1、二次函數(shù) 淮南九中 江福剛,1、二次函數(shù)的定義,定義： y=ax bx c （ a 、 b 、 c 是常數(shù)， a 0 ） 定義要點(diǎn)：a 0 最高次數(shù)為2 代數(shù)式一定是整式 練習(xí)：1、y=-x，y=2x-2/x，y=100-5 x， y=3 x-2x+5,其中是二次函數(shù)的有_個。,2.當(dāng)m_時,函數(shù)y=(m+1) - 2+1 是二次函數(shù)？,2、二次函數(shù)的圖像及性質(zhì),拋物線,頂點(diǎn)坐標(biāo),對稱軸,位置,開口方向,增減性,最值,y=ax2+bx+c(a0),y=ax2+bx+c(a0),由a,b和c的符號確定,由a,b和c的符號確定,a0,開口向上,a0,開口向下,在對稱軸的左側(cè),y隨著x的增大而減小.

2、 在對稱軸的右側(cè), y隨著x的增大而增大.,在對稱軸的左側(cè),y隨著x的增大而增大. 在對稱軸的右側(cè), y隨著x的增大而減小.,例2：,（1）求拋物線開口方向，對稱軸和頂點(diǎn)M的坐標(biāo)。 （2）設(shè)拋物線與y軸交于C點(diǎn)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，求C，A，B的坐標(biāo)。 （3）x為何值時，y隨的增大而減少，x為何值時，y有最大（?。┲担@個最大（?。┲凳嵌嗌伲?（4）x為何值時，y0？,已知二次函數(shù),0,(-1,-2),(0,-),(-3,0),(1,0),3,2,y,x,由圖象可知：,當(dāng)x1時，y 0,當(dāng)-3 x 1時，y 0,(4),2,頂點(diǎn)式：已知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)（h, k），通常設(shè)拋物線解析式為_ 求出

3、表達(dá)式后化為一般形式.,3,交點(diǎn)式:已知拋物線與x 軸的兩個交點(diǎn)(x1,0)、 (x2,0),通常設(shè)解析式為_ 求出表達(dá)式后化為一般形式.,1、一般式：已知拋物線上的三點(diǎn)，通常設(shè)解析式為_,y=ax2+bx+c(a0),y=a(x-h)2+k(a0),y=a(x-x1)(x-x2) (a0),3、求拋物線解析式的三種方法,練習(xí)：根據(jù)下列條件，求二次函數(shù)的解析式。,(1)、圖象經(jīng)過(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三點(diǎn)；,(2)、圖象的頂點(diǎn)(2，3)， 且經(jīng)過點(diǎn)(3，1) ；,(3)、圖象經(jīng)過(0，0)， (12，0) ，且最高點(diǎn) 的縱坐標(biāo)是3 。,例1、已知二次函數(shù)y=ax2+bx+

4、c的最大值是2，圖象頂點(diǎn)在直線y=x+1上，并且圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，-6）。求a、b、c。,解：二次函數(shù)的最大值是2 拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為2 又拋物線的頂點(diǎn)在直線y=x+1上 當(dāng)y=2時，x=1 頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ 1 ， 2） 設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x-1)2+2 又圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，-6） -6=a (3-1)2+2 a=-2 二次函數(shù)的解析式為y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x,4、a，b，c符號的確定,拋物線y=ax2+bx+c的符號問題：,（1）a的符號：,由拋物線的開口方向確定,開口向上,a0,開口向下,a0,（2）C的符號：,由拋物線與y軸的交點(diǎn)位置確定.,交點(diǎn)在x軸上

5、方,c0,交點(diǎn)在x軸下方,c0,經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),c=0,（3）b的符號：,由對稱軸的位置確定,對稱軸在y軸左側(cè),a、b同號,對稱軸在y軸右側(cè),a、b異號,對稱軸是y軸,b=0,（4）b2-4ac的符號：,由拋物線與x軸的交點(diǎn)個數(shù)確定,與x軸有兩個交點(diǎn),b2-4ac0,與x軸有一個交點(diǎn),b2-4ac=0,與x軸無交點(diǎn),b2-4ac0,（5）a+b+c的符號：因?yàn)閤=1時,y=a+b+c,所以a+b+c的符號由x=1時，對應(yīng)的y值決定。 當(dāng)x=1時，y0,則a+b+c0 當(dāng)x=1時，y0,則a-b+c0 當(dāng)x=-1，y0,則a-b+c0 當(dāng)x=-1，y=0,則a-b+c=0,、二次函數(shù)y=ax2+b

6、x+c(a0)的圖象如圖 所示，則a、b、c的符號為（） A、a0,c0 B、a0,c0 D、a0,b0,c0,2、二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象 如圖所示，則a、b、c的符號為（） A、a0,b0,c=0 B、a0,c=0 C、a0,b0,c=0,3、二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象如圖 所示，則a、b、c 、 的符號為（ ） A、a0,b=0,c0,0 B、a0,c0,b=0,c0 D、a0,b=0,c0,0,B,A,C,o,o,o,練習(xí)：,熟練掌握a，b， c，與拋物線圖象的關(guān)系,(上正、下負(fù)）,(左同、右異),c,4.拋物線y=ax2+bx+c(a0)的圖象經(jīng)過原

7、點(diǎn)和 二、三、四象限，判斷a、b、c的符號情況： a 0,b 0,c 0.,=,5.拋物線y=ax2+bx+c(a0)的圖象經(jīng)過原點(diǎn), 且它的頂點(diǎn)在第三象限，則a、b、c滿足 的條件是：a 0,b 0,c 0.,=,6.二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，如果a0，b0，c0， 那么這個二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)必在第 象限,先根據(jù)題目的要求畫出函數(shù)的草圖，再根據(jù) 圖象以及性質(zhì)確定結(jié)果（數(shù)形結(jié)合的思想）,四,3.已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，下列結(jié)論： a+b+c=0 a-b+c0 abc 0 b=2a 其中正確的結(jié)論的個數(shù)是（ ） A 1個 B 2個 C 3個 D 4個,D,x,-1,1,0,y,要點(diǎn)：尋

8、求思路時，要著重觀察拋物線的開口方向，對稱軸，頂點(diǎn)的位置，拋物線與x軸、y軸的交點(diǎn)的位置，注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想。,5、拋物線的平移,左加右減，上加下減,練習(xí) 二次函數(shù)y=2x2的圖象向 平移 個單位可得到y(tǒng)=2x2-3的圖象； 二次函數(shù)y=2x2的圖象向 平移 個單位可得到y(tǒng)=2(x-3)2的圖象。 二次函數(shù)y=2x2的圖象先向 平移 個單位，再向 平移 個單位可得到函數(shù)y=2(x+1)2+2的圖象。,下,3,右,3,左,1,上,2,練習(xí)： （3）由二次函數(shù)y=x2的圖象經(jīng)過如何平移可以得到函數(shù)y=x2-5x+6的圖象.,y=x2-5x+6,6二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系,一元二次方程根的情

9、況與b-4ac的關(guān)系 我們知道:代數(shù)式b2-4ac對于方程的根起著關(guān)鍵的作用.,二次函數(shù)y=axbxc的圖象和x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，便是對應(yīng)的一元二次方程axbxc=0的解。 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點(diǎn)有三種情況: (1)有兩個交點(diǎn) (2)有一個交點(diǎn) (3)沒有交點(diǎn),二次函數(shù)與一元二次方程,b2 4ac 0,b2 4ac= 0,b2 4ac 0,若拋物線y=ax2+bx+c與x軸有交點(diǎn),則,b2 4ac,0,與x軸有兩個不 同的交點(diǎn) （x1，0） （x2，0）,有兩個不同的解x=x1，x=x2,b2-4ac0,與x軸有唯一個 交點(diǎn),有兩個相等的解 x1=x2=,b2-4ac=0,

10、與x軸沒有 交點(diǎn),沒有實(shí)數(shù)根,b2-4ac0,例(1)如果關(guān)于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根,則m=,此時拋物線 y=x2-2x+m與x軸有個交點(diǎn).,(2)已知拋物線 y=x2 8x +c的頂點(diǎn)在 x軸上,則c=.,1,1,16,(3)一元二次方程 3 x2+x-10=0的兩個根是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函數(shù)y= 3 x2+x-10與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是.,（-2、0）（5/3、0）,、若拋物線 與x軸兩交點(diǎn)為 則x1 、x2是方程ax2+bx+c=0的兩個根 ;,當(dāng) 時，兩個交點(diǎn)在原點(diǎn)兩側(cè)；當(dāng) 時，兩個交點(diǎn)都在原點(diǎn)右側(cè)；當(dāng) 時，兩個交點(diǎn)都在原點(diǎn)左側(cè)。,1、

11、拋物線y=x2-2x-3與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，則AB的長為 .,練一練,2、直線y=3x+2與拋物線y=x2x+3的交點(diǎn)有 個，交點(diǎn)坐標(biāo)為 。,3、拋物線y=x2+bx+4與x軸只有一個交點(diǎn)則b= 。,4,一,(-1,5),4或-4,4二次函數(shù)y=x2-2(m+1)x+4m的圖象與x軸 （ ） A、沒有交點(diǎn) B、只有一個交點(diǎn) C、只有兩個交點(diǎn) D、至少有一個交點(diǎn),練一練,D,5、已知二次函數(shù) y=kx27x7的圖象與x軸 有交點(diǎn)，則k的取值范圍是 ( ),B,二 次 函 數(shù),練一練,例 題,1、已知拋物線y=x2+ax+a-2. (1)證明:此拋物線與x軸總有兩個不同的交點(diǎn); (2)求這兩

12、個交點(diǎn)間的距離(用關(guān)于a的表達(dá)式來表達(dá)); (3)a取何值時,兩點(diǎn)間的距離最小?,1.已知拋物線y=ax2+bx+c與拋物線y=-x2-3x+7的 形狀相同,頂點(diǎn)在直線x=1上,且頂點(diǎn)到x軸的距離 為5,請寫出滿足此條件的拋物線的解析式.,解:拋物線y=ax2+bx+c與拋物線y=-x2-3x+7的形狀相同 a=1或-1 又頂點(diǎn)在直線x=1上,且頂點(diǎn)到x軸的距離為5, 頂點(diǎn)為(1,5)或(1,-5) 所以其解析式為: (1) y=(x-1)2+5 (2) y=(x-1)2-5 (3) y=-(x-1)2+5 (4) y=-(x-1)2-5 展開成一般式即可.,7二次函數(shù)的綜合運(yùn)用,2.若a+b+c=0,a0,把拋物線y=ax2+bx+c向下平移 4個單位,再向左平移5個單位所到的新拋物線的 頂點(diǎn)是(-2,0),求原拋物線的解析式.,分析:,(1)由a+b+c=0可知,原拋物線的圖象經(jīng)過(1,0),(2) 新拋物線向右平移5個單位, 再向上平移4個單位即得原拋物線,答案:y=-x2+6x-5,例1、如圖所示，某建筑工地準(zhǔn)備利用一面舊墻建一個長方形儲料場，新建墻的總長為30米。（1）如圖，設(shè)