1、數(shù)學建模方法詳解-模糊數(shù)學在生產(chǎn)實踐、科學實驗以及日常生活中，人們經(jīng)常會遇到模糊概念（或現(xiàn)象）。例如,大與小、輕與重、快與慢、動與靜、深與淺、美與丑等都包含著一定的模糊概念。隨著科學技術的發(fā)展，各學科領域對于這些模糊概念有關的實際問題往往都需要給出定量的分析，這就需要利用模糊數(shù)學這一工具來解決。模糊數(shù)學是一個較新的現(xiàn)代應用數(shù)學學科，它是繼經(jīng)典數(shù)學、統(tǒng)計數(shù)學之后發(fā)展起來的一個新的數(shù)學學科。統(tǒng)計數(shù)學是將數(shù)學的應用范圍從確定性的領域擴大到了不確定性的領域，即從必然現(xiàn)象到偶然現(xiàn)象，而模糊數(shù)學則是把數(shù)學的應用范圍從確定性的領域擴大到了模糊領域，即從精確現(xiàn)象到模糊現(xiàn)象。在各科學領域中，所涉及的各種量總是可

2、以分為確定性和不確定性兩大類。對于不確定性問題，又可分為隨機不確定性和模糊不確定性兩類。模糊數(shù)學就是研究屬于不確定性，而又具有模糊性的量的變化規(guī)律的一種數(shù)學方法。本章對于實際中具有模糊性的問題，利用模糊數(shù)學的理論知識建立數(shù)學模型解決問題。1.1 模糊數(shù)學的基本概念1.1.1 模糊集與隸屬函數(shù)1. 模糊集與隸屬函數(shù)一般來說，我們對通常集合的概念并不陌生，如果將所討論的對象限制在一定的范圍內(nèi)，并記所討論的對象的全體構成的集合為，則稱之為論域（或稱為全域、全集、空間、話題）。如果是論域 ，則的所有子集組成的集合稱之為的冪集，記作。在此，總是假設問題的論域是非空的。為了與模糊集相區(qū)別，在這里稱通常的集

3、合為普通集。對于論域的每一個元素和某一個子集，有或，二者有且僅有一個成立。于是，對于子集定義映射即則稱之為集合的特征函數(shù)，集合可以由特征函數(shù)唯一確定。所謂論域上的模糊集是指：對于任意總以某個程度屬于，而不能用或描述。若將普通集的特征函數(shù)的概念推廣到模糊集上，即得到模糊集的隸屬函數(shù)。定義1.1 設是一個論域，如果給定了一個映射則就確定了一個模糊集，其映射稱為模糊集的隸屬函數(shù)，稱為對模糊集的隸屬度。定義1.1表明，論域上的模糊集由隸屬函數(shù)來表征，的取值范圍為閉區(qū)間，的大小反映了對模糊集的從屬程度，值接近于1，表示從屬的程度很高，值接近于0，表示從屬的程度很低，使的點稱為模糊集的過渡點。當?shù)闹涤驗闀r

4、，退化為普通集的特征函數(shù)，模糊集蛻變?yōu)槠胀?，所以模糊集是普通集概念的推廣。對于一個特定論域可以有多個不同的模糊集，記上的模糊集的全體為，即，則就是論域上的模糊冪集，顯然是一個普通集，且。2.模糊集的表示法當論域為有限集時，若是上的任一模糊集，其隸屬度為，通常有如下三種表示方法：1）zadeh表示法：在論域中，的元素集稱為模糊集合的支集。2）序偶表示法：將論域中的元素與其隸屬度構成序偶來表示此種表示方法隸屬度為0的項可不寫入。3）向量表示法：在向量表示法中，隸屬度為0的項不能省略。當論域為無限集時，則上的模糊集可以表示為3.模糊集的運算模糊集與普通集有相同的運算和相應的運算規(guī)律。定義1.2 設

5、模糊集，其隸屬函數(shù)為。1）若對任意，有，則稱包含，記；2）若且，則稱與相等，記為。定義1.3 設模糊集，其隸屬函數(shù)為，則稱分別為與的并集與交集；稱為的補集或余集，它們的隸屬函數(shù)分別為其中分別表示取大運算與取小運算，稱其為zadeh算子。并且，并和交運算可以直接推廣到任意有限的情況，同時也滿足普通集的交換律、結合律、分配律等運算。1.1.2 隸屬函數(shù)的確定方法正確地確定隸屬函數(shù)是運用模糊集合理論解決實際問題的基礎。隸屬函數(shù)是對模糊概念的定量描述。應用模糊數(shù)學方法建立數(shù)學模型的關鍵是建立符合實際的隸屬函數(shù)。然而，如何確定一個模糊集的隸屬函數(shù)至今還是尚未完全解決的問題。隸屬函數(shù)的確定過程，本質上應該

6、是客觀的，但每個人對于同一個模糊概念的認識理解又有差異，因此，隸屬函數(shù)的確定又帶有主觀性。一般是根據(jù)經(jīng)驗或統(tǒng)計進行確定，也可由專家、權威給出。下面僅介紹幾種常用的確定隸屬函數(shù)的方法。不同的方法結果會不同，但隸屬函數(shù)建立是否適合標準，要用實際使用的效果來檢驗。1. 模糊統(tǒng)計方法模糊統(tǒng)計方法可以算是一種客觀方法，主要是在模糊統(tǒng)計試驗的基礎上，根據(jù)隸屬度的客觀存在性來確定，所謂的模糊統(tǒng)計試驗必須包含下面的四個要素：1）論域。2）中的一個固定元素。3）中的一個隨機變動的集合（普通集）。4）中的一個以作為彈性邊界的模糊集，對的變動起著制約作用。其中或，致使對的隸屬關系是不確定的。假設做次模糊統(tǒng)計試驗，則

7、可計算出對的隸屬頻率事實上，當不斷增大時，隸屬頻率趨于穩(wěn)定，其頻率的穩(wěn)定值稱為對的隸屬度，即2. 例證法例證法是zadeh在1972年提出的，主要思想是從已知有限個的值來估計論域上的模糊子集的隸屬函數(shù)。3. 指派方法指派方法是一種主觀方法，它主要依據(jù)人們的實踐經(jīng)驗來確定某些模糊集的隸屬函數(shù)。如果模糊集定義在實數(shù)域r上，則模糊集的隸屬函數(shù)稱為模糊分布。所謂的指派方法就是根據(jù)問題的性質主觀地選用某些形式的模糊分布，再依據(jù)實際測量數(shù)據(jù)確定其中所包含的參數(shù)。若以實數(shù)域r為論域，稱隸屬函數(shù)為模糊分布。實際中，根據(jù)研究對象的描述來選擇適當?shù)哪：植?。偏小型模糊分布適合描述像“小”、“冷”、“青年”以及顏色

8、的“淡”等偏向小的一方的模糊現(xiàn)象，偏大型模糊分布適合描述像“大”、“熱”、“老年”以及顏色的“濃”等偏向大的一方的模糊現(xiàn)象，中間型模糊分布適合描述像“中”、“暖和”、“中年”等處于中間的模糊現(xiàn)象。但這些方法所給出的隸屬函數(shù)都是近似的，應用時需要對實際問題進行分析，逐步地進行修改完善，最后得到近似程度更好的隸屬函數(shù)。常用的模糊分布見下表：偏小型中間型偏大型矩形分布梯形分布正態(tài)分布次拋物型分布型分布其中其中其中柯西型分布其中其中為偶數(shù)其中4. 其他方法實際中，用來確定模糊集的隸屬函數(shù)的方法是多種多樣的，主要是根據(jù)問題的實際意義來確定。例如，在經(jīng)濟管理、社會管理中，可以直接借助已有的“客觀尺度”作為

9、模糊集的隸屬度。如果論域表示機器設備，在上定義模糊集=“設備完好”，則可以用“設備完好率”作為的隸屬度。如果表示產(chǎn)品，在上定義模糊集=“質量穩(wěn)定”，可以用“正品率”作為的隸屬度。如果表示家庭，在上定義模糊集=“貧困家庭”，則可以用engel系數(shù)=（食品消費）/（總消費）作為的隸屬度。1.2 模糊關系與模糊矩陣1.2.1模糊關系與模糊矩陣的概念模糊關系是普通關系的推廣，它描述元素之間關聯(lián)程度的多少。定義1.4 設論域，稱的一個模糊子集為從到的模糊關系，記為，其隸屬函數(shù)為映射并稱隸屬度為關于模糊關系的相關程度。由于模糊關系就是直積的一個模糊子集，因此，模糊關系同樣具有模糊子集的運算及性質。 對于有

10、限論域，則到的模糊關系可用階模糊矩陣表示，即其中表示對模糊關系的相關程度。定義1.5 設矩陣，且則稱矩陣為模糊矩陣。 若，則模糊矩陣變成布爾（boole）矩陣。1.2.2 模糊等價關系與模糊相似關系定義1.6 若模糊關系滿足1)自反性： 。 2)對稱性：。3)傳遞性； （即）。則稱是上的一個模糊等價關系。其中隸屬度表示的相關程度。當論域為有限論域時，上的模糊等價關系可表示為階模糊等價矩陣定義1.7 設論域，模糊矩陣，為單位矩陣，若滿足：1)自反性： （即）。 2)對稱性：（即）。3)傳遞性； （即）。則稱為模糊等價矩陣。 定義1.8 設論域，模糊矩陣，為單位矩陣，若滿足：1)自反性： （即）。

11、 2)對稱性：（即）。則稱為模糊相似矩陣。1.2.3 截矩陣與傳遞矩陣定義1.9 設為模糊矩陣，對任意的，1）如果則稱為的截矩陣。2）如果則稱為的強截矩陣。 顯然，截矩陣為布爾矩陣。定義1.10 設是階模糊矩陣，如果滿足（即）則稱為模糊傳遞矩陣。將包含的最小的模糊傳遞矩陣稱為的傳遞閉包，記為。1.3 模糊聚類分析方法在科學技術、經(jīng)濟管理中常常需要按一定的標準(相似程度或親疏關系)進行分類。例如，根據(jù)生物的某些性狀，可對生物分類；根據(jù)土壤的性質，可對土壤分類等等。對所研究的事物按一定標準進行分類的數(shù)學方法稱為聚類分析，它是多元統(tǒng)計“物以類聚”的一種分類方法。由于科學技術、經(jīng)濟管理中的分類往往具有

12、模糊性，因此采用模糊聚類方法通常比較符合實際。在進行多指標評價時，同類指標的評價效果基本上是等價的，因此，可以通過對同類指標的選擇，達到指標篩選的目的。其基本思想是：首先根據(jù)各指標之間相似程度，構造評價指標的模糊相似矩陣，然后通過平方法求傳遞閉包，得到模糊等價矩陣，以此為依據(jù)進行聚類。模糊聚類的步驟及其關鍵算法：設論域為待分類的指標集，用維向量描述樣本，也就是說每個指標由個分量組成，即，故原始數(shù)據(jù)矩陣形式如公式(1)所示 （1）具體的聚類方法按下列步驟進行：1.3.1 數(shù)據(jù)標準化不同的數(shù)據(jù)具有不同的量綱，為了使有不同量綱的量進行比較，對數(shù)據(jù)進行無量綱化處理，而且根據(jù)模糊矩陣的要求，需要將數(shù)據(jù)壓

13、縮在區(qū)間上。數(shù)據(jù)標準化的具體算法包括兩個步驟：1、平移標準差變換 （2）其中變換后的每個變量的均值為0，標準差為1，實現(xiàn)了數(shù)據(jù)的無量綱化，但是這樣還不能保證都在區(qū)間上。2、平移極差變換 （3） 其中.顯然所有的都在區(qū)間上，同時也消除了量綱的影響。1.3.2 標定（建立模糊相似矩陣)對論域而言，和的關系可用來描述。建立模糊相似矩陣的方法有很多，如距離法、相關系數(shù)法、主觀打分法等。現(xiàn)采用相關系數(shù)法建立模糊相似矩陣，通過計算指標之間的相關系數(shù)，以相關系數(shù)的絕對值作為模糊相似矩陣的元素，見式（4） （4）其中.矩陣形式如式（5）所示： （5） 由（4）式可知，故該矩陣滿足自反性和對稱性，滿足模糊相似矩

14、陣的要求。1.3.3 聚類采用基于等價矩陣的聚類方法。首先通過平方法求傳遞閉包得到模糊等價矩陣。具體算法是：從模糊相似矩陣出發(fā)，依次求平方 （6） 當?shù)谝淮纬霈F(xiàn)時，就是傳遞閉包，也就是模糊等價矩陣。方陣的自乘運算是用模糊集合運算中的交和并取代通常矩陣乘法中的乘積與求和操作 （7） 等價矩陣建立之后，具體的聚類過程就是從大到小依次賦給不同的值，通過計算截矩陣的方法獲得不同的分類。在具體的分類選擇中，通常根據(jù)實際需要選擇值，換言之就是根據(jù)特定的值選擇分類1。1.4 模糊模型識別方法己知某類事物的若干標準模型，現(xiàn)有這類事物中的一個具體對象，問把它歸到哪一模型，這就是模型識別。這里主要介紹模糊模型識別

15、的兩種基本方法最大隸屬原則和擇近原則。模型識別在實際問題中是普遍存在的。例如，學生到野外采集到一個植物標本，要識別它屆于哪一綱哪一目；投遞員(或分揀機)在分揀信件時要識別郵政編碼等等，這些都是模型識別。它們有兩個本質的特征：一是事先己知若干標準模型（稱為標準模型庫)，二是有待識別的對象。上述例子中，事先建立的植物標本室、信封背面提供的10個標準阿拉伯數(shù)字都是標準模型庫，采集到的植物、分揀的每一封信都是待識別的對象。因此，模型識別粗略地講，就是要把一種研究對象，根據(jù)其某些特征進行識別并分類。1.4.1模糊模型識別中的最大隸屬原則定義1.11 設論域上有個模糊子集，其隸屬函數(shù)為，而為模糊向量集合族

16、。對于普通向量，則稱為對模糊向量集合族的隸屬度。 需要指出的是，普通向量對模糊向量集合族的隸屬度也有其他形式的定義，如最大隸屬原則i 設論域上有個模糊子集，(即個模型)，構成了一個標準模型庫，若對任一，有，使得則認為相對隸屬于。最大隸屬原則 設論域上有一個標準模型，待識別的對象有個，如果有某個滿足則應優(yōu)先錄取。1.4.2模糊模型識別中的擇近原則下面討論的是第二類模糊識別問題。設在論域上有個模糊子集，(即個模型)，構成了一個標準模型庫。被識別的對象也是一個模糊集，與中的哪一個最貼近？這就是一個模糊集對標準模糊集的識別問題。因此，這里涉及到兩個模糊集的貼近程度問題。（1）貼近度的概念設論域上的模糊

17、子集，稱為的內(nèi)積；稱為的外積。定義1.12 設論域上的模糊子集，則稱為的貼近度?？梢?，當越大(亦即越大，越小)時，越貼近。（2）單個特性的擇近原則設在論域上有個模糊子集，構成了一個標準模型庫。為待識別的模型若存在，使得則稱與最貼近，或者說把歸并到類。（3）多個特性的擇近原則設論域上有兩個模糊向量集合族，則的貼近度定義為由于實際問題的需要，為了解決兩個模糊向量集合族的貼近程度問題，人們創(chuàng)造了多種貼近度?，F(xiàn)列舉如下：設論域上有兩個模糊向量集合族，則的貼近度也可定義為1）；2），其中，且；3），其中，且；4），其中，且?？梢愿鶕?jù)實際需要，應用不同的貼近度。 多個特性的擇近原則：設在論域上有個模糊子集

18、，構成了一個標準模型庫。每個模型由個特性來刻畫，即，待識別對象。 先求兩個模糊向量集合族的貼近度的最小值，即，若有，使得則認為隸屬于。最后介紹一下模糊模型識別與模糊聚類分析的區(qū)別。在講完模糊模型識別以后，再回到模糊聚類分析，讀者可能會產(chǎn)生一種錯覺，以為模糊模型識別與模糊聚類分析都是分類問題，沒有什么差別。實際上，二者是有差別的。模糊模型識別所討論的問題是：已知若干模型，或者已知一個標準模型庫(優(yōu)良的作物品種，印刷體的阿拉伯數(shù)字等都是標準模型庫)，有一個待識別的對象，要求我們?nèi)プR別對象應屬于哪一個模型，即哪一類。模糊聚類分析所討論的對象是一大堆樣本，事先沒有任何模型可以借鑒，要求我們根據(jù)它們的特

19、性進行適當?shù)姆诸悾虼?，可以這樣說，模糊模型識別是一種有模型的分類問題，而模糊聚類分析是一種無模型的分類問題。但是，在對農(nóng)作物病、蟲害作預報時，往往是先進行模糊聚類，把它們分成若干類(即若干標準模型)，然后將待預報的因子進行模糊識別，如果它分到危害重的那一類，即可作病、蟲害災情重的預報，以便及時采取防治措施。由上可見，由模糊聚類分析進行判別、預測預報的過程，實際上是模糊聚類與模糊識別綜合運用的過程。這里的模型是在聚類過程中得到的，恰恰為模糊識別提供了標準模型庫。因此，從某種意義上說，模糊聚類分析與模糊模型識別又是有聯(lián)系的。1.5 模糊綜合評判方法在實際工作中，對一個事物的評價(或評估)，常常涉

20、及多個因素或多個指標，這時就要求根據(jù)這多個因素對事物作出綜合評價，而不能只從某一因素的情況去評價事物，這就是綜合評判。在這里，評判的意思是指按照給定的條件對事物的優(yōu)劣、好壞進行評比、判別；綜合的意思是指評判條件包含多個因素或多個指標因此，綜合評判就是要對受多個因素影響的事物作出全面評價。綜合評判的方法有許多種，這里介紹最常用的兩種1評總分法即根據(jù)評判對象列出評價項目，對每個項目定出評價的等級，并用分數(shù)表示。將評價項目所得分數(shù)累計相加，然后按總分的大小排列次序，以決定方案的優(yōu)劣。例如，我國高考成績的評分方法就是如此?？偡忠话惚硎緸?，其中表示總分，表示第個項目得分，為項目數(shù)。2加權評分法這種方法主

21、要是考慮諸因素(或諸指標)在評價中所處的地位或所起的作用不盡相同，因此不能一律平等地對待諸因素(或諸指標)。于是，就引進了權重的概念，它體現(xiàn)了諸因素(或諸指標)在評價中的不同地位或不同作用。這種評分法顯然較評總分法合理。加權評分法一般表示為其中表示加權平均分數(shù)，是第個因素所占的權重，且要求。若取權重，則由式求出的就是平均分。1.5.1模糊綜合評判方法1. 模糊綜合評判的提法設為種因素(或指標)，為種評判，它們的元素個數(shù)和名稱均可根據(jù)實際問題需要由人們主觀規(guī)定。由于各種因素所處的地位不同，作用也不一樣，當然權重也不同，因而評判也就不同人們對種評判并不是絕對地肯定或否定，因此綜合評判應該是上的一個模糊于集其中反映了第種評判在綜合評判中所占的地位(即對模糊集的隸屬度：)。綜合評判依賴于各個因素的權重，它應該是上的模糊子集，且，其中表示第種因素的權重。因此，一旦給定權重，相應地可得到一個綜合評判。1. 模糊綜合評判的一般步驟1）確定因素集；2）確定評判集；3）確定模糊評判矩陣；首先，對每一個因素做一個評判，則可以得到的一個模糊映射，即然而，由模糊映射可以誘導出模糊關系，即因此，可以確定出模糊評判矩陣。而稱為