1、第2課時(shí)利用向量證明空間中的垂直關(guān)系,【思考】若直線l1的方向向量為1=(1,3,2),直線l2的方向向量為2=(1,-1,1),那么兩直線是否垂直?用向量法判斷兩條直線垂直的一般方法是什么? 答案l1與l2垂直,因?yàn)?2=1-3+2=0,所以12,又1,2是兩直線的方向向量,所以l1與l2垂直. 垂直關(guān)系與方向向量、法向量的關(guān)系,【做一做1】 直線l1,l2的方向向量分別為a=(1,2,-2),b=(-2,3,2),則() A.l1l2 B.l1與l2相交,但不垂直 C.l1l2 D.不能確定 解析因?yàn)閍b=0,所以ab,故l1l2. 答案C 【做一做2】 設(shè)平面的法向量為(1,2,-2),

2、平面的法向量(-2,-4,k),若,則k=() A.2B.-5 C.4D.-2 解析因?yàn)?所以-2-8-2k=0,解得k=-5. 答案B,做一做3】 判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“”,錯(cuò)誤的打“”. (1)若兩直線方向向量的數(shù)量積為0,則這兩條直線一定垂直相交. () (2)若一直線與平面垂直,則該直線的方向向量與平面內(nèi)的所有直線的方向向量的數(shù)量積為0.() (3)兩個(gè)平面垂直,則其中一平面內(nèi)的直線的方向向量與另一平面內(nèi)的直線的方向向量垂直.() (4)確定直線的方向向量,可以用空間一個(gè)基底表示,也可以建立空間直角坐標(biāo)系,寫(xiě)出方向向量的坐標(biāo).() (5)若兩平面,的法向量分別為

3、u1=(1,0,1),u2=(0,2,0),則平面,互相垂直.() 答案(1)(2)(3)(4)(5),探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),探究一利用向量方法證明線線垂直,例1 如圖,PA平面ABCD,四邊形ABCD是矩形,PA=AB=1,點(diǎn)F是PB的中點(diǎn),點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng).求證:無(wú)論點(diǎn)E在邊BC上的何處,都有PEAF.,思路分析只需證明直線PE與AF的方向向量互相垂直即可.,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),證明(方法1)以A為原點(diǎn),以AD,AB,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AD=a,則A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,1,0),C(a,1,0),探究一

4、,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),反思感悟利用向量方法證明線線垂直的方法 (1)坐標(biāo)法:建立空間直角坐標(biāo)系,寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),求出兩直線方向向量的坐標(biāo),然后通過(guò)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則證明數(shù)量積等于0,從而證明兩條直線的方向向量互相垂直; (2)基向量法:利用空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及其運(yùn)算律,結(jié)合圖形,將兩直線所在的向量用基向量表示,然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律證明兩直線所在的向量的數(shù)量積等于0,從而證明兩條直線的方向向量互相垂直.,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),延伸探究本例條件不變,求證:AFBC.,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),變式訓(xùn)練1在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為AC的中點(diǎn)

5、.求證: (1)BD1AC; (2)BD1EB1.,證明以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則B(1,1,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),探究二利用向量方法證明線面垂直 例2 在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分別為棱AB,BC,B1B的中點(diǎn).求證:D1M平面EFB1.,思路分析一種思路是不建系,利用基向量法證明 與平面EFB1內(nèi)的兩個(gè)不共線向量都垂直,從而根據(jù)線面垂直的判定定理證得結(jié)論;另一種思路是建立空間直角坐標(biāo)系,通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)

6、算證明 與平面EFB1內(nèi)的兩個(gè)不共線向量都垂直;還可以在建系的前提下,求得平面EFB1的法向量,然后說(shuō)明 與法向量共線,從而證得結(jié)論.,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),(方法2)分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),反思感悟利用空間向量證明線面垂直的方法 (1)基向量法:選取基向量,用基向量表示直線所在的向量,在平面內(nèi)找出兩個(gè)不共線的向量,也用基向量表示,然后根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算律分別證明直線所在向量與兩個(gè)不共線向量的數(shù)量積均為零,從而證得結(jié)論. (2)坐標(biāo)法:建

7、立空間直角坐標(biāo)系,求出直線方向向量的坐標(biāo)以及平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量的坐標(biāo),然后根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則證明直線的方向向量與兩個(gè)不共線向量的數(shù)量積均為零,從而證得結(jié)論. (3)法向量法:建立空間直角坐標(biāo)系,求出直線方向向量的坐標(biāo)以及平面法向量的坐標(biāo),然后說(shuō)明直線方向向量與平面法向量共線,從而證得結(jié)論.,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),變式訓(xùn)練2如圖,在四棱錐P-ABCD中,ABCD,ABAD,AB=4,AD=2 ,CD=2,PA平面ABCD,PA=4.求證:BD平面PAC.,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),證明因?yàn)锳P平面ABCD,ABAD,所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在的直線分別為

8、x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),探究三利用向量方法證明面面垂直 例3 如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABBC,AB=BC=2,BB1=1,點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn),證明:平面AEC1平面AA1C1C.,思路分析要證明兩個(gè)平面垂直,由兩個(gè)平面垂直的條件,可證明這兩個(gè)平面的法向量垂直,轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)平面的法向量n1,n2,證明n1n2=0.,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),解由題意得AB,BC,B1B兩兩垂直.以點(diǎn)B為原點(diǎn),BA,BC,BB1所在直線分別為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),反思感悟1.利用

9、空間向量證明面面垂直通常可以有兩個(gè)途徑:一是利用兩個(gè)平面垂直的判定定理將面面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直;二是直接求解兩個(gè)平面的法向量,由兩個(gè)法向量垂直,得面面垂直. 2.向量法證明面面垂直的優(yōu)越性主要體現(xiàn)在不必考慮圖形的位置關(guān)系,恰當(dāng)建系或用基向量表示后,只需經(jīng)過(guò)向量運(yùn)算就可得到要證明的結(jié)果,思路方法“公式化”,降低了思維難度.,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),變式訓(xùn)練3在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1平面ABC,ABBC,AB=BC=2,AA1=1,E為BB1的中點(diǎn),求證:平面AEC1平面AA1C1C.,證明由題意知直線AB,BC,B1B兩兩垂直,以B為原點(diǎn),分別以BA

10、,BC,BB1所在直線為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),思想方法 坐標(biāo)法證明線面垂直 典例如圖所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2,點(diǎn)D為CC1的中點(diǎn).求證:AB1平面A1BD.,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),證明法一:如圖所示,取BC的中點(diǎn)O,連接AO.因?yàn)锳BC為正三角形,所以AOBC. 因?yàn)樵谡庵鵄BC-A1B1C1中,平面ABC平面BCC1B1,所以AO平面BCC1B1.,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),方法總結(jié) 1.坐標(biāo)法證明線面垂直有兩種思路 法

11、一:(1)建立空間直角坐標(biāo)系; (2)將直線的方向向量用坐標(biāo)表示; (3)找出平面內(nèi)兩條相交直線,并用坐標(biāo)表示它們的方向向量; (4)分別計(jì)算兩組向量的數(shù)量積,得到數(shù)量積為0. 法二:(1)建立空間直角坐標(biāo)系; (2)將直線的方向向量用坐標(biāo)表示; (3)求出平面的法向量; (4)判斷直線的方向向量與平面的法向量平行. 2.使用坐標(biāo)法證明時(shí),如果平面的法向量很明顯,可以用法二,否則常常選用法一解決.,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),1.已知v為直線l的方向向量,n1,n2分別為平面,的法向量(,不重合),那么下列說(shuō)法中:n1n2;n1n2;vn1l;vn1l.正確的有() A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè) 解析平面,不重合,平面,的法向量平行(垂直)等價(jià)于平面,平行(垂直),正確;直線l的方向向量平行(垂直)于平面的法向量等價(jià)于直線l垂直(平行)于平面,都錯(cuò)誤.故選B. 答案B,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BB1,CD的中點(diǎn),則() A.平面AED平面A1FD1 B.平面AED平面A1FD1 C.平面AED與平面A1FD相交但不垂直 D.以上都不對(duì) 解析以D為原點(diǎn), 分別為x,y,z建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面AED的法向量n1與平面A1FD1的法向量n2.因?yàn)閚1n2=0,所以n1n2,故平面AE