1、第2講三角恒等變換與解三角形考情考向分析正弦定理、余弦定理以及解三角形問(wèn)題是高考的必考內(nèi)容，主要考查：1.邊和角的計(jì)算.2.三角形形狀的判斷.3.面積的計(jì)算.4.有關(guān)參數(shù)的范圍問(wèn)題由于此內(nèi)容應(yīng)用性較強(qiáng)，與實(shí)際問(wèn)題結(jié)合起來(lái)進(jìn)行命題將是今后高考的一個(gè)關(guān)注點(diǎn)，不可輕視熱點(diǎn)一三角恒等變換1三角求值“三大類(lèi)型”“給角求值”“給值求值”“給值求角”2三角函數(shù)恒等變換“四大策略”(1)常值代換：特別是“1”的代換，1sin2cos2tan 45等(2)項(xiàng)的拆分與角的配湊：如sin22cos2(sin2cos2)cos2，()等(3)降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次(4)弦、切互化：一般是切

2、化弦例1(1)(2018張掖市診斷考試)已知sin，則cos等于()A. B.C D答案D解析coscoscos，sincos，coscos2cos211.(2)已知sin ，sin()，均為銳角，則等于()A. B. C. D.答案C解析因?yàn)?，均為銳角，所以.又sin()，所以cos().又sin ，所以cos ，所以sin sin()sin cos()cos sin().所以.思維升華(1)三角變換的關(guān)鍵在于對(duì)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等變換公式的熟記和靈活應(yīng)用，要善于觀(guān)察各個(gè)角之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)題目所給條件與恒等變換公式的聯(lián)系，公式的使用過(guò)程要注意正確性，要特別注

3、意公式中的符號(hào)和函數(shù)名的變換，防止出現(xiàn)“張冠李戴”的情況(2)求角問(wèn)題要注意角的范圍，要根據(jù)已知條件將所求角的范圍盡量縮小，避免產(chǎn)生增解跟蹤演練1(1)(2018榆林模擬)若0，0，cos，cos，則cos等于()A. B C. D答案A解析由題意得sin，sin，而coscoscoscossinsin.(2)(2018河北省衡水中學(xué)模擬)若，則cos sin 的值為()A B C. D.答案C解析(sin cos )，cos sin .熱點(diǎn)二正弦定理、余弦定理1正弦定理：在ABC中，2R(R為ABC的外接圓半徑)變形：a2Rsin A,b2Rsin B,c2Rsin C，sin A,sin

4、B,sin C，abcsin Asin Bsin C等2余弦定理：在ABC中，a2b2c22bccos A.變形：b2c2a22bccos A，cos A.例2(2018北京)在ABC中，a7，b8，cos B.(1)求A；(2)求AC邊上的高解(1)在ABC中，因?yàn)閏os B，所以sin B.由正弦定理得sin A.由題設(shè)知B，所以0A，所以A.(2)在ABC中，因?yàn)閟in Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，所以AC邊上的高為asin C7.思維升華關(guān)于解三角形問(wèn)題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，正弦、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，常見(jiàn)的三角變換方法和原則都適用，同時(shí)要

5、注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，這是使問(wèn)題獲得解決的突破口跟蹤演練2(2018天津市十二校模擬)在銳角ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.(1)求角B的大小；(2)已知4，ABC的面積為6，求邊長(zhǎng)b的值解(1)由已知得bcos Aacos Bbsin C，由正弦定理得sin Bcos Acos Bsin Asin Bsin C，sin(AB)sin Bsin C，又在ABC中，sin(AB)sin C0，sin B，0B，B.(2)由已知及正弦定理得c4，又 SABC6，B，acsin B6，得a6，由余弦定理b2a2c22accos B，得 b2.熱點(diǎn)三解三角

6、形與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題解三角形與三角函數(shù)的綜合是近幾年高考的熱點(diǎn)，主要考查三角形的基本量，三角形的面積或判斷三角形的形狀例3(2018天津)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知bsin Aacos.(1)求角B的大?。?2)設(shè)a2，c3，求b和sin(2AB)的值解(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsin Aasin B.又由bsin Aacos，得asin Bacos，即sin Bcos，所以tan B.又因?yàn)锽(0，)，所以B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，得b2a2c22accos B7，故b.由bsin Aacos，可得sin A .因?yàn)閍0，得s

7、in A2sin B.根據(jù)正弦定理，得a2b.2(2017北京)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角與角均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)若sin ，cos()_.答案解析由題意知2k(kZ)，2k(kZ)，又sin ，cos()cos cos sin sin cos2sin22sin2121.3(2018全國(guó)改編)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若ABC的面積為，則C_.答案解析Sabsin Cabcos C，sin Ccos C，即tan C1.又C(0，)，C.4(2018全國(guó))ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知bsin Ccsin B4asin Bsin C，

8、b2c2a28，則ABC的面積為_(kāi)答案解析bsin Ccsin B4asin Bsin C，由正弦定理得sin Bsin Csin Csin B4sin Asin Bsin C.又sin Bsin C0，sin A.由余弦定理得cos A0，cos A，bc，SABCbcsin A.押題預(yù)測(cè)1在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知cos A，sin Bcos C，并且a，則ABC的面積為_(kāi)押題依據(jù)三角形的面積求法較多，而在解三角形中主要利用正弦、余弦定理求解，此題很好地體現(xiàn)了綜合性考查的目的，也是高考的重點(diǎn)答案解析因?yàn)?A0，并結(jié)合sin2Ccos2C1，得sin C，cos

9、C.于是sin Bcos C.由a及正弦定理，得c.故ABC的面積Sacsin B.2已知函數(shù)f(x)sin xcos xcos2x(0)的最小正周期為.(1)求的值；(2)在ABC中，sin B，sin A，sin C成等比數(shù)列，求此時(shí)f(A)的值域押題依據(jù)三角函數(shù)和解三角形的交匯命題是近幾年高考命題的趨勢(shì)，本題綜合考查了三角變換、余弦定理和三角函數(shù)的值域，還用到數(shù)列、基本不等式等知識(shí)，對(duì)學(xué)生能力要求較高解(1)f(x)sin 2x(cos 2x1)sin，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的最小正周期為T(mén)，所以.(2)由(1)知f(x)sin，易得f(A)sin.因?yàn)閟in B，sin A，sin C成等比

10、數(shù)列，所以sin2Asin Bsin C，所以a2bc，所以cos A(當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)取等號(hào))因?yàn)?A，所以0A，所以3A，所以sin1，所以10，2tan 2tan 2，當(dāng)且僅當(dāng)tan ，即tan ，時(shí)等號(hào)成立故選D.方法二為銳角，sin 0，cos 0，2tan 2，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立故選D.6(2017全國(guó))已知，tan 2，則cos_.答案解析coscos cos sin sin (cos sin )又由，tan 2知，sin ，cos ，cos.7設(shè)ABC內(nèi)切圓與外接圓的半徑分別為r與R.且sin Asin Bsin C234，則cos C_；當(dāng)BC1時(shí)，ABC的面積等于_答案解

11、析sin Asin Bsin C234，abc234.令a2t，b3t，c4t，則cos C，sin C.當(dāng)BC1時(shí)，AC，SABC1.8(2018綿陽(yáng)診斷)如圖，在ABC中，BC2，ABC，AC的垂直平分線(xiàn)DE與AB，AC分別交于D，E兩點(diǎn)，且DE，則BE2_.答案解析如圖，連接CD，由題設(shè)，有BDC2A，所以，故CD.又DECDsin A，所以cos A，而A(0，)，故A，因此ADE為等腰直角三角形，所以AEDE.在ABC中，ACB75，所以，故AB1，在ABE中，BE2(1)222(1).9(2017全國(guó))ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sin(AC)8sin2.(1

12、)求cos B；(2)若ac6，ABC的面積為2，求b.解(1)由題設(shè)及ABC，得sin B8sin2，故sin B4(1cos B)上式兩邊平方，整理得17cos2B32cos B150，解得cos B1(舍去)或cos B.故cos B.(2)由cos B，得sin B，故SABCacsin Bac.又SABC2，則ac.由余弦定理及ac6，得b2a2c22accos B(ac)22ac(1cos B)3624，所以b2.10(2018西寧模擬)已知函數(shù)f(x)cossincos2.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)已知在ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若f(A)1，a

13、2，求ABC面積的最大值解(1)f(x)cossincos2sin xcos xsin2xsin 2xcos 2xsin.令2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ)(2)由(1)知f(A)sin1，因?yàn)锳(0，)，所以2A，所以2A，所以A.在ABC中，由余弦定理得a2b2c22bccos A，又a2，則4b2c2bc2bcbcbc，即bc4，當(dāng)且僅當(dāng)bc2時(shí)，等號(hào)成立所以ABC面積的最大值為SABCbcsin A4.B組能力提高11已知2sin 1cos ，則tan 等于()A或0 B.或0C D.答案A解析因?yàn)?sin 1cos ，所以4sin cos

14、12sin2，解得sin 0或2cos sin ，即tan 0或2，又tan ，當(dāng)tan 0時(shí)，tan 0；當(dāng)tan 2時(shí)，tan .12在銳角ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿(mǎn)足(ab)(sin Asin B)(cb)sin C，若a，則b2c2的取值范圍是()A(3,6 B(3,5) C(5,6 D5,6答案C解析(ab)(sin Asin B)(cb)sin C，由正弦定理得(ab)(ab)(cb)c，即b2c2a2bc，cos A，又A(0，)，A，BC.又ABC為銳角三角形，B.由正弦定理2，得b2sin B，c2sin C，b2c24(sin2Bsin2C)4432sin2B2sin Bcos B31cos 2Bsin 2B4242cos，又B，2B，1cos，5，0A.由正弦定理得.0tan A，2，即2.的取值范圍是(2，)14如圖，在ABC中，D為邊BC上一點(diǎn)，AD6，BD3，DC2