1、,*三、二重積分的換元法,第二節(jié),一、利用直角坐標計算二重積分,二、利用極坐標計算二重積分,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,二重積分的計算法,第十章,一、利用直角坐標計算二重積分,且在D上連續(xù)時,由曲頂柱體體積的計算可知,若D為 X 型區(qū)域,則,若D為Y 型區(qū)域,則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,當被積函數(shù),均非負,在D上變號時,因此上面討論的累次積分法仍然有效 .,由于,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,說明: (1) 若積分區(qū)域既是X型區(qū)域又是Y 型區(qū)域 ,為計算方便,可選擇積分序, 必要時還可以交換積分序.,則有,(2) 若積分域較復雜,可將它分成若干,X-型域或Y-型域 ,

2、則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例1. 計算,其中D 是直線 y1, x2, 及,yx 所圍的閉區(qū)域.,解法1. 將D看作X型區(qū)域, 則,解法2. 將D看作Y型區(qū)域, 則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例2. 計算,其中D 是拋物線,所圍成的閉區(qū)域.,解: 為計算簡便, 先對 x 后對 y 積分,及直線,則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例3. 計算,其中D 是直線,所圍成的閉區(qū)域.,解: 由被積函數(shù)可知,因此取D 為X 型域 :,先對 x 積分不行,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,注意:(1)凡遇,等不能用初等函數(shù)表示原函數(shù)的積分，,均須更換積分次序.但在更換積分次序

3、時，必須先,(2) 有些二次積分為了積分方便, 還需交換積分順序.,畫出積分區(qū)域D 的圖形，再根據(jù)積分次序的要求，,重新寫出D 的邊界方程.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例4. 交換下列積分順序,解: 積分域由兩部分組成:,視為Y型區(qū)域 , 則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,y,x,1,1,o,1,1,例5.,解：,如圖,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,y,x,1,1,o,1,1,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例6. 計算,其中D 由,所圍成.,解: 令,(如圖所示),顯然,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,練習題1,解：,或,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,14

4、,解： 因 的原函數(shù)積不出來，按先對 y 后對 x 的積分次序無法計算出結果, 故須改變積分次序.,x,y,O,1,1,由題意知其X型區(qū)域為：,是Y型區(qū)域.,另解: 利用分部積分公式, 令,則有,練習題2,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,15,注：當積分區(qū)域D是一矩形且:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,16,則,證：,練習題3,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,17,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,18,x,y,O,y=x,2,1,2,x,y,1,o, 1,2,例8.,解: 如圖,解: 如圖,例7.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,x,y,1,o, 1,2,機動 目錄 上頁

5、 下頁 返回 結束,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例9. 計算,其中,解： 由于 的原函數(shù)無法用初等函數(shù)表示，,所以無論按先對 y 后對 x 還是先對 x 后對 y 的積分,次序，都無法計算出結果, 故須考慮其它方法計算.,我們注意到，直角坐標與極坐標的關系：,而且用極坐標表示圓域簡單，比如,二、利用極坐標計算二重積分,在極坐標系下, 用同心圓 r = 常數(shù),則除包含邊界點的小區(qū)域外, 小區(qū)域的面積,及射線 = 常數(shù) , 分劃區(qū)域 D 為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,(1)“大化小”,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,對應有,在,內取點,(2)“常代變”,(3)“近似和”,(4

6、)“取極限”,即,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,注:當二重積分的積分區(qū)域 D 的 邊界曲線用極坐標表示比較方便(如 D 為圓形、環(huán)形、扇形等)或被積函數(shù)用極坐標變量 r, ,表示比較簡單(如被積函數(shù)為,極坐標系計算二重積分也要化為,等)時,我們通常采用極坐標來計算二重積分.而用,二次積分來計算.,根據(jù)積分區(qū)域的形狀可分為下列兩種方法計算 二重積分.,(1)極點在區(qū)域的邊界之外：即,設,則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,(2)極點在區(qū)域的邊界之內：即,若 f 1 則可求得D 的面積,思考: 下列各圖中區(qū)域 D 分別與 x , y 軸相切于原點,答:

7、,試問 的變化范圍是什么?,(1),(2),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,解：積分區(qū)域如圖,例9. 寫出積分,的極坐標二次積分形式，,其中積分區(qū)域為,所以圓的方程為 r = 1,直線的方程為,在極坐標下,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例10. 計算,其中,解: 在極坐標系下,原式,的原函數(shù)不是初等函數(shù) ,故本題無法用直角,由于,故,坐標計算.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,注:,利用例10可得到一個在概率論與數(shù)理統(tǒng)計及工程,上非常有用的反常積分公式,事實上, 當 D 為 R2 時,利用例10的結果, 得,故式成立 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例11. 計算二重積分

8、,其中積分區(qū)域為,解：積分區(qū)域如圖.,由對稱性，可只考慮第一象限部分，即,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,x,o,解: 積分區(qū)域 D 如圖所示,則 D 的邊界曲線方程為 r = 2cos.,y,例12.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,D,x,y,o,解: 在直角坐標系下積分區(qū)域 D 如圖所示,1,顯然區(qū)域 D 為扇形, 則將其轉換為極坐標形式.,例13.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例14. 求球體,被圓柱面,所截得的(含在柱面內的)立體的體積.,解: 設,由對稱性可知,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,定積分換元法,*三、二重積分換元法,滿足,一階導數(shù)連續(xù);,雅可比行列式

9、,(3) 變換,則,定理:,變換:,是一一對應的 ,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,證: 根據(jù)定理條件可知變換 T 可逆.,用平行于坐標軸的,直線分割區(qū)域,任取其中一個小矩,形, 其頂點為,通過變換T, 在 xoy 面上得到一個四邊,形,其對應頂點為,則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,同理得,當h, k 充分小時,曲邊四邊形 M1M2M3M4 近似于平行四,邊形,故其面積近似為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,因此面積元素的關系為,從而得二重積分的換元公式:,例如, 直角坐標轉化為極坐標時,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例15. 計算,其中D 是 x 軸 y 軸和直線,所圍

10、成的閉域.,解: 令,則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例16. 計算由,所圍成的閉區(qū)域 D 的面積 S .,解: 令,則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例17. 試計算橢球體,解:,由對稱性,令,則D 的原象為,的體積V.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,內容小結,(1) 二重積分化為累次積分的方法,直角坐標系情形 :,若積分區(qū)域為,則,若積分區(qū)域為,則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,則,(2) 一般換元公式,且,則,極坐標系情形: 若積分區(qū)域為,在變換,下,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,(3) 計算步驟及注意事項, 畫出積分域, 選擇坐標系, 確定積分序, 寫出

11、積分限, 計算要簡便,區(qū)域邊界應盡量多為坐標線,被積函數(shù)關于坐標變量易分離,積分域分塊要少,累次積好算為妙,圖示法,不等式,( 先積一條線, 后掃積分域 ),充分利用對稱性,應用換元公式,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,思考與練習,1. 設,且,求,提示:,交換積分順序后, x , y互換,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,故,2. 交換積分順序,提示: 積分域如圖,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,作業(yè),P153 1 (2), (4); P154 2 (3), (4); 4 (2), (3); 5; 6 (2), (4); P155 11 (2), (4); 13 (3), (4); 14 (2), (3); 15 (1), (4); *19( 1); *20 (2),第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束,解：,原式,備用題,1. 給定,改變積分的次序.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2. 計算,其中D 為由圓,所圍成的,及直線,解：,平面閉區(qū)域.,機動 目錄