1、4.2.2數(shù)列中的證明及存在性問題,等差(比)數(shù)列的判斷與證明 例1(2018全國,文17)已知數(shù)列an滿足a1=1,nan+1=2(n+1)an.設(shè) . (1)求b1,b2,b3; (2)判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列,并說明理由; (3)求an的通項(xiàng)公式.,解題心得1.判斷和證明數(shù)列是等差(比)數(shù)列的三種方法. (1)定義法:對(duì)于n1的任意自然數(shù),驗(yàn)證 為同一常數(shù). (2)通項(xiàng)公式法:若an=kn+b(nN*),則an為等差數(shù)列;若an=pqkn+b(nN*),則an為等比數(shù)列. (3)中項(xiàng)公式法:若2an=an-1+an+1(nN*,n2),則an為等差數(shù)列;若 (nN*,n2),則an為等

2、比數(shù)列. 2.對(duì)已知數(shù)列an與Sn的關(guān)系,證明an為等差或等比數(shù)列的問題,解題思路是:由an與Sn的關(guān)系遞推出n+1時(shí)的關(guān)系式,兩個(gè)關(guān)系式相減后,進(jìn)行化簡、整理,最終化歸為用定義法證明.,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和,已知S2=2,S3=-6. (1)求an的通項(xiàng)公式; (2)求Sn,并判斷Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差數(shù)列.,數(shù)列型不等式的證明 例2設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和,an0,且4Sn=an(an+2). (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;,解題心得要證明關(guān)于一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和的不等式,一般有兩種思路:一是先求和,再對(duì)和式放縮;二是先對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)放縮,再求數(shù)列的和,必要時(shí)對(duì)

3、其和再放縮.,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2已知數(shù)列l(wèi)og2(an-1)(nN*)為等差數(shù)列,且a1=3,a3=9. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;,(1)解 設(shè)等差數(shù)列l(wèi)og2(an-1)的公差為d. 由a1=3,a3=9,得log22+2d=log28,即d=1. log2(an-1)=1+(n-1)1=n,即an=2n+1.,數(shù)列中的存在性問題 例3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,an0,anan+1=Sn-1,其中為常數(shù). (1)證明:an+2-an=; (2)是否存在,使得an為等差數(shù)列?并說明理由.,(1)證明 由題設(shè),anan+1=Sn-1,an+1an+2=Sn+1-1, 兩式相減,得an+1(an+2-an)=an+1. 因?yàn)閍n+10,所以an+2-an=. (2)解 由題設(shè),a1=1,a1a2=S1-1,可得a2=-1. 由(1)知,a3=+1.令2a2=a1+a3,解得=4.故an+2-an=4. 由此可得a2n-1是首項(xiàng)為1,公差為4的等差數(shù)列,a2n-1=4n-3;a2n是首項(xiàng)為3,公差為4的等差數(shù)列,a2n=4n-1. 所以an=2n-1,an+1-an=2. 因此存在=4,使得數(shù)列an為等差數(shù)列.,解題心得假設(shè)推理法:先假設(shè)所探求對(duì)象存在或結(jié)論成立,以此假設(shè)為前提條件進(jìn)行運(yùn)算或邏輯推理,