1、數(shù)學(xué)競賽 第二屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽第二試及答案1.有50名學(xué)生參加聯(lián)歡會，第一個(gè)到會的女生同全部男生握過手，第二個(gè)到會的女生只差1個(gè)男生沒握手，第三個(gè)到會的女生只差2個(gè)男生沒握手，如此等等，最后一個(gè)到會的女生同7個(gè)男生握過手，問這50名同學(xué)中有多少男生？2.分子小于6而分母小于60的不可約真分?jǐn)?shù)有多少個(gè)？3.已知五個(gè)數(shù)依次是13，12，15，25，20它們每相鄰的兩個(gè)數(shù)相乘得四個(gè)數(shù)，這四個(gè)數(shù)每相鄰的兩個(gè)數(shù)相乘得三個(gè)數(shù)，這三個(gè)數(shù)每相鄰的兩個(gè)數(shù)相乘得兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)相乘得一個(gè)數(shù)，請問最后這個(gè)數(shù)從個(gè)位起向左數(shù)，可以連續(xù)地?cái)?shù)到幾個(gè)0（參見圖）？4.用1分、2分和5分的硬幣湊成一元錢，共有

2、多少不同的湊法？5. 有兩個(gè)班的小學(xué)生要到少年宮參加活動(dòng)，但只有一輛車接送，第一班的學(xué)生坐車從學(xué)校出發(fā)的同時(shí)，第二班學(xué)生開始步行；車到途中某處，讓第一班學(xué)生下車步行， 車立刻返回接第二班學(xué)生上車并直接開往少年宮，學(xué)生步行速度為每小時(shí)4千米，載學(xué)生時(shí)車速每小時(shí)40千米，空車每小時(shí)50千米，問：要使兩班學(xué)生同時(shí)到達(dá) 少年宮，第一班學(xué)生步行了全程的幾分之幾？（學(xué)生上下車時(shí)間不計(jì)）6.下面是兩個(gè)1989位整數(shù)相乘！問乘積的各位數(shù)字之和是多少？參考答案128名男生2共有197個(gè)3可以連續(xù)地?cái)?shù)到10個(gè)04共有541種湊法5第一班學(xué)生步行了全程的617，9011【解】可以設(shè)想每個(gè)女生與最后一個(gè)與她握手的男生

3、一同跳舞，不再與其他人握手.這樣，一對對舞伴離開后，最后留下6(71)名男生，所以男生比女生多6名，由和差問題的解法立即得到男生有(506)228名。2 【解】分子的取值范圍是從1到5。當(dāng)分子為1時(shí)，分母可從2到59共有58個(gè)真分?jǐn)?shù)。它們當(dāng)然都是不可約分?jǐn)?shù)。由于2，3，5都是質(zhì)數(shù)，因此當(dāng)分子分別為2，3，5時(shí)，分母必須而且只須適合下列二個(gè)條件：1)分母大于分子且小于60.2)分母不是分子的倍數(shù)。經(jīng)過簡單的計(jì)算可以知道：當(dāng)分子為2時(shí)，適合條件的分母有29個(gè)；當(dāng)分子為3時(shí)，適合條件的分母有38個(gè)；當(dāng)分子為5時(shí)，適合條件的分母有44個(gè)；最后來看分子為4的情形，與分子為2基本相同，分母不能為偶數(shù)，此外

4、分母不能為3所以共有28(291)個(gè)。總之。符合要求的分?jǐn)?shù)共有：5829384428197(個(gè))答：分子小于6而分母小于60的不可約真分?jǐn)?shù)共有197個(gè)。3【解】幾個(gè)整數(shù)的乘積，如果要確定它后面的幾個(gè)0，可以用這樣的辦法：把每個(gè)乘數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，把分解中2的重?cái)?shù)加起來，5的重?cái)?shù)也加起來，看哪一個(gè)小，哪一個(gè)就是乘積尾部0的個(gè)數(shù)。我們可以分別計(jì)算質(zhì)因數(shù)2和5的重?cái)?shù)。為此我們畫兩個(gè)圖(如下)：圖中的數(shù)是這樣填的：以2的重?cái)?shù)為例，第一行第一個(gè)數(shù)13不含因數(shù)2，在這個(gè)位置填o，第二個(gè)數(shù)12含2個(gè)因數(shù)2(12223)，在這個(gè)位置填2，等等。下面各行的數(shù)都是肩上兩數(shù)的和(因?yàn)槌朔e的因數(shù)2的重?cái)?shù)等于各乘數(shù)的因數(shù)2

5、的重?cái)?shù)的和)這樣我們就把題中每個(gè)圈中數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解中的2的重?cái)?shù)和5的重?cái)?shù)分別標(biāo)在兩個(gè)圖中了。特別地，最下面一個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解中2的重?cái)?shù)是10，5的重?cái)?shù)是15，所以它尾部應(yīng)該有10個(gè)0。答：可以連續(xù)地?cái)?shù)到1o個(gè)0。4 【解】全部是5分的硬幣，20枚可湊成一元錢。拿出1枚5分的硬幣換成1分和2分的，有3種換法（2個(gè)2分的，1個(gè)2分的和0個(gè)2分的）；拿出2枚5分的硬幣換成1分和2分的，有6種換法；拿出3枚5分的硬幣換成1分和2分的，有8種換法。依此類推，當(dāng)拿出的5分硬幣為奇數(shù)n時(shí)，換法為（n51）2，當(dāng)拿出的5分硬幣為偶數(shù)n時(shí)，換法為n521，所以，用1分、2分和5分的硬幣湊成一元錢，共有1（135

6、19）510）2（24620）5210541種不同的湊法。5 【解】首先注意，由于兩個(gè)班的同學(xué)都是一段路步行一段路乘車，而乘車的速度比步行快，中間又沒有停留，因此耍同時(shí)到達(dá)少年宮兩個(gè)班的同學(xué)步行的路程一定要一樣長。我們畫一個(gè)圈(見上圖)來分析，圖中a是學(xué)校，b是少年宮，c是第一班學(xué)生下車的地點(diǎn)，d是第二班學(xué)生上車的地點(diǎn)，由上所述ad和ch一樣長。設(shè)第一班同學(xué)下車時(shí)，第二班同學(xué)走到e處由于載學(xué)生時(shí)車速為每小時(shí)40千米，而步行的速度為每小時(shí)4千米是車速的，因而ae是ac的。在第一班學(xué)生下車后，汽車從c處迎著第二班學(xué)生開。車速是每小時(shí)50千米，而第二班學(xué)生從e處以每小時(shí)4千米的速度向前走，汽車和第二班學(xué)生在d點(diǎn)相遇不難算出ed是ec的。由于ec是ac的1一，可見ed是ac的，這樣ad就是ac的。最后，由于adcb，ad就是ab的(1)。答：第一班學(xué)生步行了全程的。6 【解】9， 91019891因此1234567901234012345679(101989一1)1234567901234012345679一1234567900123456789876543209876543