1、1,2,主 要 內(nèi) 容,5.1 引 言,5.2 應(yīng)力計(jì)算結(jié)果的性質(zhì)與處理,5.3 子結(jié)構(gòu)法,5.4 結(jié)構(gòu)對稱性與周期性的利用,5.6 小 結(jié),5.5 非協(xié)調(diào)元與分片試驗(yàn),3,5. 1 引 言,1. 有限單元法的求解過程,（1）劃分單元，輸入節(jié)點(diǎn)和單元信息, 前處理器,（2）單元分析：N、Ke、Pe,（3）整體分析：,引入位移邊界條件，得到,（4）求解方程 得解a,（5）計(jì)算單元或節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力、應(yīng)變。, 求解器, 后處理器,的可視化表示。,4,2. 目前存在的問題,（1）,的精度較低。,如何由應(yīng)力、應(yīng)變結(jié)果的特點(diǎn)改善其精度？,（2）,如何利用結(jié)構(gòu)的幾何特點(diǎn)、受力特點(diǎn)簡化計(jì)算，減少工作量，提高計(jì)算效

2、率？,（3）,如：結(jié)構(gòu)與受力的對稱性、周期性結(jié)構(gòu)等；,子結(jié)構(gòu)法；,非協(xié)調(diào)元概念與應(yīng)用,（Wilson非協(xié)調(diào)元）。,5,5.2 應(yīng)力計(jì)算結(jié)果的性質(zhì)與處理,應(yīng)力、應(yīng)變的計(jì)算：, 精度較低。,誤差的原因：,（1）,單元內(nèi)平衡方程不能精確滿足；,（2）,單元交界面上應(yīng)力不連續(xù)；,（3）,邊界上邊界條件不能得到精確滿足等；,5.2.1 應(yīng)力近似解的性質(zhì),1. 位移解 a的性質(zhì),a有限元近似解，,a 真實(shí)解,由最小位能原理，可知，a具有下限的性質(zhì)：,原因：單元離散等相當(dāng)于加大了原結(jié)構(gòu)的剛度。,6,2. 應(yīng)力、應(yīng)變解 、 的性質(zhì),設(shè)u 、 、 近似解，,u、 、 真實(shí)解，有,近似解對應(yīng)的位能：,P(u)實(shí)際

3、的總位能, P(u)=0, 2P(u),7,在線彈性下，有,對于一具體問題， P(u)應(yīng)為一定值，,則 P(u*)的極值問題歸結(jié)為：,2P(u)的極小值問題。,將2P(u)表示成單元位能泛函的形式，有,8,上式表明：,2P(u)的極小值問題,求解,的加權(quán),二乘最小值問題。即,、 為、 在加權(quán)（D、C）最小二乘意義下的近似解。,、 的特點(diǎn)：,（1）、 在真正解、 上下振蕩；,（2）在某些點(diǎn)上有： = 、 =，即存在最佳應(yīng)力點(diǎn)。,利用、 的上述特點(diǎn)，作適當(dāng)處理，可提高應(yīng)力、應(yīng)變結(jié)果的精度。,9,5.2.2 等參元的最佳應(yīng)力點(diǎn),如前所說，用位移法進(jìn)行有限元應(yīng)力分析歸結(jié)為求泛函 (,)的極小值問題，即

4、,利用彈性力學(xué)的幾何方程和物理方程，有,可見：,若近似解 u*是 p 次多項(xiàng)式，L為 m 階微分算子，則, 為n= pm 次多項(xiàng)式。當(dāng)Jacobi行列式為常數(shù)時(shí)， 中被積函數(shù)為 2n 次多項(xiàng)式，因而要使它們能夠精確積分，至少應(yīng)采用 n+1 次Gauss積分。也就是說，真實(shí)應(yīng)力為 n+1 次多項(xiàng)式時(shí)，數(shù)值積分仍為精確的。即有下式精確成立：,10,假設(shè)每一單元中的高斯積分點(diǎn)上 i(i =1,2, , ng)的每一分量的變分是獨(dú)立的，則上式成立等價(jià)于,或,也就是說，即使真實(shí)應(yīng)力 為 n+1 次多項(xiàng)式，仍有近似應(yīng)力等于真實(shí)應(yīng)力?？梢?，若取n+1階積分，則在積分點(diǎn)上具有比其本身高一階的精度。,對，也有同

5、樣的性質(zhì)。,結(jié)論：,在等參單元中，單元中 n+1階（n =pm）Gauss積分點(diǎn)上的近似應(yīng)力比其它部位的應(yīng)力具有較高的精度。,稱 n+1階Gauss積分點(diǎn)為等參元中的最佳應(yīng)力點(diǎn)。,11,5.2.3 單元平均與節(jié)點(diǎn)平均,1. 問題的提出,有限元求得位移解（節(jié)點(diǎn)位移）a*后，其單元應(yīng)力為,（1） 通常為單元局部坐標(biāo)的函數(shù)；,（2） 相鄰單元邊界上應(yīng)力不連續(xù)，存在突跳現(xiàn)象；,（3） 結(jié)構(gòu)邊界上應(yīng)力與邊界條件不符，等；,工程實(shí)際問題，通常對單元的邊緣和節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力分布較關(guān)注，所以，需要對應(yīng)力結(jié)果作處理。,應(yīng)力結(jié)果的處理方法：,相鄰單元平均；繞節(jié)點(diǎn)平均；應(yīng)力磨平；利用邊界條件修正等,2. 取相鄰單元應(yīng)力的

6、平均值,適用于3節(jié)點(diǎn)三角形單元（常應(yīng)力單元）。,（1）算術(shù)平均：,12,（2）面積加權(quán)平均：,設(shè)單元 j 的面積為 Aj ，節(jié)點(diǎn) i 的應(yīng)力為：,3. 取圍繞節(jié)點(diǎn)各單元應(yīng)力的平均值,對6節(jié)點(diǎn)三角形單元、四邊形單元等，單元內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力各不相同，設(shè)各單元在節(jié)點(diǎn) i 處的應(yīng)力為,則，節(jié)點(diǎn) i 處的平均應(yīng)力為,m 圍繞節(jié)點(diǎn) i 周圍的全部單元數(shù),13,5.2.4 總體應(yīng)力磨平,(1) 基本思想,有限單元解得到的單元應(yīng)力分布特征,構(gòu)造一改進(jìn)的應(yīng)力解 , 此改進(jìn)解滿足: a) 在全域上連續(xù)；b) 與有限元求得的應(yīng)力解符合加權(quán)最小二乘原則。,式中：,M 單元總數(shù)； 待求的應(yīng)力改進(jìn)值，它在單元內(nèi)的分布可插值形

7、式得到，如,式中：,i 為待求的改進(jìn)后節(jié)點(diǎn)應(yīng)力值； ne 單元的節(jié)點(diǎn)數(shù)；,插值函數(shù)矩陣；可與位移插值函數(shù)相同，也可不同。,(2) 總體應(yīng)力磨平法,建立如下泛函，并取最小值,14,有限單元解得到的單元應(yīng)力分布特征,將 代入泛函作變分運(yùn)算，并考慮到 i 的任意性，得,即：,式中：M 應(yīng)力磨平所用的單元數(shù)。,由此可求出，改進(jìn)后各節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力值。,磨平后的單元應(yīng)力狀況,總體應(yīng)力磨平的缺點(diǎn)：,計(jì)算工作量十分龐大。相當(dāng)于求解兩個(gè)有限元問題。,15,5.2.5 單元應(yīng)力磨平,（1）基本思想,當(dāng)單元尺寸不斷縮小時(shí)，單元的加權(quán)最小二乘和單元未加權(quán)的最小二乘是相當(dāng)?shù)模涣硪环矫?，由于泛?(, )的正定性，全域的加權(quán)

8、最小二乘是單元的加權(quán)最小二乘的和。,當(dāng)單元尺寸足夠小時(shí)，應(yīng)力磨平可在單元上進(jìn)行。,（2）單元應(yīng)力磨平的方法,在單元內(nèi)建立如下泛函（并令權(quán)函數(shù) C = I）,并使該泛函取最小，以此求得改進(jìn)后的節(jié)點(diǎn)應(yīng)力值 。其中改進(jìn)的應(yīng)力值仍用節(jié)點(diǎn)應(yīng)力i 的插值表示，即,將上式代入單元泛函, 并使其一階變分等于零，有,也稱局部應(yīng)力磨平,16,或：,由此可求得單元改進(jìn)后的單元節(jié)點(diǎn)應(yīng)力i ，再由單元平均或繞節(jié)點(diǎn)平均等方法求得精度較高節(jié)點(diǎn) i 的平均應(yīng)力。,說明：,(a) 由單元應(yīng)力磨平采用權(quán)函 C = I ，使得上述方程變?yōu)榻怦罘匠?，因而求解工作量大大減少。,(b) 對等參元，上述方程中的有限元應(yīng)力解 采用 Gaus

9、s 積分點(diǎn)上的應(yīng)力，則改進(jìn)后節(jié)點(diǎn)應(yīng)力值精度更高。,17,5.2.6 子域局部應(yīng)力磨平及外推,基本思想：僅對工程實(shí)際問題中感興趣的區(qū)域，如應(yīng)力集中區(qū)域、需專門校核應(yīng)力的區(qū)域進(jìn)行應(yīng)力磨平、修正處理。,5.2.7 引入力的邊界條件修正邊界應(yīng)力,設(shè)有限元法求得單元或節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力、應(yīng)變分量為,它們在邊界局部坐標(biāo)方向的分量為,局部坐標(biāo),對此局部坐標(biāo)有應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系：,18,令：,由第三式可求得：,代回第一、二式，得修正后應(yīng)力：,上述結(jié)果可對邊界應(yīng)力得到很大改進(jìn)。,19,5.3 子結(jié)構(gòu)法（簡介）,1. 基本思想,四層三跨框架結(jié)構(gòu),單跨橫梁結(jié)構(gòu),對于一工程實(shí)際的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，分成若干個(gè)部分，每一部分稱為一個(gè) “子結(jié)

10、構(gòu)”。,然后，在子結(jié)構(gòu)上劃分單元, 計(jì)算各單元的剛度矩陣、節(jié)點(diǎn)載荷列陣, 并組集子結(jié)構(gòu)的剛度矩陣、節(jié)點(diǎn)載荷列陣。,其次，將得到的子結(jié)構(gòu)剛度矩陣、節(jié)點(diǎn)載荷列陣，作自由度凝聚，得到緊縮的子結(jié)構(gòu)剛度矩陣、節(jié)點(diǎn)載荷列陣。,最后，將各個(gè)子結(jié)構(gòu)緊縮的子結(jié)構(gòu)剛度矩陣、節(jié)點(diǎn)載荷列陣，組集成總的結(jié)構(gòu)剛度矩陣、總的節(jié)點(diǎn)載荷列陣，引入邊界條件后求解。,20,2. 內(nèi)部自由度凝聚,（1）子結(jié)構(gòu)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的位移分量,（2）子結(jié)構(gòu)邊界節(jié)點(diǎn)的位移分量,需要凝聚掉的位移自由度,自由度凝聚過程：,對圖示子結(jié)構(gòu)已建立有限元方程：,子結(jié)構(gòu)的剛度矩陣,分別為子結(jié)構(gòu)的位移列陣、等效節(jié)點(diǎn)載荷列陣,交界面上的節(jié)點(diǎn)位移,內(nèi)部及邊界節(jié)點(diǎn)位移,交

11、界面上的節(jié)點(diǎn)等效載荷,內(nèi)部及邊界節(jié)點(diǎn)等效載荷,將子結(jié)構(gòu)的方程寫成分塊形式：,21,由第二個(gè)方程求出：,將其代入第一個(gè)方程，消去 ai 有,令：,方程簡化為：,22,5.4 結(jié)構(gòu)對稱性與周期性的利用,5.4.1 具有對稱面的結(jié)構(gòu),對稱面上邊界條件的確定：,（1）將對稱面上位移分量分為對稱分量和反對稱分量，如：垂直對稱面為對稱位移分量；與對稱面相切為反對稱位移分量；,（2）將載荷分為對稱和反對稱,（3）對稱面上邊界條件的確定：,（a）對同一對稱面，在對稱載荷時(shí)，對稱的位移分量為零。,（b）對同一對稱面，在反對稱載荷時(shí)，反對稱的位移分量為零。,23,5.4.2 軸對稱體受非軸對稱載荷的情況,5.4.

12、3 旋轉(zhuǎn)周期結(jié)構(gòu),單元?jiǎng)澐謺r(shí)注意事項(xiàng)：,在結(jié)構(gòu)形狀變化劇烈處，單元設(shè)置稠密一些,在載荷變化劇烈處，單元設(shè)置稠密一些,24,5.5 非協(xié)調(diào)元與分片試驗(yàn)(patch test),（1）對邊界有良好的適應(yīng)性,引 言,1. 等參元的優(yōu)點(diǎn),（2）如同其母單元一樣，表達(dá)格式簡明,（3）具有與母單元同樣的收斂性,2. 等參元的局限性,其計(jì)算精度和效率不夠高，具有提高的潛力。,原因：,Ni 中存在不完全的高次多項(xiàng)式，它們對單元精度提高不起作用。如：,（1） 4結(jié)點(diǎn)四邊形單元：, 雙線性（完全的多項(xiàng)式僅為一次）,就線性的完全多項(xiàng)式而言，僅需3個(gè)節(jié)點(diǎn)6個(gè)自由度即可描述。,25,（2） 8節(jié)點(diǎn)四邊形單元：, 二次單

13、元（完全的多項(xiàng)式為二次的）,就完全二次多項(xiàng)式而言，僅需6個(gè)節(jié)點(diǎn)12個(gè)自由度即可描述。多余2個(gè)節(jié)點(diǎn)。,上述情況，在空間問題中更為嚴(yán)重。,不完全的高次多項(xiàng)式不但不能提高精度，有時(shí)可起負(fù)面作用。,例如：用二維雙線性單元描述純彎曲應(yīng)力狀態(tài),該問題的精確解為：,由平面問題的幾何方程和物理方程，得：, 為純彎曲的應(yīng)力狀態(tài)。E、 為彈性常數(shù)。,26,若用雙線性矩形單元模擬該應(yīng)力狀態(tài)：,對照精確解，有：,由幾何方程，得,由物理方程,近似位移,近似剪應(yīng)力,近似的 y,誤差原因：,位移中缺完全的二次多項(xiàng)式。,27,5.5.1 Wilson 非協(xié)調(diào)元,1. 基本思想,在不增加單元自由度情況下，位移插值函數(shù)中，增加一

14、些附加項(xiàng)，使其構(gòu)成完全多項(xiàng)式，以彌補(bǔ)原位移插函數(shù)中非完全多項(xiàng)式的不足。,Wilson稱這些附加項(xiàng)為：內(nèi)部無節(jié)點(diǎn)位移項(xiàng)。,以4節(jié)點(diǎn)四邊形等參元為例，,采用自然坐標(biāo)，其附加項(xiàng)為,附加項(xiàng)特點(diǎn),在4節(jié)點(diǎn)處，附加項(xiàng)的值為零，不影響節(jié)點(diǎn)位移,附加項(xiàng)的二次項(xiàng)使位移成為完全二次多項(xiàng)式,2. 二維4節(jié)點(diǎn)Wilson非協(xié)調(diào)元,位移模式：,28,其中：, 稱為內(nèi)部自由度，無明確的物理意義,將單元位移插值用矩陣表示：,其中：,29,應(yīng)變、單元位能泛函、單元有限元方程：,將假設(shè)單元位移代入幾何方程,得：,代入單元位能泛函,由,得：,其中：, 原4節(jié)點(diǎn)線性單元的剛度陣,30,單元的內(nèi)部自由度凝聚,由上式中的第二式可解出：

15、,將上式的第一式，有,整理，消去l , 有,令：,說明：,（1）上述方程包括了附加內(nèi)節(jié)點(diǎn)位移項(xiàng)得到的單元?jiǎng)偠汝嚭洼d荷列陣。,（2）單元?jiǎng)偠染仃嚨碾A數(shù)與原線性單元相同。消去附加自由度 14 的過程，稱為內(nèi)部自由度凝聚。,31,（3）若不存在體積力（ f 0）,則有,進(jìn)一步略去,中的第二項(xiàng)，則, 與原線性協(xié)調(diào)單元相同,實(shí)踐證明， 作以上處理后，計(jì)算量大大減少，且對精度影響不太大。,32,例題：懸臂梁受載荷A和載荷B作用，如圖所示。采用4節(jié)點(diǎn)矩形單元計(jì)算。,33,存在的問題：,單元邊界上位移分布：, Wilson元 不滿足協(xié)調(diào)條件，為非協(xié)調(diào)單元。,相鄰單元邊界的位移不能連續(xù)。,Wilson非協(xié)調(diào)元單

16、元收斂性如何？,34,實(shí)踐證明：,對于 C0 類型問題，若在單元尺寸趨于零（即單元應(yīng)變趨于常應(yīng)變）時(shí)，其位移的連續(xù)性能得到恢復(fù)，則非協(xié)調(diào)元的解仍能趨于精確解。,檢驗(yàn)非協(xié)調(diào)元是否收斂性的條件為：,（1）位移模式能否描述常應(yīng)變？,（2）在常應(yīng)變的條件下，能否自動(dòng)地保證位移的連續(xù)性？,分片試驗(yàn),采用任意不規(guī)則網(wǎng)格單元組成的單元片時(shí)能否模擬常應(yīng)力狀態(tài)。,能通過分片試驗(yàn)的非協(xié)調(diào)元，其有限元解一定收斂于精確解。,35,5.5.2 分片試驗(yàn),艾恩斯（Irons）,1965,j,1. 分片試驗(yàn)原理,考慮一任意的單元片，如圖所示，其中至少有一個(gè)節(jié)點(diǎn)是完全被單元所包圍的，如圖中的節(jié)點(diǎn) i ，其平衡方程為：,考察：

17、當(dāng)賦于單元片各個(gè)節(jié)點(diǎn)以與常應(yīng)變相應(yīng)位移值和載荷值時(shí)，校驗(yàn)平衡方程是否滿足，即此時(shí)節(jié)點(diǎn) i 的平衡條件是否滿足。,分片試驗(yàn)原理：,如果滿足，則認(rèn)為通過分片試驗(yàn)，即單元滿足常應(yīng)變的要求，此時(shí)，當(dāng)單元尺寸不斷縮小時(shí)，有限元解能收斂于真正解。,36,2. 分片試驗(yàn)的方法步驟,（1）賦予單元片中各節(jié)點(diǎn)以（與常應(yīng)變狀態(tài)相對應(yīng)）位移和載荷值,（2）將賦予的各節(jié)點(diǎn)位移和載荷值代入平衡方程,（3）判別平衡方程是否滿足。若滿足，則通過分片試驗(yàn)，解能收斂于真正解。,平面問題中非協(xié)調(diào)元的分片試驗(yàn),平面問題中，與常應(yīng)變對應(yīng)的位移為：,取各節(jié)點(diǎn)的位移值為：,與常應(yīng)變（常應(yīng)力）對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)載荷：,應(yīng)有：, 無體力, 無面力,

18、 無集中力,此時(shí)，分片試驗(yàn)條件變?yōu)椋?37,分片試驗(yàn)條件的意義：,（1）若平衡方程不成立，表明單元片具有與常應(yīng)變相應(yīng)的位移時(shí)，節(jié)點(diǎn) i 不能平衡。必須在節(jié)點(diǎn) i 處施加外力(如加約束力)，才能保持節(jié)點(diǎn) i平衡。導(dǎo)致非協(xié)調(diào)單元不能反映常應(yīng)變的要求。,（2）若平衡方程不成立，從能量角度看，是由于單元間的不協(xié)調(diào)變形損失外力的功。,分片試驗(yàn)的另一提法：,當(dāng)單元片的邊界節(jié)點(diǎn)賦予和常應(yīng)變相對應(yīng)的位移時(shí)，求解平衡方程得到分片內(nèi)部節(jié)點(diǎn) i 的位移 ai。若 ai 和常應(yīng)變狀態(tài)一致，則通過分片檢驗(yàn)。,38,平面4節(jié)點(diǎn)四邊形非協(xié)調(diào)元的分片試驗(yàn)條件,位移模式：,其中：, 附加的內(nèi)部自由度,兩種情形：,（1）當(dāng),時(shí)，

19、單元一定滿足收斂性條件，,（2）當(dāng)單元片各點(diǎn)賦予與常應(yīng)變相應(yīng)有位移：,因而，必定通過分片試驗(yàn)。,時(shí)，也應(yīng)有：,平面4節(jié)點(diǎn)四邊形非協(xié)調(diào)元的分片試驗(yàn)條件,39,4節(jié)點(diǎn)四邊形非協(xié)調(diào)元的方程為：,由第二式可求得：,當(dāng)不存在體積力（ f 0）時(shí), 可取,則：,常應(yīng)變狀態(tài)時(shí)：,則非協(xié)調(diào)內(nèi)位移為：,應(yīng)有,40,顯然，當(dāng)J為常數(shù)矩陣時(shí)，,成立，即通過分片試驗(yàn)，該非協(xié)單元是滿足收斂性條件的。,其中：,41,結(jié)論：,平面4節(jié)點(diǎn)四邊形非協(xié)調(diào)元的收斂條件：,說明：,(1) 滿足此條件的單元為：,平行四邊形單元和矩形單元,(2) 對一般四邊形單元不能通過分片試驗(yàn)，不滿足收斂性條件。但可作如下近似處理：,取：,可得較好的結(jié)果。, Wilson 建議,42,（3）類似可構(gòu)造8 節(jié)點(diǎn)六面體非協(xié)調(diào)單元：,位移模式：,其中：,通過分片試驗(yàn)的條件：,（1）平行六面體，,（2）對非平行六面體，取,其精度可達(dá)到20 節(jié)點(diǎn)六面體單元的精度。,43,