1、1.1.1集合的含義與表示,康托是德國數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)始 者。1845年3月3日生于圣彼得堡，1918 年1月6日病逝于哈雷。 康托11歲時移居德國，在德國讀中 學(xué)。1862年17歲時入瑞士蘇黎世大學(xué)， 翌年入柏林大學(xué)，主修數(shù)學(xué)，1866年曾 去格丁根學(xué)習(xí)一學(xué)期。1867年以數(shù)論方 面的論文獲博士學(xué)位。1869年在哈雷大 學(xué)通過講師資格考試，后在該大學(xué)任講 師，1872年任副教授，1879年任教授。 集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，康托在研究函數(shù)論時產(chǎn)生了探索無窮集和超窮數(shù)的興趣。康托肯定了無窮數(shù)的存在，并對無窮問題進(jìn)行了哲學(xué)的討論，最終建立了較完善的集合理論，為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展打下了堅實的基礎(chǔ)。,康

2、托(Cantor,G.F.P.) (1845-1918),自然數(shù)集合，正分?jǐn)?shù)集合，有理數(shù)集合；,1. 我們以前已經(jīng)接觸過的集合,到角的兩邊的距離相等的所有點的集合；,到線段的兩個端點距離相等的所有點的集合；,是角平分線,是線段垂直平分線,集合的含義,到20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù);,我國從1991到2003年的13年內(nèi)所發(fā)射的所有人造衛(wèi)星,金星汽車廠2003年生產(chǎn)的所有汽車;,2004年1月1日之前與我國建立外交關(guān)系的所有國家;,所有的正方形;,到直線l的距離等于定長d所有的點;,方程 的所有實數(shù)根;,萬州中學(xué)2010年9月入學(xué)的高一學(xué)生全體.,一般地,我們把研究對象統(tǒng)稱為元素(element)，把一些

3、元素組成的總體叫做集合(set)(簡稱集),我們通常用大寫拉丁字母，表示集合，用小寫拉丁字母a，b，c，表示集合中的元素,集合的含義,集合中元素具的有幾個特征,確定性因集合是由一些元素組成的總體，當(dāng)然，我們所說的“一些元素”是確定的,互異性即集合中的元素是互不相同的，如果出現(xiàn)了兩個(或幾個)相同的元素就只能算一個，即集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的,無序性即集合中的元素沒有次序之分,(4)廣泛性即集合中的元素可以是數(shù)點圖形人等.,例子: 1 A=1,3,問3，5哪個是A的元素？ 2 B=素質(zhì)好的人能否表示成為集合？ 3 C=2，2，4表示是否正確？ 4 D=太平洋，大西洋 E=大西洋，太平洋 集合

4、D ,E是不是表示相同的集合？,4.常用的數(shù)集及其記法,全體非負(fù)整數(shù)組成的集合稱為自然數(shù)集，記為 所有正整數(shù)組成的集合稱為正整數(shù)集，記為 全體整數(shù)組成的集合稱為整數(shù)集，記為 全體有理數(shù)組成的集合稱為有理數(shù)集，記為 全體實數(shù)組成的集合稱為實數(shù)集，記為,如果a是集合中的元素，就說a屬于集合(belong to)，記作； 如果a不是集合中的元素，就說a不屬于(not belong to)集合，記作；,例如，所有能被整除的整數(shù),元素與集合之間的關(guān)系, 列舉法將所給集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號里，元素與元素之間用逗號分開,6.集合的幾種表示方法,列舉法有三種形式： 1.是有限集而元素個數(shù)較少，如

5、由0、2、-3、5組成的集合可表示為0，2，-3，5； 2.是有限集但元素個數(shù)較多，如由從50到100的所有整數(shù)組成的集合可表示為50，51，52，53，98，99，100； 3.是無限集且元素離散，如由所有的正偶數(shù)組成的集合可表示為2，4，6，8，,例 用列舉法表示下列集合：,(1) 小于10的所有自然數(shù)組成的集合；,6.集合的幾種表示方法,解：設(shè)小于10的所有自然數(shù)組成的集合為， 那么0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. 由于元素完全相同的兩個集合相等，而與列舉的順序無關(guān)，因此集合可以有不同的列舉方法例如 ,8,7,6,5,4,3,2,1,0.,(3) 由120以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成的集合

6、,(2) 描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.,描述法有兩種表述形式： 1.數(shù)式形式:在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及以取值(或變化)范圍,再畫一條豎線,在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.形式如：xxxx|xxxxxxxxx 如由不等式x-32的所有解組成的集合，可表示為 x|x-32； 由直線y=x+1上所有的點的坐標(biāo)組成的集合，可表示為 (x,y)| y=x+1 。,(2) 描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.,描述法有兩種表述形式： 2.語言形式:用文字把元素所具有的屬性描述出來 如由所有直角三角形組成的集合，可表示為: 直角三角形； 由所有小于

7、6的正整數(shù)組成的集合，可表示為: 小于6的正整數(shù),例2 試用列舉法和描述法表示下列集合:,例2 試用列舉法和描述法表示下列集合:,(2) 由大于10小于20的所有整數(shù)組成的集合.,(3) 圖示法:畫一條封閉曲線,用它的內(nèi)部來表示一個集合.常用于表示不需給具體元素的抽象集合.對已給出了具體元素的集合也當(dāng)然可以用圖示法來表示.,如: 集合1,2,3,4,5用圖示法表示為:,A 1 2 3 4 5,enn圖 韋恩圖,思考1： 與 的含義是否相同？,思考2：集合1，2與集合（1，2）相同嗎？,思考3：集合 與集合 相同嗎？,6.集合的幾種表示方法, 有限集-含有有限個元素的集合叫有限集, 無限集-含有無限個元素的集合叫無限集,例如: A=1，3，5，B=不大于3的所有實數(shù),7.集合的分類,(3) 空集-不含任何元素的集合叫空集,思考: 本節(jié)課主要學(xué)研究哪些基本內(nèi)容?集合的三種表示方法各有怎樣的優(yōu)點?用其表示集合各應(yīng)注意什么