(jié)說明如何由 求出形變分量、位移分量？,問題：,3-2 位移分量的求出,以純彎曲梁為例，說明如何由 求出形變分量、位移分量？,1. 形變分量與位移分量,由前節(jié)可知，其應(yīng)力分量為：,平面應(yīng)力情況下的物理方程：,（1）形變分量,(a),將式（a）代入得：,(b),（2）位移分量,將式（b）代入幾何方程得：,(c),將式（c）前兩式積分，得：,(d),將式 (d) 代入 (c) 中第

6、三式，得：,整理得：,（僅為 x 的函數(shù)）,（僅為 y 的函數(shù)）,要使上式成立，須有,(e),式中：為常數(shù)。,積分上式，得,將上式代入式（d），得,(f),（1）,(f),討論：,式中：u0、v0、 由位移邊界條件確定。,當(dāng) x = x0 =常數(shù), u 關(guān)于鉛垂方向的變化率，即鉛垂方向線段的轉(zhuǎn)角。,說明： 同一截面上的各鉛垂線段轉(zhuǎn)角相同。,橫截面保持平面, 材力中“截面保持平面”的假設(shè)成立。,（2）,說明：在微小位移下，梁縱向纖維的曲率相同。即, 材料力學(xué)中撓曲線微分方程,2. 位移邊界條件的利用,（1）兩端簡支,其邊界條件：,將其代入(f)式，有,將其代回(f)式，有,(3-3),梁的撓曲線

7、方程：, 與材力中結(jié)果相同,（2）懸臂梁,邊界條件,由式（f）可知，此邊界條件無法給出。,邊界條件改寫為：,（中點不動）,（軸線在端部不轉(zhuǎn)動）,代入式（f），有,可求得：,(3-4),撓曲線方程：,與材料力學(xué)中結(jié)果相同,說明：,（1）,求位移的過程：,（a）將應(yīng)力分量代入物理方程,（b）再將應(yīng)變分量代入幾何方程,（c）再利用位移邊界條件，確定常數(shù)。,（2）,若為平面應(yīng)變問題，則將材料常數(shù)E、作相應(yīng)替換。,（3）,若取固定端邊界條件為：,（中點不動）,得到：,求得：,此結(jié)果與前面情形相同。,（為什么？）,（1）,(2-27),（2）,然后將 代入式（2-26）求出應(yīng)力分量：,先由方程（2-27）

8、求出應(yīng)力函數(shù)：,(2-26),（3）,再讓 滿足應(yīng)力邊界條件和位移單值條件（多連體問題）。,按應(yīng)力求解平面問題的基本步驟：,按應(yīng)力求解平面問題的方法：,逆解法,（1）,根據(jù)問題的條件,（幾何形狀、受力特點、邊界條件等），,假設(shè)各種滿足相容方程（2-27）的(x,y) 的形式；,（2）,然后利用應(yīng)力分量計算式（2-26），求出 （具有待定系數(shù)）；,（3）,再利用應(yīng)力邊界條件式（2-18），來考察這些應(yīng)力函數(shù)(x,y) 對應(yīng)什么樣的邊界面力問題，從而得知所設(shè)應(yīng)力函數(shù)(x,y) 可以求解什么問題。,（1）,根據(jù)問題的條件,（幾何形狀、受力特點、邊界條件等），,假設(shè)部分應(yīng)力分量 的某種函數(shù)形式 ；,（

9、2）,根據(jù) 與應(yīng)力函數(shù)(x,y)的關(guān)系及 ，求出(x,y) 的形式；,（3）,最后利用式（2-26）計算出 并讓其滿足邊界條件和位移單值條件。, 半逆解法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：數(shù)理方程中分離變量法。,半逆解法,位移分量求解：,（1）,將已求得的應(yīng)力分量,（2）,（3）,代入物理方程，求得應(yīng)變分量,將應(yīng)變分量,代入幾何方程，并積分求得位移分量,表達(dá)式；,由位移邊界條件確定表達(dá)式中常數(shù)，得最終結(jié)果。,3-3 簡支梁受均布載荷,要點, 用半逆解法求解梁、長板類平面問題。,1. 應(yīng)力函數(shù)的確定,(1),分析：, 主要由彎矩引起；, 主要由剪力引起；,由 q 引起（擠壓應(yīng)力）。,又 q =常數(shù)，圖示坐標(biāo)系和幾何對

10、稱，不隨 x 變化。,推得：,(2),由應(yīng)力分量表達(dá)式確定應(yīng)力函數(shù) 的形式：,積分得：,(a),(b), 任意的待定函數(shù),(3),由 確定：,代入相容方程：,方程的特點：,關(guān)于 x 的二次方程，且要求 l x l 內(nèi)方程均成立。,由“高等代數(shù)”理論，須有x 的一、二次的系數(shù)、自由項同時為零。即：,對前兩個方程積分：,(c),此處略去了f1(y)中的常數(shù)項,對第三個方程得：,積分得：,(d),(c),(d),將(c) (d) 代入 (b) ，有,(e),此處略去了f2(y)中的一次項和常數(shù)項,式中含有9個待定常數(shù)。,(e),2. 應(yīng)力分量的確定,(f),(g),(h),3. 對稱條件與邊界條件的

11、應(yīng)用,（1）對稱條件的應(yīng)用：,由 q 對稱、幾何對稱：, x 的偶函數(shù), x 的奇函數(shù),由此得：,要使上式對任意的 y 成立，須有：,（2）邊界條件的應(yīng)用：,(a) 上下邊界（主要邊界）：,由此解得：,代入應(yīng)力公式,( i ),( j ),( k ),(b) 左右邊界（次要邊界）：,（由于對稱，只考慮右邊界即可。）, 難以滿足，需借助于圣維南原理。,靜力等效條件：,軸力 N = 0；,彎矩 M = 0；,剪力 Q = ql；,可見，這一條件自動滿足。,(p),截面上的應(yīng)力分布：,4. 與材料力學(xué)結(jié)果比較,材力中幾個參數(shù)：,截面寬：b=1 ,截面慣矩：,靜矩：,彎矩：,剪力：,將其代入式 ( p

12、 ) ，有,（3-6）,比較，得：,（1）,第一項與材力結(jié)果相同，為主要項。,第二項為修正項。當(dāng) h / l1，該項誤差很小，可略；當(dāng) h / l較大時，須修正。,（2）,為梁各層纖維間的擠壓應(yīng)力，材力中不考慮。,（3）,與材力中相同。,注意：,按式（3-6），梁的左右邊界存在水平面力：,說明式（3-6）在兩端不適用。,解題步驟小結(jié)：,（1）,（2）,（3）,根據(jù)問題的條件：幾何特點、受力特點、約束特點（面力分布規(guī)律、對稱性等），估計某個應(yīng)力分量（ ）的變化形式。,由 與應(yīng)力函數(shù) 的關(guān)系式（2-26），求得應(yīng)力函數(shù) 的具體形式（具有待定函數(shù)）。,（4）,（5）,將具有待定函數(shù)的應(yīng)力函數(shù) 代入相

13、容方程： 確定 中的待定函數(shù)形式。,由 與應(yīng)力函數(shù) 的關(guān)系式（2-26），求得應(yīng)力分量 。,由邊界條件確定 中的待定常數(shù)。,用半逆解法求解梁、矩形長板類彈性力學(xué)平面問題的基本步驟：,應(yīng)力函數(shù)法求解平面問題的基本步驟：,求解方法：, 半逆解法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：數(shù)理方程中分離變量法。,（1）,根據(jù)問題的條件,（幾何形狀、受力特點、邊界條件等），,假設(shè)部分應(yīng)力分量 的某種函數(shù)形式 ；,（2）,根據(jù) 與應(yīng)力函數(shù)(x,y)的關(guān)系及 ，求出(x,y) 的形式；,（3）,最后利用式（2-26）計算出 并讓其滿足邊界條件和位移單值條件。,半逆解法,位移分量求解：,附：,應(yīng)力函數(shù)確定的“材料力學(xué)方法”,要點：,利用材

14、料力學(xué)中應(yīng)力與梁內(nèi)力的關(guān)系，假設(shè)某個應(yīng)力分量的函數(shù)形式。,適用性：,直梁、長板條等受連續(xù)分布面力、桿端集中力、桿端集中力偶等。,應(yīng)力函數(shù)?？杀硎緸椋?設(shè)法由邊界面力先確定 其中之一，然后將其代入 確定另外一個函數(shù)。,材力中，應(yīng)力分量與梁內(nèi)力的關(guān)系為：,式中：,M(x) 彎矩方程；,Q(x) 剪力方程。,當(dāng)有橫向分布力q(x)作用時，縱向纖維間存在擠壓應(yīng)力 ，,同時，橫向分布力q(x)的擠壓作用時，對軸向應(yīng)力 也產(chǎn)生影響。,應(yīng)力分量與梁內(nèi)力的關(guān)系可表示為：,然后由：,確定應(yīng)力函數(shù) 的具體形式。,例：,懸臂梁，厚度為單位1，=常數(shù)。求：應(yīng)力函數(shù) 及梁內(nèi)應(yīng)力。,解：,(1) 應(yīng)力函數(shù)的確定,取任意截

15、面，其內(nèi)力如圖：,取 作為分析對象，可假設(shè)：,（a）, f(y)為待定函數(shù),由 與應(yīng)力函數(shù) 的關(guān)系，有：,（b）,對 x 積分一次，有：,對 y 再積分一次，有：,其中：,（c）,（c）,由 確定待定函數(shù)：,（d）,要使上式對任意的x，y成立，有,（e）,（f）,由式（ e）求得,（g）,由式（ f）得,（h）,（i）,積分式（ h）和（i）得,（j）,（k）,( l ),包含9個待定常數(shù)，由邊界條件確定。,(2) 應(yīng)力分量的確定,( m ),(3) 利用邊界條件確定常數(shù),( o ),代入可確定常數(shù)為：,代入式（m）得,注：,也可利用 M（x）= 0，考慮,進(jìn)行分析。此時有：,為待定函數(shù)，由相

16、容方程確定。,剪力：,可假設(shè)剪應(yīng)力：,3-4 楔形體受重力和液體壓力,要點,半逆解法（因次或量綱分析法）,問題的提法：,楔形體，下部可無限延伸。,側(cè)面受水壓作用：,（水的容重）；,自重作用：,（楔形體的容重）；,求：楔形體應(yīng)力分布規(guī)律 。,1. 應(yīng)力函數(shù)及應(yīng)力分量,(1) 分析：,(a), 的量綱為：,的量綱為：,(b),由 推理得：,應(yīng)為 x、y 的三次函數(shù)。,應(yīng)力函數(shù)可假設(shè)為：,(2) 應(yīng)力分量,考慮到：X = 0，Y = （常體力）,(a),顯然，上述應(yīng)力函數(shù)滿足相容方程。,2. 邊界條件的利用,(1) x=0 （應(yīng)力邊界）：,代入式（a），則應(yīng)力分量為：,(b),(2) （應(yīng)力邊界）：

17、,其中：,將(b)代入，有,代入，可求得：,代入式（b），有：,(3-7), 李維（Levy）解答,沿水平方向的應(yīng)力分布,與材力結(jié)果比較：, 沿水平方向不變，在材力中無法求得。, 沿水平方向線性分布，與材力中偏心受壓公式算得結(jié)果相同。, 沿水平方向線性分布，材力中為拋物線分布。,結(jié)果的適用性：,（1）,當(dāng)壩的橫截面變化時，不再為平面應(yīng)變問題，其結(jié)果誤差較大。,（2）,假定壩下端無限延伸，可自由變形。而實際壩高有限，底部與基礎(chǔ)相連，有地基約束，故底部處結(jié)果誤差較大。,（3）,實際壩頂非尖頂，壩頂處有其它載荷，故壩頂處結(jié)果誤差較大。, 三角形重力壩的精確分析，常借助于有限元數(shù)值方法求解。,工程應(yīng)用

18、：, 求使壩穩(wěn)定時的角度 ，稱為安息角。,因次分析法（量綱分析法）：,楔形體，下部可無限延伸。,側(cè)面受水壓作用：,（水的溶重）；,自重作用：,（楔形體的溶重）；,求：楔形體應(yīng)力分布規(guī)律 。,分析思路：,(a), 的量綱為：,的量綱為：,(b),由 推理得：,應(yīng)為 x、y 的三次函數(shù)。,應(yīng)力函數(shù)可假設(shè)為：,平面問題的直角坐標(biāo)解答,一、多項式解答,逆解法,二、梁、長板類彈性體應(yīng)力函數(shù)方法,三、三角形板、楔形體的求解方法,因次分析法（量綱分析法）：,楔形體，下部可無限延伸。,側(cè)面受水壓作用：,（水的溶重）；,自重作用：,（楔形體的溶重）；,分析思路：,(a), 的量綱為：,的量綱為：,(b),由 推

19、理得：,應(yīng)為 x、y 的三次函數(shù)。,應(yīng)力函數(shù)可假設(shè)為：,例：,圖示矩形板，長為 l ，高為 h ，體力不計，試證以下函數(shù)是應(yīng)力函數(shù)，并指出能解決什么問題。式中k、q為常數(shù)。,解：,(1),應(yīng)力分量：,邊界條件：,顯然，上下邊界無面力作用。,上下邊界,(2),左邊界,右邊界,結(jié)論：可解決懸臂梁左端受集中力問題。,例：,圖示矩形截面簡支梁，長為 l ，高為 h ，受有三角形分布載荷作用，體力不計。試求其應(yīng)力分布。,解：,（1）應(yīng)力函數(shù)形式的確定,梁截面上彎矩和剪力為：,由材料力學(xué)方法可確定應(yīng)力分量的分離變量形式：,取應(yīng)力分量 分析，,取應(yīng)力分量 與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系：,對此式積分：,為待定函數(shù),（2）

20、由相容方程確定待定函數(shù),代入,要使上述方程對任意的 x 成立，有,(a),(b),(c),積分式（a），得,將上式代入（b）積分，得,積分式（c），得,(d),(e),(f),將求得的,代入應(yīng)力函數(shù)，有,（3）計算應(yīng)力分量,(g),(h),（3）利用邊界條件確定待定常數(shù),上邊界：,(i),(j),(k),下邊界：,(l),(m),(n),左邊界：,左邊界：,(o),(p),(q),(r),(s),(t),聯(lián)立求解式（i）（t）,可得具體的應(yīng)力分量。,注：位移邊界條件轉(zhuǎn)化為應(yīng)力邊界條件。,（1）,（2）,試按材料力學(xué)中確定應(yīng)力的方法，寫出圖示兩梁所有應(yīng)力分量形式。（含有待定函數(shù)）,課堂練習(xí)：,3

21、-5 級數(shù)式解答,問題的提出,多項式解答：,只能求解載荷簡單，且連續(xù)分布的問題。,不能求解載荷復(fù)雜，且間斷分布的問題。,級數(shù)式解答：,其基本思路是將應(yīng)力函數(shù) 分解成關(guān)于 xy 的兩個單變量函數(shù)的乘積。 分離變量法。,（屬逆解法）,1. 級數(shù)形式的應(yīng)力函數(shù),假設(shè)：,(a),式中：,為任意常數(shù)，其量綱為 ,為 y 的任意(待定)函數(shù)。,將其代入 ：,載荷復(fù)雜，且間斷分布的問題，可由級數(shù)式解答解決。,有：,(b),解上述方程，得,其中：A、B、C、D 都是任意常數(shù)，,將其代入應(yīng)力函數(shù) ，得,(c),再取如下應(yīng)力函數(shù)：,式中：,也為任意常數(shù) ,為 y 的任意（待定）函數(shù)。,類似于上面的運算，可得應(yīng)力函

22、數(shù)的另一解：,(d),顯然，將式(c) 與(d)相加，仍為可作為應(yīng)力函數(shù)：,(e),取 和 的一系列值，即?。?將由此構(gòu)成的 加起來，有,(3-8),顯然，式(3-8) 滿足相容方程，可作為應(yīng)力函數(shù)。且在其上再加若干個滿足相容方程的應(yīng)力函數(shù)，仍可作為應(yīng)力函數(shù)。,2. 級數(shù)形式的應(yīng)力分量,將上述應(yīng)力函數(shù) 代入應(yīng)力分量表達(dá)式（2-26），有,(3-9),式（3-9）滿足相容方程、平衡方程，只要適當(dāng)選?。?使其滿足邊界條件，即為某問題的解。,3-6 簡支梁受任意橫向載荷,邊界條件,1. 邊界條件的級數(shù)表示,上下邊界：,左右邊界：,（a）,（b）,（c）,（d）,由邊界條件（c），得,此時應(yīng)力分量式（

23、3-9）簡化為,（3-10）,將此應(yīng)力分量式（3-10）代入邊界條件（b），有,（e）,（f）,（i）,（j）,（g）,（h）,將此應(yīng)力分量式（3-10）代入邊界條件（a），有,（3-11）,比較式（3-11）與式（g）和（h）兩邊的系數(shù)，有,（k）,（l）,由式 (i)、(j)、(k)、(l) 可求得全部和系數(shù)： ，代入式（3-10）求得應(yīng)力分量。,說明：,（1）,邊界條件（d）在求解中沒有用到，但可以證明是自動滿足的。,（2）,級數(shù)求解計算工作量很大，通常由有關(guān)計算軟件求解，如：MathCAD、Matlab、Mathematica等。,（3）,結(jié)果在梁的端部誤差較大；另外，當(dāng)梁的跨度與高度

24、相當(dāng)時結(jié)果誤差也較大。,彈性力學(xué)平面問題的基本理論小結(jié),一、兩類平面問題及其特征,體力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿板厚不變化。,體力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿 z 向不變化。,z 方向的尺寸遠(yuǎn)小于板面內(nèi)的尺寸（等厚度薄平板）,z 方向的尺寸遠(yuǎn)大于xoy平面內(nèi)的尺寸（等截面長柱體）,二、平面問題的基本方程,（1）平衡微分方程,（2-2）,（假定：小變形、連續(xù)性、均勻性）,（2）幾何方程,（2-9）,（假定：小變形、連續(xù)性、均勻性）,（3）物理方程,(2-15),（平面應(yīng)力）,(2-16),（平面應(yīng)變）,（假定：小變形、連續(xù)性、均勻性、線彈性、各向同性）,三、平面問題的基本求解方法及基本方程,思路：,（1）按位移求解,以位移u、v為基本未知量，在所有基本方程中消去其余6個量，得到以位移表示的基本方程，從中求出 u、v，再由幾何方程、物理方程求出其余未知量。,基本方程：,（2-20）,位移表示的平衡方程,（2-21）,（2-17）,位移表示的應(yīng)力邊界條件,位移邊界條件,（2）按應(yīng)力求解,思路：,以應(yīng)力 為基本未知量，將基本方程用只有 的3個方程，從中求出 ，再由物理方程、幾何方程求出其余未