1、課程簡(jiǎn)介,對(duì) 象,復(fù)變函數(shù)（自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)）,主要任務(wù),研究復(fù)變數(shù)之間的相互依賴(lài)關(guān)系， 具體地就是復(fù)數(shù)域上的微積分。,主要內(nèi)容,復(fù)變函數(shù)的積分、級(jí)數(shù)、留數(shù)、 共形映射等。,復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、,學(xué)習(xí)方法,復(fù)變函數(shù)中許多概念、理論、和 方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的推 廣和發(fā)展，它們之間有許多相似 之處。但又有不同之處，在學(xué)習(xí) 中要善于比較、區(qū)別、特別要注 意復(fù)數(shù)域上特有的那些性質(zhì)與結(jié) 果。,背景,復(fù)數(shù)是十六世紀(jì)人們?cè)诮獯鷶?shù)方程時(shí)引進(jìn)的。為使負(fù)數(shù)開(kāi)方有意義，需要再一次擴(kuò)大數(shù)系，使實(shí)數(shù)域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)域。但在十八世紀(jì)以前，由于對(duì)復(fù)數(shù)的概念及性質(zhì)了解得不清楚，用它們進(jìn)行計(jì)算又得到一些矛盾，所以，在

2、歷史上長(zhǎng)時(shí)期人們把復(fù)數(shù)看作不能接受的“虛數(shù)”。直到十八世紀(jì)，J.DAlembert(1717-1783)與L.Euler(1707-1783)等人逐步闡明了復(fù)數(shù)的幾何意義和物理意義，澄清了復(fù)數(shù)的概念，并且應(yīng)用復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)研究了流體力學(xué)等方面的一些問(wèn)題。復(fù)數(shù)才被人們廣泛承認(rèn)接受，復(fù)變函數(shù)論才能順利建立和發(fā)展。,復(fù)變函數(shù)的理論基礎(chǔ)是十九世紀(jì)奠定的。 A.L.Cauchy （1789-1866)和K.Weierstrass(1815-1897)分別應(yīng)用積分和級(jí)數(shù)研究復(fù)變函數(shù)，G.F.B.Riemann (1826-1866)研究復(fù)變函數(shù)的映照性質(zhì)。他們是這一時(shí)期的三位代表人物。經(jīng)過(guò)他們的巨大努力，

3、復(fù)變函數(shù)形成了非常系統(tǒng)的理論，且滲透到了數(shù)學(xué)的許多分支，同時(shí)，它在熱力學(xué)，流體力學(xué)和電學(xué)等方面也得到了很多的應(yīng)用。 二十世紀(jì)以來(lái)，復(fù)變函數(shù)已被廣泛地應(yīng)用在理論物理、彈性理論和天體力學(xué)等方面，與數(shù)學(xué)中其它分支的聯(lián)系也日益密切。,第一講復(fù)數(shù),1. 復(fù)數(shù)的概念 2. 代數(shù)運(yùn)算 3. 共軛復(fù)數(shù),CH1 1復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算,一般, 任意兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小。,1. 復(fù)數(shù)的概念,判斷復(fù)數(shù)相等,定義 z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的和、差、積和商為： z1z2=(x1x2)+i(y1y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2),2. 代數(shù)運(yùn)算,

4、四則運(yùn)算,z1+z2=z2+z1； z1z2=z2z1； (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)； z1(z2z3)=(z1z2)z3； z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .,運(yùn)算規(guī)律,復(fù)數(shù)的運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律、分配律。（與實(shí)數(shù)相同）即，,共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì),3.共軛復(fù)數(shù),定義 若z=x+iy , 稱(chēng)z=x-iy 為z 的共軛復(fù)數(shù).,(conjugate),1. 點(diǎn)的表示 2. 向量表示法 3. 三角表示法 4. 指數(shù)表示法,2 復(fù)數(shù)的表示方法,1. 點(diǎn)的表示,數(shù)z與點(diǎn)z同義.,2. 向量表示法,稱(chēng)向量的長(zhǎng)度為復(fù)數(shù)z=x+iy的模或絕對(duì)值； 以正實(shí)軸 為始邊, 以 為終邊的角的 弧度

5、數(shù) 稱(chēng)為復(fù)數(shù)z=x+iy的輻角.(z0時(shí)),輻角無(wú)窮多：Arg z=0+2k， kZ，,z=0時(shí)，輻角不確定。,當(dāng)z落于一,四象限時(shí)，不變。,當(dāng)z落于第二象限時(shí)，加 。,當(dāng)z落于第三象限時(shí)，減 。,由向量表示法知,3. 三角表示法,4. 指數(shù)表示法,引進(jìn)復(fù)數(shù)的幾何表示，可將平面圖形用復(fù)數(shù)方程 （或不等式）表示；反之，也可由給定的復(fù)數(shù)方 程（或不等式）來(lái)確定它所表示的平面圖形。,例1 用復(fù)數(shù)方程表示: （1）過(guò)兩點(diǎn) zj=xj+iyj (j=1,2)的直線； （2）中心在點(diǎn)(0, -1), 半徑為2的圓。,解 （1） z=z1+t (z2-z1) （-t +）,例2 方程 表示 什么圖形？,解,

6、注意. 復(fù)數(shù)的各種表示法可以相互轉(zhuǎn)化,以適應(yīng) 不同問(wèn)題的需要.,1. 復(fù)數(shù)的乘積與商 2. 復(fù)數(shù)的乘冪 3.復(fù)數(shù)的方根,3 復(fù)數(shù)的乘冪與方根,定理1 兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模相乘， 兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角相加。,證明 設(shè) z1=r1(cos1+isin1)=r1ei1 z2=r2(cos2+isin2)=r2ei2 則 z1z2=r1r2(cos1+isin1)( cos2+isin2) = r1r2cos (1+2)+isin(1+2) =r1r2e i(1+2),1. 乘積與商,因此 |z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2,幾何意義 將復(fù)數(shù)z1按逆

7、時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角度 Argz2，再將其伸縮到|z2|倍。,定理1可推廣到n 個(gè)復(fù)數(shù)的乘積。,要使上式成立,必須且只需 k=m+n+1.,定理2 兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商， 兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除 數(shù)的輻角之差。,證明, Argz=Argz2-Argz1 即：,由復(fù)數(shù)除法的定義 z=z2 /z1，即 z1z = z2 |z|z1|=|z2|及Argz1+Argz=Arg z2（ z10）,設(shè)z=re i，由復(fù)數(shù)的乘法定理和數(shù)學(xué)歸納法可證 明 zn=rn(cos n+isin n)=rn ein。,2.復(fù)數(shù)的乘冪,定義,問(wèn)題 給定復(fù)數(shù)z=re i ，求所有的滿足n=z 的 復(fù)數(shù)

8、。,3.復(fù)數(shù)的方根,（開(kāi)方）乘方的逆運(yùn)算,當(dāng)k=0，1，n-1時(shí)，可得n個(gè)不同的根， 而k取其它整數(shù)時(shí)，這些根又會(huì)重復(fù)出現(xiàn)。,幾何上， 的n個(gè)值是 以原點(diǎn)為中心， 為半 徑的圓周上n個(gè)等分點(diǎn)， 即它們是內(nèi)接于該圓周 的正n邊形的n個(gè)頂點(diǎn)。,4.復(fù)球面,擴(kuò)充復(fù)平面的一個(gè)幾何模型就是復(fù)球面。,(1)復(fù)平面上每一條直線都通過(guò)點(diǎn)，同時(shí)，沒(méi)有一個(gè)半平面包括點(diǎn)。,關(guān)于新“數(shù)”還需作如下幾點(diǎn)規(guī)定：,(2) 的實(shí)部，虛部及幅角都無(wú)意義，,(3)b0(但可為)時(shí)，,(4)a時(shí)，,(5)運(yùn)算 ，0 ， 無(wú)意義,1. 區(qū)域的概念 2. 簡(jiǎn)單曲線（或Jordan曲線) 3. 單連通域與多連通域,4 區(qū) 域,1. 區(qū)域的概念,鄰域,復(fù)平面上以 z 0為中心，任意 0為半徑的圓 | z -z 0|(或 0 | z z 0|) 內(nèi)部的點(diǎn) 的集合稱(chēng)為點(diǎn) z 0 的（去心）鄰域 。 記為(z0 ,) 即，,設(shè)G是一平面上點(diǎn)集,連通