1、2.3.2圓的一般方程,一圓的一般方程,把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2+(yb)2=r2，展開整理得x2+y22ax2by+a2+b2r2=0.,在這個方程中，令D=2a，E=2b，F(xiàn)=a2+b2r2，則這個方程可以表示成,其中D，E，F(xiàn)為常數(shù)。,x2+y2+Dx+Ey+F=0， ,方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0，,這是一個二元二次方程，把它同一般的二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 比較，發(fā)現(xiàn)它具有兩個特點：,（1）x2和y2項的系數(shù)相同且不為0； （2）沒有xy項。,那么具備這兩個條件的二元二次方程是否一定表示圓呢？,將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0滿足什么條件就表

2、示圓呢？,（1）當(dāng)D2+E24F0時，將方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程比較，可以看出方程表示的,是以為 圓心， 為半徑的圓；,例如：方程x2+2y22x3y+7=0所表示的曲線是圓嗎？,（2）當(dāng)D2+E24F=0時，方程只有實數(shù)解 ，所以方程表示一個點,（3）當(dāng)D2+E24F0時，方程沒有實數(shù)解，因而方程不表示任何圖形。,因此只有當(dāng)D2+E24F0時，二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0才表示一個圓，這時這個方程叫做圓的一般方程。,二圓的一般方程的應(yīng)用,1同圓的標(biāo)準(zhǔn)方程一樣，求圓的一般方程也是用待定系數(shù)法. 由于在圓的一般方程中含有三個參變數(shù)，必須具備三個獨立的條件才能確定出一個圓的方程；,2如果已

3、知曲線是圓，并且已知條件和圓心的坐標(biāo)或半徑都無直接關(guān)系，此時可設(shè)圓的一般方程再用待定系數(shù)法求出D，E，F(xiàn).,例1將下列圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，并寫出圓的圓心坐標(biāo)和半徑。 （1）x2+y2+4x6y12=0； （2）4x2+4y28x+4y15=0。,解：（1）對方程左邊配方，方程化為(x+2)2+(y3)2=25， 所以圓心坐標(biāo)為(2，3)，半徑為5.,（2）方程兩邊除以4，得x2+y22x+y=0，配方得(x1)2+(y+ )2=5，,所以圓心坐標(biāo)為(1， )，半徑為,例2求過三點A(0，5)，B(1，2)，C(3，4)的圓的方程。,解：設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0， 根據(jù)題設(shè)條

4、件將A(0，5)，B(1，2)，C(3，4)的坐標(biāo)代入方程得到關(guān)于D，E，F(xiàn)的三元一次方程組，,解這個方程組得,得到的圓的方程是x2+y2+6x2y15=0.,例3圓C過點A(1，2)，B(3，4)且在x軸上截得的弦長為6，求圓C的方程.,解：設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0, 圓過A(1，4)，B(2，3)， 所以 D+2E+F=5， 3D+4E+F=25， ,令y=0 得x2+Dx+F=0，設(shè)圓C與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)分別是x1，x2， 由韋達(dá)定理，得x1+x2=D，x1x2=F，,因為|x1x2|=6， 所以(x1+x2)24x1x2=36, 即D24F=36，,聯(lián)立,解

5、得,或,所求圓的方程為x2+y2+12x22+27=0或x2+y28x2y+7=0。,例4已知一曲線是與兩個定點O(0，0)，A(3，0)距離的比為 的點的軌跡，求這個曲線的方程，并畫出曲線。,解：在給定的坐標(biāo)系中，設(shè)M(x，y)是曲線上任意一點，,點M在曲線上的條件是,由兩點間距離公式，上式用坐標(biāo)表示為,兩邊平方并化簡，得曲線的方程是x2+y2+2x3=0.,配方得(x+1)2+y2=4，,所以曲線是圓心為(1，0),半徑為2的圓。,例5已知ABC的邊AB長為2a，若BC的中線為定長m，求頂點C的軌跡方程.,解：由題意，以AB中點為原點，邊AB所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系,如圖，則A(a，

6、0)，B(a，0), 設(shè)C(x，y)，,則BC中點為E,因為|AE|=m，所以,化簡得(x+3a)2+y2=4m2.,由于點C在直線AB上時，不能構(gòu)成三角形，故去掉曲線與x軸的兩個交點，,從而所求的軌跡方程是(x+3a)2+y2=4m2. (y0),練習(xí)題：,1圓x2+y2+4x+26y+b2=0與坐標(biāo)軸相切，那么b可以取的值是（ ） （A）2或13 （B）1或2 （C）1或2 （D）1或1,A,2若圓x2+y2=4和圓x2+y2+4x4y+4=0關(guān)于直線 l 對稱，那么 l 的方程是（ ） （A）x+y=0 （B）x+y2=0 （C）xy2=0 （D）xy+2=0,D,3如果圓x2+y2+Dx+Ey+F=0與x軸相切于原點，則（ ） （A）D0，E0，F(xiàn)=0 （B）D0，E=0，F(xiàn)=0 （C）D=0，E0，F(xiàn)=0 （D）D=0，E=0，F(xiàn)0,C,4圓C：x2+y22x6y+9=0關(guān)于直線xy1=0對稱的曲線方程是（ ） （A）x2+y2+2x+6y+9=0 （B）x2+y26x+2y+9=0 （C）x2+y28x+15=0 （D）x2+y28x15=0,C,5若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a1=0表示圓，則a的取值范圍是 。,6三角形ABC的三個頂點A(1，4)，B(2，