1、理科數(shù)學(xué)試題(附中版 ) 炎德 英才大聯(lián)考 湖南師大附中屆高三月考試卷(二 )數(shù)學(xué) (理科 )命題人：吳錦坤張汝波審題人：黃祖軍時量：分鐘滿分：分第卷一、選擇題：本大題共小題，每小題分，共分，在每小題的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 .() 已知集合，那么 ()()()()()() 已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的模是()()() () ()() 下列命題正確的是 ()() (， )，() ()， () ( ) () (， )，【解析】 選項不正確，如取，有. 因?yàn)楫?dāng)時，所以選項不正確.當(dāng) ()時， () ()，所以選項正確 .由，得或，所以選項不正確. 故選 .() 已知某幾何體的三視圖

2、如圖所示，其中正視圖，側(cè)視圖，俯視圖都是邊長為的正方形，則該幾何體的表面積為 ()()()()()【解析】 幾何體為一個正方體割去了一個三棱錐后所得的幾何體，結(jié)合數(shù)據(jù)得：() .() 運(yùn)行如圖所示的程序，若結(jié)束時輸出的結(jié)果不小于，則的取值范圍為()()()()()【解析】 依次運(yùn)行程序框圖中的語句可得，；，；，.此時結(jié)束循環(huán)，輸出的 ，則 ， ，故選 .() 從一副混合后的撲克牌(張 ) 中隨機(jī)抽取張，事件為“抽得紅桃”，事件為“抽得為黑1 / 8桃”，則概率( ) ()()()()()() 若 (， )稱為二次元函數(shù)，已知(，) ， 錯誤 ! 則 ( )的最大值等于 ()()()()() 【

3、解析】 由題意可將題目轉(zhuǎn)化為已知實(shí)數(shù)，滿足的約束條件錯誤 ! 求的最大值，作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影所示，由圖知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)()時，取得最大值，為.故選 .() 已知函數(shù) () 是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，() .若， ( ) () ，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ()()()()()() 在直角梯形中， ，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓弧上變動 (如圖所示 ).若 ，其中 ， ，則 的取值范圍是 ()()() ()( ， ) (， ) () )【解析】 以為坐標(biāo)原點(diǎn)， 、分別為，軸建立平面直角坐標(biāo)系，依題意得() ，() ， ()， ()， ( )，設(shè) ( ， )，依題意 ，即

4、( ， )，錯誤 ! 兩式相減得 ， ， .() 已知函數(shù) ()，把函數(shù) () 的圖象向右平移個單位，得到函數(shù) ()的圖象，若，是 () 在 )內(nèi)的兩根，則 ( )的值為 ()()()()()【解析】 () ，其中 ， .將函數(shù) ()的圖象向右平移個單位，得到 () ( )的圖象 .由，是 ()在內(nèi)的兩根，知方程 ( )在內(nèi)有兩個根， 即直線與 ( )的圖象在內(nèi)有兩個交點(diǎn)，且，關(guān)于直線對稱，所以，所以 ( ) .() 若點(diǎn) (， )為拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作兩條直線， ，分別與拋物線相交于點(diǎn)和點(diǎn)，連接，若直線，的斜率都存在且不為零，設(shè)其斜率分別為， ，則 ()() () ()()【解析】 設(shè)點(diǎn) (

5、，)，(，)，因?yàn)辄c(diǎn) (，)在拋物線上， 所以， 故直線的方程為，由錯誤 !得，此方程的兩個根分別為，同理可得，化簡得，故 . .() 設(shè)曲線 ( )在點(diǎn) (，) 處的切線為，曲線在( ) 在點(diǎn) (，) 處的切線為 .若存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ()() ()() ()【解析】函數(shù) ( )的導(dǎo)數(shù)為 ( )，2 / 8的斜率為( )，函數(shù) ( ) 的導(dǎo)數(shù)為 ( )由題設(shè)有 從而有 ( ) ( ) ( )，存在，得到 ，又 ，令導(dǎo)數(shù)大于得 ，故在 ()是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，時取得最大值為；時取得最小值為 . .第卷本卷包括必考題和選考題兩部分。第() ()題為必考題， 每個試題考生都必須作

6、答。第 () ()題為選考題，考生根據(jù)要求作答。二、填空題，本大題共小題，每小題分，共分.() 已知 ( )，且 ()，則的值是.() 若 的內(nèi)角滿足 ，則的最小值是.【解析】 由 得，即， .() 點(diǎn)是直角 斜邊上一動點(diǎn)，將直角沿著翻折，使 與 構(gòu)成直二面角，則翻折后 的最小值是.【解析】 過點(diǎn) 作 于，連結(jié)， ，設(shè) ，則有 ， ， .在 中，由余弦定理得 ，在 中，由勾股定理得 ，所以當(dāng) 時， 取得最小值為 .() 設(shè)是雙曲線 (，)在第一象限內(nèi)的點(diǎn)， 為其右焦點(diǎn)， 點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，若，設(shè) 且 ，則雙曲線離心率的取值范圍是.【解析】 設(shè)左焦點(diǎn)為 ，令，則，所以 .因?yàn)?，所以，所以，?/p>

7、.又因?yàn)?，于是 得 ).因?yàn)?，所以 ，故 )，故 .3 / 8三、解答題：共分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.()( 本小題滿分分)數(shù)列中， ，且，.( )設(shè) ，求證數(shù)列為等差數(shù)列；( )求數(shù)列的前項之和.【解析】 ( )由 ，則 ( ) ( ) (常數(shù) )，故 是以為首項，為公差的等差數(shù)列分( )由 ( )知，即 ，于是 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ，分故 . 分()( 本小題滿分分)如圖，四棱錐，底面是直角梯形，底面， 是邊長為的等邊三角形， .( )求證：平面平面；( )若點(diǎn)為中點(diǎn)，求二面角的余弦值.【解析】 ( )是邊長為的等邊三角形，底面是直角梯形，又，.又

8、底面，平面， 平面，平面平面分4 / 8( )以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，過且與平行的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則 (， )， (， )， ()，設(shè)平面的法向量為 (， )，則 錯誤 !取， (， )分為中點(diǎn)，則，設(shè)平面的法向量為(， )，則錯誤 ! 取， 錯誤 ! 分由 . 二面角的余弦值為分()( 本小題滿分分)計劃在某水庫建一座至多安裝臺發(fā)電機(jī)的水電站，過去年的水文資料顯示，水庫年入流量 (年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和，單位：億立方米 )都在以上，其中不足的年份有年， 不低于且不超過的年份有年， 超過的年份有年 .將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)

9、各年的年入流量相互獨(dú)立.( )求在未來年中，至多年的年入流量超過的概率；( )水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺數(shù)受年入流量限制，并有如下關(guān)系：年入流量發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺數(shù)若某臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺發(fā)電機(jī)年利潤為萬元； 若某臺發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺發(fā)電機(jī)年虧損萬元，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺？【解析】 ( )依題意： ()， ( )， ( )，分由二項分布，在未來年內(nèi)至多一年年入流量超過的概率為： ( ) ( ) ) ；分( )記水電站年總利潤為 (萬元 ) ，由于水庫年入流量總大于，所以至少安裝臺，情形：安裝臺發(fā)電機(jī)：一臺發(fā)動機(jī)運(yùn)行的概率為，利潤

10、， ；分情形：安裝臺發(fā)電機(jī)：當(dāng)時，只能臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時，則 ( ) ( )，當(dāng) 時，兩臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時 ，則 ( ) ( )，故的分布列為：5 / 8從而 ；分情形：安裝臺發(fā)電機(jī)：當(dāng)時，只能臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時 ，則 ( ) ( )，當(dāng) 時，臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時，則 ( ) ( )，當(dāng) 時，臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時 ，則 ( ) ( )，從而的分布列為：則 ；分總上分析，要年利潤均值最大，應(yīng)該安裝臺發(fā)電機(jī)分()( 本小題滿分分)如圖，已知橢圓： ()的離心率為，以橢圓的左頂點(diǎn)為圓心作圓： ( ) ()，設(shè)圓與橢圓交于點(diǎn)與點(diǎn) .( )求的最小值，并求此時圓的方程；( )設(shè)點(diǎn)是橢圓上異于，的任意點(diǎn)， 且

11、直線， 分別與軸交于， 點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)， 求證： 為定值 .【解析】 ( )依題意，得，則，則橢圓方程為：，分顯然，點(diǎn)，關(guān)于軸對稱，不妨設(shè)(， )， (， )( )，則 (， (， ) ( )，分而點(diǎn)，在橢圓上，則，則 ( )，又，則時， 取得最小值分此時，所以 取最小值時，圓的方程為() 分( )設(shè) (， )，則直線的方程為：( )，令得，同理可得：，故 分又點(diǎn)，在橢圓上，故( )， ( )，代入 得：，所以，為定值分()( 本小題滿分分)已知函數(shù) () ，函數(shù) ()， .( )若曲線 ()與直線相切，證明：() () ；6 / 8( )若函數(shù) ()與 ()的圖象有且僅有一個公共點(diǎn)( ，)，

12、證明： .【解析】 ( )設(shè)曲線 ()與直線相切與點(diǎn)(，)，則錯誤 !錯誤 !，分而點(diǎn) (， )在曲線 () 上，將點(diǎn)代入得，分令 () () () ( )，則 () ，分當(dāng) ()時 ()，函數(shù) () 單調(diào)遞減，當(dāng) (， )時 ()，函數(shù) ()單調(diào)遞增，故函數(shù) ()的最小值為 () ，即 () () ；分( )() () () ，由題意函數(shù)()有且僅有一個零點(diǎn)，因?yàn)?()， () ，則 為() (， )上的增函數(shù)，且其值域?yàn)?，?在() (， )上有唯一的零點(diǎn)，設(shè)為，則當(dāng) (， )時 ()，則 () 單調(diào)遞減，當(dāng) (， )時 ()，則 ()單調(diào)遞增，從而函數(shù) ()在處取得最小值，又函數(shù) ()有

13、唯一零點(diǎn)，則必有，所以： 錯誤 !錯誤 !消去整理得：( ) ，令 () ( ) ，顯然為其零點(diǎn)，而 () ( )，故 () 在 ()上單調(diào)遞增，在 ( ， )上單調(diào)遞減，而 () ， () ，所以 ()在 () 內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn)，在， )內(nèi)無零點(diǎn)，從而 ()的零點(diǎn)一定小于，即分請考生在第 () () 題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。()( 本小題滿分分)選修：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為錯誤 ! (為參數(shù)， 為直線的傾斜角). 以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，取相同的長度單位，建立極坐標(biāo)系.圓的極坐標(biāo)方程為 ，設(shè)直線與圓交于，兩點(diǎn).( )求圓的直角坐標(biāo)方程與的取值范圍；( )若點(diǎn)的坐標(biāo)為 ( )，求的取值范圍.【解析】 ( )圓的直角坐標(biāo)方程分把錯誤 ! 代入得分又直線與圓交于，兩點(diǎn)