1、.,常系數(shù)非齊次線性微分方程,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,第 八節(jié),一、,二、,第七章,.,二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 :,根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理 , 其通解為,求特解的方法,根據(jù) f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù) ., 待定系數(shù)法,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,.,一、, 為實(shí)數(shù) ,設(shè)特解為,其中 為待定多項(xiàng)式 ,代入原方程 , 得,(1) 若 不是特征方程的根,則取,從而得到特解,形式為,為 m 次多項(xiàng)式 .,Q (x) 為 m 次待定系數(shù)多項(xiàng)式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,.,(2) 若 是特征方程的單根 ,為m 次多項(xiàng)式,故

2、特解形式為,(3) 若 是特征方程的重根 ,是 m 次多項(xiàng)式,故特解形式為,小結(jié),對(duì)方程,此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .,即,即,當(dāng) 是特征方程的 k 重根 時(shí),可設(shè),特解,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,.,特別地,.,例1.,的一個(gè)特解.,解: 本題,而特征方程為,不是特征方程的根 .,設(shè)所求特解為,代入方程 :,比較系數(shù), 得,于是所求特解為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,.,例2.,的通解.,解: 本題,特征方程為,其根為,對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為,設(shè)非齊次方程特解為,比較系數(shù), 得,因此特解為,代入方程得,所求通解為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,.,解,對(duì)應(yīng)齊

3、次方程通解,特征方程,特征根,代入方程, 得,原方程通解為,例1,.,例3. 求解定解問(wèn)題,解: 本題,特征方程為,其根為,設(shè)非齊次方程特解為,代入方程得,故,故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為,原方程通解為,由初始條件得,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,.,于是所求解為,解得,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,.,二、,第二步 求出如下兩個(gè)方程的特解,分析思路:,第一步 將 f (x) 轉(zhuǎn)化為,第三步 利用疊加原理求出原方程的特解,第四步 分析原方程特解的特點(diǎn),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,.,第一步,利用歐拉公式將 f (x) 變形,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,.,第二步 求如下兩方

4、程的特解,是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),故,等式兩邊取共軛 :,為方程 的特解 .,設(shè),則 有,特解:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,.,第三步 求原方程的特解,利用第二步的結(jié)果, 根據(jù)疊加原理, 原方程有特解 :,原方程,均為 m 次多項(xiàng)式 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,.,第四步 分析,因,均為 m 次實(shí),多項(xiàng)式 .,本質(zhì)上為實(shí)函數(shù) ,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,.,小 結(jié):,對(duì)非齊次方程,則可設(shè)特解:,其中,為特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,.,解,對(duì)應(yīng)齊方通解

5、,作輔助方程,代入上式,所求非齊方程特解為,原方程通解為,（取虛部）,例2,.,例4.,的一個(gè)特解 .,解: 本題,特征方程,故設(shè)特解為,不是特征方程的根,代入方程得,比較系數(shù) , 得,于是求得一個(gè)特解,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,.,例5.,的通解.,解:,特征方程為,其根為,對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為,比較系數(shù), 得,因此特解為,代入方程:,所求通解為,為特征方程的單根 ,因此設(shè)非齊次方程特解為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,.,例6.,解: (1) 特征方程,有二重根,所以設(shè)非齊次方程特解為,(2) 特征方程,有根,利用疊加原理 , 可設(shè)非齊次方程特解為,求下列高階常系數(shù)線性非齊

6、次方程的特解形式:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,.,例7.,求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.,解: 問(wèn)題歸結(jié)為求解無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)方程,當(dāng)p k 時(shí),齊次通解:,非齊次特解形式:,因此原方程之解為,第七節(jié)例1 (P323)中若設(shè)物體只受彈性恢復(fù)力 f,和鉛直干擾力,代入可得:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,.,當(dāng)干擾力的角頻率 p 固有頻率 k 時(shí),自由振動(dòng),強(qiáng)迫振動(dòng),當(dāng) p = k 時(shí),非齊次特解形式:,代入可得:,方程的解為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,.,若要利用共振現(xiàn)象, 應(yīng)使 p 與 k 盡量靠近, 或使,隨著 t 的增大 , 強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅,這時(shí)產(chǎn)生共振現(xiàn)象 .,可無(wú)限增大,

7、若要避免共振現(xiàn)象, 應(yīng)使 p 遠(yuǎn)離固有頻率 k ;,p = k .,自由振動(dòng),強(qiáng)迫振動(dòng),對(duì)機(jī)械來(lái)說(shuō), 共振可能引起破壞作用,如橋梁被破壞,電機(jī)機(jī)座被破壞等,但對(duì)電磁振蕩來(lái)說(shuō),共振可能起有,利作用,如收音機(jī)的調(diào)頻放大即是利用共振原理.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,.,內(nèi)容小結(jié), 為特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,則設(shè)特解為,為特征方程的 k (0, 1 )重根,則設(shè)特解為,3. 上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,.,思考與練習(xí),時(shí)可設(shè)特解為,時(shí)可設(shè)特解為,提示:,1 . (填空) 設(shè),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,.,2. 求微分方程,的通解 (其中,為實(shí)數(shù) ) .,解: 特征方程,特征根:,對(duì)應(yīng)齊次方程通解:,時(shí),代入原方程得,故原方程通解為,時(shí),代入原方程得,故原方程通解為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,.,3. 已知二階常微分方程,有特解,求微分方程的通解 .,解: 將特解代入方程得恒等式,比較系數(shù)得,故原方程為,對(duì)應(yīng)齊次方程通解