1、, 一元微積分學(xué),大 學(xué) 數(shù) 學(xué)（1）,第五講 無窮小量與無窮大量 極限的運(yùn)算,授課教師：王利平,主 要 內(nèi) 容,一.無窮小量及其運(yùn)算性質(zhì),二. 無窮大量,三. 極限的運(yùn)算法則,一、無窮小量及其運(yùn)算性質(zhì),簡(jiǎn)言之, 在某極限過程中, 以 0 為極限的量稱該極限過程中的一個(gè)無窮小量.,1.無窮小量的定義,定義,2. 函數(shù)的極限與無窮小量的關(guān)系,反之亦然.,由以上的分析, 你可得出 什么結(jié)論 ?,定理,同一個(gè)極限過程中的有限個(gè)無窮小量之和仍是一個(gè)無窮小量.,同一個(gè)極限過程中的有限個(gè)無窮小量之積仍為無窮小量.,3.無窮小量的運(yùn)算法則,常數(shù)與無窮小量之積仍為無窮小量.,在某極限過程中, 以極限不 為零的

2、函數(shù)除無窮小量所得到商 仍為一個(gè)無窮小量.,在某一極限過程中, 無窮小量 與有界量之積仍是一個(gè)無窮小量.,證,證,證,證明,解,二. 無窮大量,定義,1.無窮大量的定義,無窮大量是否一定是無界量 ?,在某極限過程中,無界量是否一定是無窮大量 ?,當(dāng) x 時(shí), 函數(shù) sinx、cosx, 是否為無窮大量 ？,因?yàn)閟inx、cosx 是有界函數(shù), 所以在任何極限過程中它們都不是無窮大量.,在某一極限過程中,定理,2. 無窮大量與無窮小量的關(guān)系,無窮大量一定是同一 極限過程中的無界量.,反之不真,3.無窮大量的運(yùn)算性質(zhì),在某極限過程中, 兩個(gè)無窮大量之積 仍是一個(gè)無窮大量.,在某極限過程中, 無窮大

3、量與 有界量之和仍為無窮大量.,不是無窮大量,是無窮大量,兩個(gè)無窮大量的和是否仍為無窮大量?,考察,有界量與無窮大量的乘積,是否一定為無窮大量？,不著急, 看個(gè)例題:,結(jié)論:,在某個(gè)極限過程中,極限運(yùn)算法則的理論依據(jù),依據(jù)無窮小量的運(yùn)算法則,三. 極限運(yùn)算法則,由此你能不能寫出極限四則運(yùn)算公式？,1. 極限運(yùn)算法則,設(shè)在某極限過程中, 函數(shù) f (x)、g(x) 的極限 lim f (x)、lim g(x) 存在, 則,2.復(fù)合函數(shù)的極限,有什么問題沒有？,定理,解,求,解,因式分解,解,初等展開,解,有理化,解,第二問怎么做？,令,則,當(dāng) x 0 時(shí), y 0, 故,變量代換,證明,原式,由,即得所證.,證,解,這是兩個(gè)無窮大量相減的問題. 我們首先進(jìn)行,通分運(yùn)算, 設(shè)法去掉不定因素, 然后運(yùn)用四則運(yùn)算,法則求其極限.,( 通分 ),解,有理化,解,利用無窮小量與無窮大量的關(guān)系,涉及到兩個(gè)無窮大量的差,解,所以,由復(fù)合函數(shù)求極限