1、附錄 截面的幾何性質(zhì),其中面積A、極慣性矩IP均為和橫截面的形狀和尺寸有關(guān)的幾何量，稱為截面的幾何性質(zhì)。,在計(jì)算梁的應(yīng)力和位移時(shí)，還要用到另一些截面的幾何性質(zhì)。這一章就將介紹這些幾何性質(zhì)和其計(jì)算方法。,.1 截面的靜面矩和形心位置,.2 慣性矩、慣性積和慣性半徑,.4 轉(zhuǎn)軸公式 主慣性軸和主慣性矩,.3 平行移軸公式,目 錄,一、靜面矩,分別為圖形對(duì) z 軸和 y 軸的靜矩。,說明：,1、靜矩不僅與平面圖形的形狀尺寸有關(guān)，還與所選坐標(biāo)的位置有關(guān)。同一平面圖形對(duì)不同的坐標(biāo)軸，其靜矩不同。,2、靜矩的數(shù)值可正可負(fù)，也可以為零。,3、靜面矩的單位：mm3 或 m3,定義,面積對(duì)軸的一次矩,.1 截面

2、的靜面矩和形心位置,截面形心位置和均質(zhì)薄板的重心位置重和。設(shè)形心C的坐標(biāo)為yC、zC，利用合力矩定理得。,二、形心,即:,從而：,推論,1、若平面圖形對(duì)某一坐標(biāo)軸的靜矩等于零，則該坐標(biāo)軸必通過圖形的形心。,2、平面圖形對(duì)通過其形心的坐標(biāo)軸的靜矩恒等于零，,即：軸過形心 S該軸=0,求所示圖形對(duì)y、z軸的靜矩以及形心位置,y,y+dy,解法1：,例 1,解法2：,試想想還有沒有其它方法？,？,例2 試求1、2部分對(duì)z軸的靜面積矩。,解：,1、2兩部分的面積和形心沿y軸的坐標(biāo)分別為,因?yàn)檎麄€(gè)矩形截面對(duì)z軸的靜面矩衡等于零，即,三、組合圖形的靜矩和形心,1、組合圖形對(duì)某一軸的靜矩等于組成它的各部分圖

3、形對(duì)同一軸靜矩的代數(shù)和，即：,其中：Ai， yi， zi 分別代表第i個(gè)圖形的面積和形心坐標(biāo)， n為分割成的簡(jiǎn)單圖形的個(gè)數(shù)。,2、組合圖形的形心坐標(biāo),其中：yc 、 zc為組合圖形的形心坐標(biāo)， Sz、Sy為組合圖形分別對(duì)z軸和y軸的靜矩, A為組合圖形的總面積,由于y軸是對(duì)稱軸,解：,.2 慣性矩、慣性積和慣性半徑,一、慣性矩與慣性積,慣性矩定義,圖形面積對(duì)某軸的二次矩,則分別定義為該截面對(duì)z軸和y軸得慣性矩,（3）其大小不僅與平面圖形的形狀尺寸有關(guān),而且還與平面圖形面積相對(duì)于坐標(biāo)軸的分布情況有關(guān).平面圖形的面積相對(duì)坐標(biāo)軸越遠(yuǎn),其慣性矩越大;反之,其慣性矩越小.,特點(diǎn)：,（1）慣性矩的量綱為長(zhǎng)

4、度的四次方，單位用m4 、 cm4 、 mm4.,（2）慣性矩恒為正值,慣性積定義,圖形對(duì)一對(duì)相互垂直的軸的矩,特點(diǎn):,(1)慣性積的量綱為長(zhǎng)度的四次方，單位為m4 、 cm4 、 mm4. (2)其值可正、可負(fù)，可為零。 (3)所選坐標(biāo)軸有一個(gè)對(duì)稱軸，則慣性積的值為零。,其中iy、iz分別為平面圖形對(duì)z軸和y軸的慣性半徑。,（4）組合圖形對(duì)某軸的慣性矩等于各組成圖形對(duì)同一軸的慣性矩之和:,（5）工程中常把慣性矩表示為平面圖形的面積與某一長(zhǎng)度平方的乘積, 即,或,（2）即平面圖行對(duì)通過一點(diǎn)的任意一對(duì)正交坐標(biāo)軸的慣性矩之和均相等, 并且等于平面圖形坐標(biāo)原點(diǎn)的極慣性矩.,二、極慣性矩,定義,圖形面

5、積對(duì)某點(diǎn)的二次矩：,特點(diǎn)：,（1）具有慣性矩的特點(diǎn),求所示圖形對(duì)過形心的z、y軸的慣性矩,例4,解：,求所示圖形對(duì)過形心的z、y軸的慣性矩,例5,解：,同理，對(duì)于空心圓：,.3 平行移軸公式,一、慣性矩的平行移軸公式,C為形心，y、z為原坐標(biāo)軸，yc、zc為過形心C分別與y、 z平行的坐標(biāo)軸,則有：,(1)兩平行軸中必須有一對(duì)軸為過形心的軸。 (2)截面對(duì)任意兩平行軸的慣性矩間的關(guān)系應(yīng)通過平行的形心軸慣性矩來換算。 (3)a、b的正負(fù)號(hào)由形心C在y、z坐標(biāo)系中所在的的象限來決定,說明：,例6,求所示圖形對(duì)過形心的z、y軸的慣性矩。,解：,（1）確定形心,由于y、 z為對(duì)稱軸，故y、z的坐標(biāo)原點(diǎn)

6、就是形心。,（2）計(jì)算三部分對(duì)z、y軸的慣性矩。,（3）計(jì)算圖形的慣性矩。,例 7 求圖示截面對(duì)水平z(過形心)軸的慣性矩。,解：可以看成外面的大矩形對(duì)z軸的慣性矩減去里面的小矩形對(duì)z軸的慣性矩。,形心坐標(biāo)：,外面的大矩形對(duì)Z軸的慣性矩為：,利用平行移軸公式，可得,里面的小矩形對(duì)z軸的慣性矩為：,所以,練習(xí)求圖示截面對(duì)水平z(過形心)軸的慣性矩。,解：可以看成外面的大矩形對(duì)z軸的慣性矩減去里面的小矩形對(duì)z軸的慣性矩。,形心坐標(biāo)：,外面的大矩形對(duì)Z軸的慣性矩為：,利用平行移軸公式，可得,里面的小矩形對(duì)z軸的慣性矩為：,所以,例 8 求圖示截面對(duì)于水平z軸的慣性矩。,解：,整個(gè)圓截面對(duì)z1軸的慣性

7、矩為 ，則半圓對(duì)z1軸慣性矩為,雖然z軸與z1軸平行，但是它不是半圓截面的形心軸，則,因此必須先確定半圓對(duì)過其形心軸的慣性矩,例 8 求圖示截面對(duì)于水平z軸的慣性矩。,解：,(1) 計(jì)算半圓對(duì)z軸的慣性矩,而,練習(xí)求圖示截面對(duì)水平軸zC的慣性矩。,.4 轉(zhuǎn)軸公式 主慣性軸和主慣性矩,一、慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式,則截面對(duì)y1軸的慣性矩為,任意軸y、z的慣性矩和慣性積已知，且規(guī)定a逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?由上面公式易得,二、截面的主慣性軸和主慣性矩,當(dāng)坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)90之后,由此可知，在坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，必然會(huì)有一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積,則y0、z0就稱之為主慣性軸，簡(jiǎn)稱主軸。截面對(duì)主軸的慣性矩稱之為主慣性矩。

8、,由上式可以解出a0的值，就確定兩個(gè)主軸中y0的位置，此時(shí)的Iy0恒大于Iz0值。,求慣性矩的極值,這說明1和0相等,故其中Iy0就是最大值，而Iz0就是最小值。,(4)形心主慣性矩：對(duì)任一形心的主慣性軸的慣性矩,幾個(gè)主要定義,(1)主慣性軸：Iy0z0=0，則y0、z0為主慣性軸。,(2)主慣性矩：對(duì)任一主慣性軸的慣性矩,(3)形心主慣性軸：過形心的主慣性軸的慣性矩,可以證明：任意平面圖形必定存在一對(duì)相互垂直的形心主慣性軸,若截面有兩個(gè)對(duì)稱軸，這兩個(gè)對(duì)稱軸就是截面的形心主軸。,例 9 求圖示截面形心主慣性矩。,解：(1)由對(duì)稱性易確定形心位置,(2)求圖示截面對(duì)y、z軸慣性矩,矩形1,矩形2,矩形3,對(duì)整個(gè)截面