1、第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,1 控制系統(tǒng)的微分方程式,2 傳遞函數(shù)與方塊圖,3 控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù),4 控制系統(tǒng)方框圖及其簡化,分析和設(shè)計(jì)任何一個(gè)控制系統(tǒng)，首要任務(wù)是建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。 建立數(shù)學(xué)模型的方法分為解析法和實(shí)驗(yàn)法。,解析法：依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理、化學(xué)定律列寫出變量間的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。,實(shí)驗(yàn)法：對系統(tǒng)或元件輸入一定形式的信號（階躍信號、 單位脈沖信號、正弦信號等），根據(jù)系統(tǒng)或元件的輸出 響應(yīng)，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理而辨識出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。,1 控制系統(tǒng)的運(yùn)動方程式,例1 如圖所示，求出以輸出電壓

2、U2為輸出變量和以輸入電壓U1為輸入變量的運(yùn)動方程。,解：根據(jù)基爾霍夫電壓定律：,例2 如圖是彈簧質(zhì)量阻尼器機(jī)械位移系統(tǒng)。試列寫以外力F(t)為輸入，位移x(t)為輸出的運(yùn)動方程。,確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量 根據(jù)系統(tǒng)所遵循的基本定律,依次列寫出各元件的運(yùn)動方程 消中間變量,得到只含輸入、輸出量的標(biāo)準(zhǔn)形式,列寫系統(tǒng)運(yùn)動方程的步驟：,標(biāo)準(zhǔn)形式：1、輸入在右邊，輸出及其各階導(dǎo)數(shù)在左邊。 2、導(dǎo)數(shù)按降冪排列。,對微分方程進(jìn)行拉氏變換,2 傳遞函數(shù)與方框圖,一.定義 傳遞函數(shù)： 初始條件為零時(shí)，線性定常系統(tǒng) 或元件輸出信號的拉氏變換與輸入信號的拉氏 變換的比，稱為該系統(tǒng)或元件的傳遞函數(shù)。,基本條件：1）

3、針對線性定常系統(tǒng)：能用線性微分方程 表示，且系數(shù)為常數(shù)。 2）初始條件為零,求該微分方程在零初條件下的拉氏變換：,特征方程 系統(tǒng)的階數(shù) 系統(tǒng)的極點(diǎn)，零點(diǎn),二 傳遞函數(shù)的性質(zhì),1.傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式，且分子、分母多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)均為實(shí)數(shù)，分母多項(xiàng)式的次數(shù)N大于等于分子多項(xiàng)式的次數(shù)M， 。 2.傳遞函數(shù)是表征線性定常系統(tǒng)或元件自身的固有特性，它與其輸入信號的形式無關(guān) ，但和輸入信號的作用位置及輸出信號的取出位置有關(guān)。,控制系統(tǒng),3.線性定常系統(tǒng)或元件的運(yùn)動方程與傳遞函數(shù)一一對應(yīng)，它們是在不同域?qū)ν幌到y(tǒng)或元件的描述。,4.物理結(jié)構(gòu)不同的系統(tǒng)可以有相同的傳遞函數(shù)。,傳遞函數(shù)可寫成,形式，

4、則 和 分別為G(S)的零點(diǎn)和極點(diǎn)。,（根的形式）,為時(shí)間常數(shù),（時(shí)間常數(shù)的形式）,也可寫成,傳遞函數(shù)的幾種形式,三.方框圖（結(jié)構(gòu)圖）,描述系統(tǒng)各元部件之間信號傳遞關(guān)系的數(shù)學(xué)圖形。,（3）引出點(diǎn)（測量點(diǎn)）:信號引出或測量的位置,從同一位 置引出的信號在數(shù)值和性質(zhì)方面完全相同； （4）方框（環(huán)節(jié)）:對信號進(jìn)行的數(shù)學(xué)變換，其中寫入元部件或系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；,2.常用符號及術(shù)語,（2）相加點(diǎn)(比較點(diǎn)）,（1）信號線:帶箭頭的直線,箭頭表示信號方向；,X2(S),X2(S),（5）方框圖的串聯(lián)、并聯(lián)、反饋連接。,X2(S),3方框圖的運(yùn)算 (1)串聯(lián)連接的傳遞函數(shù),結(jié)論：二環(huán)節(jié)串聯(lián)傳遞函數(shù)等于二傳遞函數(shù)

5、之積。,推廣：N環(huán)節(jié)串聯(lián)，傳遞函數(shù)等于N個(gè)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之積。,(2)并聯(lián)連接的傳遞函數(shù),結(jié)論：二環(huán)節(jié)并聯(lián)，其等效傳遞函數(shù)等于二環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之和。,推廣：N環(huán)節(jié)并聯(lián)，其等效傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之和。,(3)反饋回路傳遞函數(shù)的求取,前向通道：由偏差信號至輸出信號的通道； 反饋通道：由輸出信號至反饋信號的通道。,當(dāng)為正反饋時(shí),結(jié)論：,+,+,3 控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù),傳遞函數(shù),(1)若 則 定義: C(S)/R(S)為被控信號對于控制信號的閉環(huán)傳遞 函數(shù)，記為 ，即,開環(huán)傳遞函數(shù)：前向通道與反饋通道傳遞函數(shù)之積稱 為開環(huán)傳遞函數(shù)，記為G(S)。 單位反饋：若H(S)=1，則系統(tǒng)稱為單位反饋系統(tǒng)。

6、,定義: C(S)/F(S)為被控信號對于擾動信號的閉環(huán)傳遞函數(shù), 記為 。,令 稱為誤差傳遞函數(shù)， 記為：,（2）若,（3）,一. 方框圖的簡化,(1) 引出點(diǎn)前移,1 引出點(diǎn)等效移動規(guī)則,引出點(diǎn)前移,在移動支路中串入所越過的傳遞函數(shù)方框。,4 控制系統(tǒng)方框圖及其簡化,(2) 引出點(diǎn)后移,引出點(diǎn)后移,在移動支路中串入所越過傳遞函數(shù)的倒數(shù)的方框。,(1) 相加點(diǎn)前移,2 相加點(diǎn)等效移動規(guī)則,相加點(diǎn)前移，在移動支路中串入所越過的傳遞函數(shù)的倒數(shù)方框,(2) 相加點(diǎn)后移,相加點(diǎn)后移,在移動支路中串入所越過的傳遞函數(shù)方框。,3 方框圖的簡化實(shí)例,例: 試對下列方框圖其進(jìn)行簡化,并求其閉環(huán)傳遞函數(shù).,（

7、2）,（3）,解: 將B點(diǎn)移至C點(diǎn),則閉環(huán)傳遞函數(shù)為:,(4),(5),A點(diǎn)后移：,B點(diǎn)前移：,5 信號流圖,一.信號流圖的常用術(shù)語 :,源節(jié)點(diǎn)（或輸入節(jié)點(diǎn)）：只有輸出支路而沒有輸入支路的 節(jié)點(diǎn)，它一般代表系統(tǒng)的輸入變量，故也稱輸入節(jié)點(diǎn)。 阱節(jié)點(diǎn)：只有輸入支路而無輸出支路的節(jié)點(diǎn)稱為阱點(diǎn)或輸出 節(jié)點(diǎn), 與輸出信號相對應(yīng)。 混合節(jié)點(diǎn)：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)。,前向通路：從源點(diǎn)到阱點(diǎn)的通路上，通過任何節(jié)點(diǎn)不多于一 次，稱為前向通路，前向通路中各支路傳輸?shù)某?積，稱為前向通路增益。 回路：起點(diǎn)和終點(diǎn)在同一節(jié)點(diǎn)，而且信號通過每一節(jié)點(diǎn)不 多于一次的閉合通路。 不接觸回路：回路間沒有任何共有節(jié)點(diǎn),則稱其為不接觸回路。,x1,x4,x3,x2,a,b,e,c,d,x5,g,x6,1,h,1,f,二. 梅森增益公式,總增益,第k條前向通路總增益,前向通路總數(shù),流圖特征式,所有單獨(dú)回路增益之和,所有互不接觸的單獨(dú)回路中，每次取其中兩個(gè)回路的增益乘積之和,所有互不接觸的單獨(dú)回路中，每次取其中三個(gè)回路的增益乘積之和,中除去與第k條前向通路相接觸的回路增益項(xiàng)以后的余項(xiàng)式稱為流圖余子式,例1 使用梅森增益公式求下圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù),例2 系統(tǒng)的方框圖如圖所示，試求其傳遞函數(shù),例3 試求如圖所示信號流圖中的傳遞函數(shù),解：圖中單獨(dú)回路有四個(gè)，即,兩個(gè)互不接觸的回路有四組，即,三個(gè)互不接